#set text(
  size: 14pt,
  font: "New Computer Modern",
)

#set par(
  justify: true
)

=== Потенциальная энергия электрического диполя с моментом $arrow(p)$ в поле с напряженностью $arrow(E)$.

*1. $- arrow(p) arrow(E)$*
2. $|arrow(p)| |arrow(E)|$
3. $- |arrow(p)| |arrow(E)|$
4. $- frac(|arrow(p)|, |arrow(E)|)$
5. $frac(|arrow(E)|, |arrow(p)|)$

*Ответ*: Потенциальная энергия диполя в электрическом поле: 

$
W eq - arrow(p) dot arrow(E) eq - p E(r) cos alpha, 
$

где $alpha$ -- угол между $arrow(E) (arrow(r))$ и $arrow(p)$.

#line(length: 100%)

=== Точечный заряд $q$ помещен в центр пирамиды. Поток вектора напряженности через грань пирамиды равен

1. $q/4$
*2. $q/(4 epsilon_0)$*
3. $q/(6 epsilon epsilon_0)$
4. $q/(epsilon_0)$
5. $epsilon epsilon_0 q$

*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из 4 граней пирамиды одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$

$
Phi eq q/(epsilon_0)
$

Поток через одну грань

$
Phi_1 eq q/(4 dot epsilon_0)
$

#line(length: 100%)

=== Элемент проводника с током $I$, длиной $d l$ создает в точке $A$, положение которой задано вектором $arrow(r)$, магнитное поле с индукцией

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img1>
]

*1. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)$*
2. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^3)$
3. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
4. $frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
5. $-frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^2)$

*Ответ*: По закону Био-Савара-Лапласа для тонкого проводника: 

$
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)
$

#line(length: 100%)

=== Диполь с моментом $arrow(p)$ помещен в электрическое поле напряженностью $arrow(E)$. На диполь действует механическй момент $arrow(M)$. Укажите верное выражение.

1. $arrow(M) eq |arrow(p)| arrow(E)$
2. $arrow(M) eq |arrow(E)| arrow(p)$
3. $arrow(M) eq [arrow(E), arrow(p)]$
4. $M eq 0$
*5. $arrow(M) eq [arrow(p), arrow(E)]$*

*Ответ*: В однородном электрическом поле энергия $W$ изменяется за счет изменения угла $alpha$, при этом элементарная работа сил поля при повороте диполя равна: $d A eq M_alpha d alpha eq - d W$, где $arrow(M)_alpha eq [arrow(p) times arrow(E)]$ -- момент сил, действующий на диполь:

$
M_alpha eq -frac(partial W, partial alpha) eq -p E sin alpha
$

#line(length:  100%)

=== По витку радиусом $R$ течет ток силой $I$. Индукция магнитного поля $B$ в центре витка равна 

1. $frac(mu_0 I , 2 pi R)$
*2. $frac(mu_0 I , 2 R)$*
3. $frac(mu_0 I , pi R)$
4. $frac(mu_0 I , 4 pi R)$
5. $frac(mu_0 I , 8 pi R)$

*Ответ*: По теореме Био-Савара-Лапласа:

$
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l, r^2) eq \
eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(r d alpha, r^2) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d alpha, R).
$

$
B eq frac(mu_0 I, 4 pi R) integral_0^(2 pi) d alpha eq frac(mu_0 I 2 pi, 4 pi R) eq bold(frac(mu_0 I, 2 R))
$

#line(length: 100%)

=== Поток вектора индукции электростатического поля через замкнутую поверхность

1. Равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности.
2. Равен сумме абсолютных величин связанных зарядов, находящихся внутри поверхности.
3. Равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную.
*4. Равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленную на электрическую постоянную.*
5. Равен нулю.

*Ответ*: По теореме Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции $arrow(D)$: 

$
integral.surf_S arrow(D) d arrow(S) eq q_"внутр".
$

#line(length: 100%)

=== Точечный заряд $q$ помещен в центр куба. Поток вектора напряженности через одну грань куба равен

1. $q/6$
*2. $q/(6 epsilon_0)$*
3. $q/(4 epsilon epsilon_0)$
4. $q/(epsilon_0)$
5. $epsilon epsilon_0 q$

*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из шести граней куба одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$

$
Phi eq q/(epsilon_0)
$

Поток через одну грань

$
Phi_1 eq q/(6 dot epsilon_0).
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. В однородном изотропном диэлектрике, который помещен в однородное электрическое поле.

1. $"div" arrow(E) eq rho_"своб"$
2. $"div" arrow(P) eq -rho_"своб"$
*3. $"div" arrow(D) eq rho_"своб"$*

*4. $"div" arrow(P) eq -rho_"связ"$*
5. $"div" arrow(D) eq 0$

*Ответ*: Плотность связанных зарядов определяется формулой: 

$
rho_"связ" eq - "div" arrow(P)
$

Вектор электрической индукции: 

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Уравнения Гаусса для поля $E$

$
"div" arrow(E) eq frac(rho_"полн", epsilon_0)
$

где 

$
rho_"полн"eq rho_"своб" + rho_"связ"
$

Возьмем дивергенцию для 

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Получим

$
"div" arrow(D) eq epsilon_0 "div" arrow(E) + "div" arrow(P)
$

Подставляем в уравнение Гаусса

$
eq epsilon_0 dot frac(rho_"своб" + rho_"связ", epsilon_0) + "div" arrow(P) eq \
eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P)
$

Но мы знаем, что 

$
rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
$

то есть

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P) eq rho_"своб" -"div" arrow(P) + "div" arrow(P) eq rho_"своб"
$

В результате получим

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

#line(length: 100%)

=== Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

*1. $D_(1 n) eq D_(2 n)$*

2. $D_(1 n) lt D_(2 n)$
3. $D_(1 n) gt D_(2 n)$
*4. $D_(1 tau) lt D_(2 tau)$*

5. $D_(1 tau) gt D_(2 tau)$

*Ответ*: Так как

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

Проинтегрировав, получим

$
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
$

Так как диэлектрики незаряжены

$
rho_"своб" eq 0
$

Тогда

$
D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Векторы $arrow(D)$ и $arrow(E)$ связаны

$
arrow(D) eq epsilon arrow(E)
$

Из уравнения 

$
"rot" arrow(E) eq 0
$

Следует

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Теперь умножаем на $epsilon$

$
D_(1 tau) eq epsilon_1 E_tau \
D_(2 tau) eq epsilon_2 E_tau 
$

Так как 

$
epsilon_2 gt epsilon_1
$

то

$
D_(2 tau) gt D_(1 tau)
$

#line(length: 100%)

=== Источник внутренним спротивлением $r$ подключен к нагрузке, сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость полезной мощности от $R$.

*Ответ*: По закону Ома для замкнутой цепи: 

$
U eq cal(E) - I r
$

Домножим на $I$.

$
I U eq cal(E) I - I^2 r
$

Переставим слагаемые и воспользуемся $U eq I R$

$
I cal(E) eq I^2 R + I^2 r
$

где $I^2 R$ -- полезная мощность.

Полное сопротивление

$
R_"полн" eq R + r 
$

Ток

$
I eq frac(cal(E), R + r)
$

Тогда полезная мощность

$
P(R) eq I^2 dot R eq (frac(cal(E), R + r))^2 dot R eq frac(cal(E)^2 R, (R + r)^2)
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/2.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [График $P(R)$.]
  )
]

#line(length: 100%)

=== Какая формула позволяет вычислить разность потенциалов между точками $A$ и $B$, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле напряженностью $E$. 

1. $phi_A - phi_B eq - E dot l$
2. $phi_A - phi_B eq E dot l dot tg alpha$
*3. $phi_A - phi_B eq E dot l dot cos alpha$*

4. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot cos alpha$
5. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot tg alpha$

*Ответ*: По определению разности потенциалов между точками $A$ и $B$

$
phi_A - phi_B eq integral_A^B arrow(E) dot d arrow(l)
$

Так как поле однородное, то $arrow(E) eq "const"$ и интеграл упрощается до

$
phi_A - phi_B eq arrow(E) dot d arrow(l)
$

И по определению скалярного произведения 

$
phi_A - phi_B eq E l cos alpha
$

#line(length: 100%)

=== Потенциальная энергия контура с магнитным моментом $arrow(P)_m$ в поле с индукцией $arrow(B)$ равна 

*1. $- arrow(P)_m arrow(B)$*
2. $- |arrow(P)_m| |arrow(B)|$
3. $arrow(P)_m times arrow(B)$
4. $arrow(P)_m arrow(B)$
5. $|arrow(P)_m| |arrow(B)|$

*Ответ*: Для контура с током магнитный момент: 

$
arrow(p)_m eq I arrow(S)
$

Для электрического диполя в электрическом поле

$

$