#set math.equation(numbering: "1.")

#set text(
  size: 14pt,
  font: "New Computer Modern",
  lang: "ru"
)

#set par(
  justify: true
)

=== Потенциальная энергия электрического диполя с моментом $arrow(p)$ в поле с напряженностью $arrow(E)$.

*1. $- arrow(p) arrow(E)$*
2. $|arrow(p)| |arrow(E)|$
3. $- |arrow(p)| |arrow(E)|$
4. $- frac(|arrow(p)|, |arrow(E)|)$
5. $frac(|arrow(E)|, |arrow(p)|)$

*Ответ*: Потенциальная энергия диполя в электрическом поле:

$
W eq - arrow(p) dot arrow(E) eq - p E(r) cos alpha,
$

где $alpha$ -- угол между $arrow(E) (arrow(r))$ и $arrow(p)$.

#line(length: 100%)

=== Точечный заряд $q$ помещен в центр пирамиды. Поток вектора напряженности через грань пирамиды равен

1. $q/4$
*2. $q/(4 epsilon_0)$*
3. $q/(6 epsilon epsilon_0)$
4. $q/(epsilon_0)$
5. $epsilon epsilon_0 q$

*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из 4 граней пирамиды одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$

$
Phi eq q/(epsilon_0)
$

Поток через одну грань

$
Phi_1 eq q/(4 dot epsilon_0)
$

#line(length: 100%)

=== Элемент проводника с током $I$, длиной $d l$ создает в точке $A$, положение которой задано вектором $arrow(r)$, магнитное поле с индукцией

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img1>
]

*1. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)$*
2. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^3)$
3. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
4. $frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
5. $-frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^2)$

*Ответ*: По закону Био-Савара-Лапласа для тонкого проводника:

$
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)
$

#line(length: 100%)

=== Диполь с моментом $arrow(p)$ помещен в электрическое поле напряженностью $arrow(E)$. На диполь действует механическй момент $arrow(M)$. Укажите верное выражение.

1. $arrow(M) eq |arrow(p)| arrow(E)$
2. $arrow(M) eq |arrow(E)| arrow(p)$
3. $arrow(M) eq [arrow(E), arrow(p)]$
4. $M eq 0$
*5. $arrow(M) eq [arrow(p), arrow(E)]$*

*Ответ*: В однородном электрическом поле энергия $W$ изменяется за счет изменения угла $alpha$, при этом элементарная работа сил поля при повороте диполя равна: $d A eq M_alpha d alpha eq - d W$, где $arrow(M)_alpha eq [arrow(p) times arrow(E)]$ -- момент сил, действующий на диполь:

$
M_alpha eq -frac(partial W, partial alpha) eq -p E sin alpha
$

#line(length:  100%)

=== По витку радиусом $R$ течет ток силой $I$. Индукция магнитного поля $B$ в центре витка равна

1. $frac(mu_0 I , 2 pi R)$
*2. $frac(mu_0 I , 2 R)$*
3. $frac(mu_0 I , pi R)$
4. $frac(mu_0 I , 4 pi R)$
5. $frac(mu_0 I , 8 pi R)$

*Ответ*: По теореме Био-Савара-Лапласа:

$
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l, r^2) eq \
eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(r d alpha, r^2) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d alpha, R).
$

$
B eq frac(mu_0 I, 4 pi R) integral_0^(2 pi) d alpha eq frac(mu_0 I 2 pi, 4 pi R) eq bold(frac(mu_0 I, 2 R))
$

#line(length: 100%)

=== Поток вектора индукции электростатического поля через замкнутую поверхность

1. Равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности.
2. Равен сумме абсолютных величин связанных зарядов, находящихся внутри поверхности.
3. Равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную.
*4. Равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленную на электрическую постоянную.*
5. Равен нулю.

*Ответ*: По теореме Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции $arrow(D)$:

$
integral.surf_S arrow(D) d arrow(S) eq q_"внутр".
$

#line(length: 100%)

=== Точечный заряд $q$ помещен в центр куба. Поток вектора напряженности через одну грань куба равен

1. $q/6$
*2. $q/(6 epsilon_0)$*
3. $q/(4 epsilon epsilon_0)$
4. $q/(epsilon_0)$
5. $epsilon epsilon_0 q$

*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из шести граней куба одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$

$
Phi eq q/(epsilon_0)
$

Поток через одну грань

$
Phi_1 eq q/(6 dot epsilon_0).
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. В однородном изотропном диэлектрике, который помещен в однородное электрическое поле.

1. $"div" arrow(E) eq rho_"своб"$
2. $"div" arrow(P) eq -rho_"своб"$
*3. $"div" arrow(D) eq rho_"своб"$*

*4. $"div" arrow(P) eq -rho_"связ"$*
5. $"div" arrow(D) eq 0$

*Ответ*: Плотность связанных зарядов определяется формулой:

$
rho_"связ" eq - "div" arrow(P)
$

Вектор электрической индукции:

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Уравнения Гаусса для поля $E$

$
"div" arrow(E) eq frac(rho_"полн", epsilon_0)
$

где

$
rho_"полн"eq rho_"своб" + rho_"связ"
$

Возьмем дивергенцию для

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Получим

$
"div" arrow(D) eq epsilon_0 "div" arrow(E) + "div" arrow(P)
$

Подставляем в уравнение Гаусса

$
eq epsilon_0 dot frac(rho_"своб" + rho_"связ", epsilon_0) + "div" arrow(P) eq \
eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P)
$

Но мы знаем, что

$
rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
$

то есть

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P) eq rho_"своб" -"div" arrow(P) + "div" arrow(P) eq rho_"своб"
$

В результате получим

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

#line(length: 100%)

=== Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

*1. $D_(1 n) eq D_(2 n)$*

2. $D_(1 n) lt D_(2 n)$
3. $D_(1 n) gt D_(2 n)$
*4. $D_(1 tau) lt D_(2 tau)$*

5. $D_(1 tau) gt D_(2 tau)$

*Ответ*: Так как

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

Проинтегрировав, получим

$
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
$

Так как диэлектрики незаряжены

$
rho_"своб" eq 0
$

Тогда

$
D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Векторы $arrow(D)$ и $arrow(E)$ связаны

$
arrow(D) eq epsilon arrow(E)
$

Из уравнения

$
"rot" arrow(E) eq 0
$

Следует

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Теперь умножаем на $epsilon$

$
D_(1 tau) eq epsilon_1 E_tau \
D_(2 tau) eq epsilon_2 E_tau
$

Так как

$
epsilon_2 gt epsilon_1
$

то

$
D_(2 tau) gt D_(1 tau)
$

#line(length: 100%)

=== Источник внутренним спротивлением $r$ подключен к нагрузке, сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость полезной мощности от $R$.

*Ответ*: По закону Ома для замкнутой цепи:

$
U eq cal(E) - I r
$

Домножим на $I$.

$
I U eq cal(E) I - I^2 r
$

Переставим слагаемые и воспользуемся $U eq I R$

$
I cal(E) eq I^2 R + I^2 r
$

где $I^2 R$ -- полезная мощность.

Полное сопротивление

$
R_"полн" eq R + r
$

Ток

$
I eq frac(cal(E), R + r)
$

Тогда полезная мощность

$
P(R) eq I^2 dot R eq (frac(cal(E), R + r))^2 dot R eq frac(cal(E)^2 R, (R + r)^2)
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/2.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [График $P(R)$.]
  )
]

#line(length: 100%)

=== Какая формула позволяет вычислить разность потенциалов между точками $A$ и $B$, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле напряженностью $E$.

1. $phi_A - phi_B eq - E dot l$
2. $phi_A - phi_B eq E dot l dot tg alpha$
*3. $phi_A - phi_B eq E dot l dot cos alpha$*

4. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot cos alpha$
5. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot tg alpha$

*Ответ*: По определению разности потенциалов между точками $A$ и $B$

$
phi_A - phi_B eq integral_A^B arrow(E) dot d arrow(l)
$

Так как поле однородное, то $arrow(E) eq "const"$ и интеграл упрощается до

$
phi_A - phi_B eq arrow(E) dot d arrow(l)
$

И по определению скалярного произведения

$
phi_A - phi_B eq E l cos alpha
$

#line(length: 100%)

=== Потенциальная энергия контура с магнитным моментом $arrow(P)_m$ в поле с индукцией $arrow(B)$ равна

1. $bold(- arrow(P)_m arrow(B))$
2. $- |arrow(P)_m| |arrow(B)|$
3. $arrow(P)_m times arrow(B)$
4. $arrow(P)_m arrow(B)$
5. $|arrow(P)_m| |arrow(B)|$

*Ответ*: Для контура с током магнитный момент:

$
arrow(p)_m eq I arrow(S)
$

Для электрического диполя в электрическом поле

$
U eq -arrow(p) dot arrow(E)
$

Для контура с током в магнитном поле:

$
U eq -arrow(p)_m dot arrow(B)
$

#line(length: 100%)

=== Магнитное поле проходит через границу раздела двух сред. Токи проводимости отсутствуют. $mu_2 gt mu_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

*1. $B_(1 n) eq B_(2 n)$*
2. $B_(1 n) lt B_(2 n)$
3. $B_(1 n) gt B_(2 n)$
*4. $B_(1 tau) lt B_(2 tau)$*
5. $B_(1 tau) gt B_(2 tau)$

*Ответ*: Уравнение Максвелла для магнитного поля

$
"div" arrow(B) eq 0
$

Проинтегрировав, получим

$
integral.cont arrow(B) dot d arrow(S) eq 0
$

Переходя к пределу, получим граничное условие

$
B_(2 n) - B_(1 n) eq 0 arrow.double B_(2 n) eq B_(1 n)
$

Из уравнения Максвелла

$
"rot" arrow(H) eq arrow(j)_"пров"
$

По условию

$
arrow(j)_"пров" eq 0
$

То есть

$
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
$

Так как

$
arrow(B) eq mu arrow(H)
$

С учетом того, что $mu_2 gt mu_1$

$
B_(2 tau) gt B_(1 tau)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все выражения, которые входят в ток смещения

*1. $frac(partial arrow(P), partial t)$*
2. $frac(partial arrow(J), partial t)$
*3. $epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t)$*
4. $arrow(j)_"проводимости"$
5. $mu_0 frac(partial arrow(H), partial t)$

*Ответ*: По определению Максвелла плотность тока смещения

$
arrow(j)_"см" eq frac(partial arrow(D), partial t)
$

По определению $arrow(D)$

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Взяв производную по времени получим

$
frac(partial arrow(D), partial t) eq epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t) + frac(partial arrow(P), partial t)
$

#line(length: 100%)

=== В реальном колебательном контуре резонанс по величине ЭДС индукции в катушке наступает при частоте внешней ЭДС

1. намного меньше собственной частоты контура
2. намного больше собственной частоты контура
3. примерно равной собственной частоте контура
4. чуть меньше собственной частоты контура
*5. чуть больше собственной частоты контура*

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== Укажите все волновые уравнения

*1. $Delta arrow(E) eq frac(1, c^2) frac(partial^2 arrow(E), partial t^2)$*
2. $integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S (arrow(j) + frac(partial arrow(D), partial t)) d arrow(S)$
3. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d arrow(S)$.
4. $c eq frac(1, sqrt(epsilon_0 epsilon mu_0 mu))$
*5. $Delta arrow(H) eq frac(1, c^2) frac(partial^2 arrow(H), partial t^2)$*

*Ответ*: Волновое уравнение -- это дифференциальное уравнение вида

$
Delta arrow(F) eq frac(1, v^2) frac(partial^2 arrow(F), partial t^2)
$

где $Delta$ -- оператор Лапласа.

#line(length: 100%)

=== Эквипотенциальные поверхности поля точечного положительного заряда имеют вид

1. равноотстоящих друг от друга плоскостей
*2. концентрических сфер*
3. коаксиальных цилиндров
4. эллипсоидов вращения
5. пересекающихся плоскостей

*Ответ*: Эквипотенциальная поверхность -- это поверхность, на которой

$
phi eq "const"
$

Для точечного положительного заряда $q$

$
phi(r) eq frac(1, 4 pi epsilon_0) q/r
$

Если $phi eq "const"$, то из формулы следует

$
1/r eq "const" arrow.double r eq "const"
$

Множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, это сфера.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

1. $E_(1 n) eq E_(2 n)$
2. $E_(1 n) lt E_(2 n)$
*3. $E_(1 n) gt E_(2 n)$*
4. $E_(1 tau) lt E_(2 tau)$
*5. $E_(1 tau) eq E_(2 tau)$*

*Ответ*: Закон Фарадея

$
"rot" arrow(E) eq 0
$

Интегрируя по малому контуру, пересекающему границу, получаем

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Из уравнения Гаусса

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

Интегрирование дает

$
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
$

Так как диэлектрики незаряжены

$
rho_"своб" eq 0 arrow.double D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Так как

$
arrow(D) eq epsilon epsilon_0 arrow(E)
$

Получим

$
epsilon_1 E_(1 n) eq epsilon_2 E_(2 n)
$

Тогда если

$
epsilon_1 lt epsilon_2
$

То

$
E_(1 n) gt E_(2 n)
$

#line(length: 100%)

=== Проводящий шар заряжен положительным зарядом. Внутри шара

1. линии напряженности замкнуты
2. линии напряженности идут вдоль радиусов к поверхности
3. линии напряженности идут вдоль радиусов к центру
*4. напряженность поля равна нулю*
5. линии напряженности перпендикулярны радиусам шара

*Ответ*: В электростатическом равновесии внутри проводника

$
arrow(E) eq 0
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения

1. Первый закон Кирхгофа является следствием закона Кулона
*2. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда *
*3. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.*
4. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Джоуля-Ленца.
5. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Ома для однородного участка цепи.

*Ответ*: По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле равна нулю

$
sum I eq 0
$

то есть

$
sum I_"вход" eq sum I_"выход"
$

то есть заряд не накапливается в узле.

По второму закону Кирхгофа в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.

$
sum E eq sum I R
$

или эквивалентно:

$
sum U eq 0
$

Закон сохранения заряда

$
frac(d q, d t) eq 0
$

Закон Ома для неоднородного участка цепи

$
U eq I R minus cal(E)
$

или

$
I R eq U + cal(E)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите формулу, которая всегда окажется верной при вычислении объемной плотности энергии электричского поля

1. $frac(arrow(E) arrow(D), 2)$
2. $frac(|arrow(E)||arrow(D)|, 2)$
3. $frac(epsilon_0 epsilon |arrow(E)|^2, 2)$
4. $arrow(D) arrow(E)$
5. $frac(|arrow(D)|^2, 2 epsilon_0 epsilon)$

*Ответ*: Объемная плотность энергии $w eq frac(arrow(E) arrow(D), 2)$ содержит в себе как собственную энергию электрического поля $frac(epsilon_0 E^2, 2)$, так и энергию поляризации диэлектрика $frac(arrow(E) arrow(P), 2)$.

=== Укажите все верные утверждения. Магнитное поле создают

*1. Электрический ток*
*2. Движущаяся заряженная частица*
3. Потенциальное электрическое поле
4. Вихревое электрическое поле
*5. Ток смещения*

*Ответ*: По закону Био-Савара и Ампера

$
arrow(B) tilde arrow(j)
$

Движущийся заряд -- это микроскопический ток. Если заряд $q$ движется со скоростью $arrow(v)$, он создает магнитное поле:

Если заряд $q$ движется со скоростью $arrow(v)$, он создает магнитное поле

$
arrow(B) prop q arrow(v)
$

Ток смещения

$
arrow(j)_"см" eq frac(partial arrow(D), partial t)
$

создает магнитное поле наравне с током проводимости.

#line(length: 100%)

=== Магнитное поле проходит через границу раздела двух однородных изотропных магнетиков $mu_2 gt mu_1$. Токи проводимости отсутствуют. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

1. $H_(1 n) eq H_(2 n)$
2. $H_(1 n) lt H_(2 n)$
*3. $H_(1 n) gt H_(2 n)$*
4. $H_(1 tau) lt H_(2 tau)$
*5. $H_(1 tau) eq H_(2 tau)$*

*Ответ*: Связь между $arrow(B)$ и $arrow(H)$

$
arrow(B) eq mu arrow(H)
$

Из уравнения Максвелла

$
"div" arrow(B) eq 0
$

Следует

$
B_(1 n) eq B_(2 n)
$

Подставим и получим

$
mu_1 H_(1 n) eq mu_2 H_(2 n)
$

Так как

$
mu_2 gt mu_1
$

Тогда

$
H_(1 n) gt H_(2 n)
$

Из уравнения Максвелла

$
"rot" arrow(H) eq arrow(j)_"пров"
$

По условию

$
arrow(j)_"пров" eq 0
$

Тогда

$
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
$

#line(length: 100%)

=== Данная система уравнений Максвелла соответствует случаю, когда

$
cases(
  integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d arrow(S),
  integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S (arrow(j) + frac(partial arrow(D), partial t) d arrow(S)),
  integral.cont_S arrow(D) d arrow(S) eq 0,
  integral.cont_S arrow(B) d arrow(S) eq 0
)
$

1. электрическое и магнитное поля не изменяются во времени
2. отсутствуют токи смещения
3. отсутствуют токи проводимости
*4. отсутствуют свободные заряды*
5. отсутствуют связанные заряды

*Ответ*: В общем случае третье уравнение Максвелла выглядит следующим образом

$
integral.cont_S arrow(D) dot d arrow(S) eq Q_"своб"
$

В задаче

$
integral.cont_S arrow(D) dot d arrow(S) eq 0
$

Значит

$
Q_"своб" eq 0
$

#line(length: 100%)

=== В изображенной на рисунке точке $A$ магнитное поле направлено по стрелке

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/3.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  )
]

1. $1$
*2. $2$*
3. $3$
4. $4$
5. $5$

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== Зависимость смещения материальной точки от времени определяется уравнением $x eq 0.12 cos(20 t + 0.2)$. Определите период колебаний.

*Ответ*: Общий вид уравнения колебаний

$
x(t) eq A cos(omega t + phi_0)
$

где $A$ -- амплитуда, $omega$ -- циклическая (угловая) частота, $phi_0$ -- начальная фаза.

Для данного уравнения

$
omega eq 20 "рад/с"
$

По формуле

$
T eq frac(2 pi , omega)
$

Подставив число, получим

$
T approx 0.314 "с"
$

#line(length: 100%)

=== Напряженность поля диполя при удалении от него

1. не изменяется
2. убывает пропорционально первой степени расстояния до центра диполя
3. убывает пропорционально квадрату расстояния до центра диполя
*4. убывает пропорционально кубу расстояния до центра диполя*
5. убывает пропорционально корню квадратному из расстояния до центра диполя

*Ответ*:

$
E tilde frac(k q l, r^3)
$

где $q l eq p$ -- дипольный момент.

$
E tilde frac(p, r^3)
$

=== Пластина из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ помещена параллельно пластинам в заряженный плоский конденсатор. Как связаны между собой векторы электрической индукции $D$ и поляризации диэлектрика $P$.

1. $arrow(D) eq epsilon_0 epsilon arrow(P)$
*2. $arrow(D) eq frac(epsilon arrow(P), epsilon - 1)$*
3. $arrow(D) eq -frac(epsilon arrow(P), epsilon - 1)$
4. $arrow(D) eq -(epsilon - 1) arrow(P)$
5. $arrow(D) eq (epsilon - 1) arrow(P)$

*Ответ*: По определению электрической индукции

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Связь поляризации (поляризованности) с полем

$
arrow(P) eq epsilon_0 (epsilon - 1) arrow(E)
$

Выразим $arrow(E)$ через $arrow(P)$

$
arrow(E) eq frac(arrow(P), epsilon_0 (epsilon - 1))
$

Подставляем в формулу для $arrow(D)$

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P) eq epsilon_0 dot frac(arrow(P), epsilon_0 (epsilon - 1)) + arrow(P) eq frac(arrow(P), epsilon - 1) + arrow(P) eq frac(epsilon, epsilon - 1) arrow(P)
$

#line(length: 100%)

=== Плоский воздушный конденсатор заряжен и отключен от источника. Конденсатор заполняют диэлектриком. Выберите все верные утверждения.

1. напряженность поля в конденсаторе увеличивается
*2. напряженность поля в конденсаторе уменьшается*
3. напряжение на конденсаторе увеличивается
4. заряд конденсатора увеличивается
*5. заряд конденсатора не изменится*

*Ответ*: Если конденсатор отключен, то

$
Q eq "const"
$

При заполнении диэлектриком с $epsilon gt 1$:

$
C eq epsilon C_0
$

емкость увеличивается

Так как $Q eq "const"$, а $C$ увеличилось, то из формулы

$
Q eq C U
$

видно, что напряжение уменьшается

Так как $U$ уменьшается, а $d$ не меняется, то из формулы

$
E eq U/d
$

$E$ уменьшается

#line(length: 100%)

=== Источник внутренним сопротивлением $r$ подключен к нагрузке сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость КПД источника от $R$.

*Ответ*: По закону Ома

$
U eq cal(E) - I r
$

Домножим на $I$

$
cal(E) I eq I^2 R + I^2 r
$

$
P_"общ" eq cal(E) I \
P_"полезн" eq I^2 R
$

$
eta eq frac(P_"полезн", P_"общ") eq frac(I^2 R, I cal(E)) eq frac(I R, cal(E))
$

По закону Ома для полной цепи

$
I eq frac(cal(E), R + r)
$

Подставим и получим

$
eta(R) eq frac(E, R + r) dot R/E eq frac(R, R + r)
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/4.png"),
    caption: [],
    supplement: [Рис.]
  )
]

#line(length: 100%)

=== Силу, действующую на элемент проводника с током $I$ длиной $d l$ в магнитном поле с индукцией $B$, можно вычислить по формуле

*1. $I [d arrow(l), arrow(B)]$*
2. $2 pi I (d arrow(l), arrow(B))$
3. $1/pi I (d arrow(l), arrow(B))$
4. $frac(mu_0 I B, d l)$
5. $frac(mu_0 I B, 4 pi d l)$

*Ответ*: Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют силами Ампера. Сила, действующая на элементарный объем $d V$ проводника с плотностью тока $arrow(j)$ равна

$
d arrow(F) eq [arrow(j), arrow(B)] d V.
$

Если проводник достаточно тонкий, то

$
d arrow(F) eq I [d arrow(l), arrow(B)].
$

#line(length: 100%)

=== Напряженность поля прямого проводника с током при удалении от него

1. не изменяется
*2. убывает пропорционально первой степени расстояния до проводника*
3. убывает пропорционально квадрату расстояния до проводника
4. убывает пропорционально кубу расстояния до проводника
5. убывает пропорционально корню квадратному из расстояния до проводника

*Ответ*: По теореме о циркуляции

$
integral.cont arrow(H) dot d arrow(l) eq I
$

Берем окружность радиуса $r$:

$
integral.cont arrow(H) dot d arrow(l) eq H dot 2 pi r eq I
$

Выразив напряженность получим

$
H eq frac(I, 2 pi r)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. В однородном, изотропном магнетике

*1. $arrow(B) eq mu_0 (arrow(H) + arrow(J))$*

*2. $arrow(B) eq mu_0 mu arrow(H)$*
3. $arrow(B) eq mu_0 arrow(H) + arrow(J)$
*4. $mu eq 1 + chi$* \
*5. $arrow(J) eq chi arrow(H)$*

*Ответ*: это все стандартные формулы.

#line(length: 100%)

=== Данная система уравнений Максвелла соответствует случаю, когда

$
cases(
  integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d arrow(S),
  integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S frac(partial arrow(D), partial t) d arrow(S),
  integral.cont_S arrow(D) d arrow(S) eq integral_r rho_"стор" d V,
  integral.cont_S arrow(B) d arrow(S) eq 0
)
$

1. электрическое и магнитное поля не изменяются во времени
2. отсутствуют токи смещения
*3. отсутствуют токи проводимости*
4. отсутствуют свободные заряды
5. отсутствуют связанные заряды

*Ответ*: Второе уравнение в общем виде

$
integral.cont_L arrow(H) dot d arrow(l) eq integral (arrow(J)_"пров" + frac(partial arrow(D), partial t)) d arrow(S)
$

Видно, что

$
arrow(j)_"пров" eq 0
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Материальными уравнениями называются

*1. $arrow(B) eq mu_0 mu arrow(H)$* \
*2. $arrow(D) eq epsilon_0 epsilon arrow(E)$* \
*3. $arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)$*
4. $integral.cont_L B d l eq mu_0 I$
5. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq 0$

*Ответ*: Материальные уравнения -- это уравнения, которые связывают поля c откликом вещества.

$
arrow(B) eq mu_0 mu arrow(H)
$

связывает $arrow(B)$ и $arrow(H)$.

$
arrow(D) eq epsilon_0 epsilon arrow(E)
$

связывает $arrow(D)$ и $arrow(E)$.

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

связывает $arrow(D)$ и $arrow(E)$, учитывая поляризацию $arrow(P)$.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные для световой волны утверждения

*1. векторы $arrow(E)$ и $arrow(H)$ изменяются с одинаковой частотой* \
*2. векторы $arrow(E)$ и $arrow(H)$ всегда перпендикулярны друг к другу* \
*3. скорость распространения зависит от диэлектрической проницаемости среды* \
*4. скорость распространения зависит от магнитной проницаемости среды* \
*5. волна всегда переносит энергию в пространстве*

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения

*1. силовые линии электростатического поля не могут быть замкнуты*
2. силовые линии электростатического поля всегда замкнуты
*3. циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю*
4. циркуляция напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру отлична от нуля
5. циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру зависит от формы контура

*Ответ*: Для электростатического поля выполняется одно из уравнений максвелла

$
"rot" arrow(E) eq 0
$ <eq1>

По определению циркуляции

$
integral.cont_L arrow(E) dot d arrow(l)
$

Из уравнения @eq1

$
integral.cont_L arrow(E) dot d arrow(l) eq 0
$ <eq2>

Из @eq2 следует то, что замкнутых силовых линий
 быть не может.

 #line(length: 100%)

 === По длинному прямому проводнику течет электрический ток силой $I$. Индукция магнитного поля в вакууме, в точке $A$ на расстоянии $R$ от проводника равна

1. $frac(
  mu_0 I,
  4 pi R
)$

2. $frac(
  I,
  2 pi R
)$

3. $frac(
  mu_0 I,
  2 R
)$

*4. $frac(
  mu_0 I,
  2 pi R
)$*

5. $frac(
  I pi,
  8 R
)$

*Ответ*: вывод был много раз.

#line(length: 100%)

=== Контур с током обладает магнитным моментом $P_m$. Механический момент, действующий на этот контур в поле с индукцией $B$, равен

1. $bold([arrow(P)_m, arrow(B)])$
2. $-[arrow(P)_m, arrow(B)]$
3. $2 pi [arrow(P)_m, arrow(B)]$
4. $frac(
  [arrow(P)_m, arrow(B)],
  4 pi
)$
5. $0$

*Ответ*: Магнитный момент контура

$
arrow(p)_m eq I arrow(S)
$

Формула механического момента

$
arrow(M) eq arrow(P)_m times arrow(B)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите, как изменяются потенциал $phi$ и напряженность $E$ внутри проводящей сферы, равномерно заряженной по поверхности

1. $E eq "const", phi tilde 1/r$
2. $E tilde frac(1, r^2), phi tilde 1/r$
3. $E tilde 1/r, phi tilde frac(1, r^2)$
*4. $E eq 0, phi eq "const"$*
5. $E tilde r, phi tilde r^2$

*Ответ*: В электростатическом равновесии

$
E_"внутри проводника" eq 0
$

Связь потенциала и поля

$
arrow(E) eq - nabla phi
$

Если

$
arrow(E) eq 0
$

то

$
nabla phi eq 0
$

Потенциал не меняется в пространстве

$
phi eq "const"
$

#line(length: 100%)

=== В некоторой точке однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ напряженность поля равна $arrow(E)$. Вектор поляризации $arrow(P)$ в этой точке определяется выражением

1. $arrow(P) eq epsilon_0 (1 - epsilon) arrow(E)$
*2. $arrow(P) eq epsilon_0 (epsilon - 1) arrow(E)$*
3. $arrow(P) eq epsilon_0 epsilon arrow(E)$
4. $arrow(P) eq frac(epsilon, epsilon - 1) arrow(E)$
5. $arrow(P) eq - frac(epsilon, epsilon - 1) arrow(E)$

*Ответ*:

$
arrow(P) eq epsilon_0 chi arrow(E)
$

$
epsilon eq 1 + chi
$

$
chi eq epsilon - 1
$

$
arrow(P) eq epsilon_0 (epsilon - 1) arrow(E)
$

#line(length: 100%)

=== Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность

1. равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности
2. равен сумме абсолютных величин связанных зарядов, находящихся внутри поверхности
3. равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную
*4. равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленной на электрическую постоянную*
5. равен нулю

*Ответ*: По закону Остроградского-Гаусса

$
integral.surf arrow(E) d arrow(S) eq frac(
  sum q_"внутр",
  epsilon_0
)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Магнитное поле создают

1. неподвижные электрические заряды
*2. движущиеся электрические заряды*
3. потенциальное электрическое поле
4. вихревое электрическое поле
*5. изменяющееся во времени электрическое поле*

*Ответ*:

$
"rot" arrow(H) eq arrow(j)_"проводимости" + frac(partial arrow(D), partial t)
$

#line(length: 100%)

=== Данная система уравнений Максвелла соответствует случаю, когда

$
cases(
  integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq 0,
  integral.cont_S arrow(D) d arrow(S) eq integral_V rho_"своб" d V,
  integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S arrow(j)_"пров" d arrow(S),
  integral.cont_S arrow(B) d arrow(S) eq 0
)
$

*1. электрическое и магнитное поля не изменяются во времени*
*2. отсутствуют токи смещения*
3. отсутствуют токи проводимости
4. отсутствуют свободные заряды
5. отсутствуют связанные заряды

*Ответ*: Из первого уравнения системы: поля не изменяются во времени, из второго уравнения: ток смещения отсутствует.

#line(length: 100%)

=== Частица с зарядом $q$ движущаяся со скоростью $arrow(v)$ создает в точке $A$, положение которой задано вектором $arrow(r)$, магнитное поле с индукцией

1. $frac(
  mu_0 q,
  2 pi
) frac(
  [arrow(v), arrow(r)],
  r^2
)$

*2. $frac(
  mu_0 q,
  4 pi
) frac(
  [arrow(v), arrow(r)],
  r^3
)$*

3. $-frac(
  mu_0 q,
  2 pi
) frac(
  [arrow(v), arrow(r)],
  r^2
)$

4. $frac(
  mu_0 q,
  pi
) frac(
  [arrow(v), arrow(r)],
  r
)$

5. $-frac(
  mu_0 q,
  4 pi
) frac(
  [arrow(v), arrow(r)],
  r^3
)$

*Ответ*: По формуле магнитного поля движущегося заряда (Био-Савар)

$
arrow(B) (arrow(r)) eq frac(mu_0, 4 pi) q frac(arrow(v) times arrow(r), r^3)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите уравнения, справедливые для вихревого электрического поля

*1. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral.cont_S frac(partial arrow(B), partial t) d S$*
*2. $E_(1 tau) eq E_(2 tau)$*
3. $"div" arrow(E) eq rho/epsilon_0$
4. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq 0$
5. $arrow(E) eq -"grad" phi$

*Ответ*: Вихревое электрическое поле -- это поле, которое возникает при изменяющемся во времени магнитном поле.

$
"rot" arrow(E) eq.not 0
$

Из первого выражения: если $frac(partial arrow(B), partial t) eq.not 0$, то циркуляция $arrow(E)$ не равна нулю.

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Это граничное условие для электрического поля.

#line(length: 100%)

=== Какое уравнение показывает, что не существует магнитных зарядов

1. $B_(1 n) eq B_(2 n)$
2. $integral.cont_L H_l d l eq integral_S j d S$
3. $H_(1 tau) eq H_(2 tau)$
*4. $"div" arrow(B) eq 0$*
5. $"div" arrow(j) eq -frac(partial rho, partial t)$

*Ответ*: $"div" arrow(B) eq 0$ это одно из уравнений Максвелла. И оно значит, что нет магнитных зарядов.

#line(length: 100%)

=== Укажите, как изменяются потенциал $phi$ и напряженность $E$ внутри шара, равномерно заряженного по объему

1. $E eq "const", phi tilde 1/r$
2. $E tilde frac(1, r^2), phi tilde frac(1, r^2)$
3. $E tilde 1/r, phi tilde frac(1, r^2)$
4. $E eq 0, phi eq "const"$
*5. $E tilde r, phi tilde r^2$*

*Ответ*: По закону Гаусса

$
integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(q_"внутр", epsilon_0)
$

$
q_"внутр" eq rho dot 4/3 pi r^3
$

$
E dot 4 pi r^2 eq frac(rho 4/3 pi r^3, epsilon_0)
$

$
E(r) eq frac(rho, 3 epsilon_0) r
$

$
E tilde r
$

$
E eq - frac(d phi, d r)
$

$
phi(r) tilde - integral r d r tilde -r^2
$

$
phi tilde r^2
$

#line(length: 100%)

=== В некоторой точке однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ напряженность поля равна $E$, а вектор поляризации равен $P$. Индукция электрического поля в этой точке определяется выражением

1. $arrow(P) + (1 - epsilon) arrow(E)$
2. $arrow(P) + epsilon_0 epsilon arrow(E)$
*3. $arrow(P) + epsilon_0 arrow(E)$*
4. $epsilon_0 arrow(E) + epsilon arrow(P)$
5. $epsilon_0 epsilon arrow(E) - arrow(P)$

*Ответ*: По определению электрической индукции:

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

#line(length: 100%)

=== Поток вектора поляризации через замкнутую поверхность

1. равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности
*2. равен алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри поверхности, взятой с обратным знаком*
3. равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную
4. равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленной на электрическую постоянную
5. равен нулю

*Ответ*:

$
rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
$

$
integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S)
$

$
integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S) eq integral_V "div" arrow(P) space d V
$

$
"div" arrow(P) eq -rho_"связ"
$

$
integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S) eq -integral_V rho_"связ" d V
$

$
integral.cont_S arrow(P) dot d arrow(S) eq -Q_"связ"
$

#line(length: 100%)

=== Слой однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ прижат к пластине, заряженной с поверхностной плоскостью $sigma$. Напряженность электрического поля в диэлектрике определяется выражением

1. $E eq frac(sigma, epsilon_0 epsilon)$
2. $E eq frac(sigma, epsilon_0)$
3. $E eq epsilon_0 epsilon sigma$
*4. $E eq frac(sigma, 2 epsilon_0 epsilon)$*
5. $E eq epsilon_0 sigma$

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Циркуляция вектора индукции магнитного поля вычисляется по формуле

*1. $integral.cont_L B_tau d l$*\
*2. $integral.cont_L arrow(B) d arrow(l)$*
3. $integral.cont_L arrow(B) times d arrow(l)$
4. $integral.cont_L B 2 pi d r$
5. $integral.cont_L arrow(B) times d arrow(r)$

*Ответ*: Второй вариант -- это точное определение циркуляции. Первый вариант -- это проекция на касательное направление.

#line(length: 100%)

=== По длинному прямому проводнику течет электрический ток силой $I$. Поток вектора магнитной индукции через поверхность сферы радиусом $R$, центр которой находится на расстоянии $a$ от проводника, равен

1. $frac(
  mu_0 I,
  4 pi R
)$

2. $frac(
  I,
  2 pi R
)$

3. $frac(
  mu_0 I a,
  4 pi R^2
)$

4. $frac(
  mu_0 I,
  2 pi a
)$

5. $0$

*Ответ*: для длинного прямого проводника магнитного поля:

$
B eq frac(mu_0 I, 2 pi r)
$

Поток магнитного поля

$
Phi_B eq integral.double_S arrow(B) dot d arrow(S)
$

$
arrow(B) perp d arrow(S) arrow.double arrow(B) dot d arrow(S) eq 0
$

#line(length: 100%)

=== $I'$ -- алгебраическая сумма токов намагничивания, $I$ -- алгебраическая сумма токов проводимости. Циркуляцию вектора $J$ по замкнутому контуру $L$ можно определить по формуле

1. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I' + I$
*2. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I'$*
3. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I$
4. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq I' - I$
5. $integral.cont_L arrow(J) d arrow(l) eq 0$

*Ответ*: Определение циркуляции тока намагничивания

$
integral.cont_L arrow(J) dot d arrow(l) eq sum "токов намагничивания внутри контура"
$

#line(length: 100%)

=== Плотность тока смещения равна

1. $frac(partial arrow(B), partial t)$
2. $arrow(j)_"проводимости"$
3. $epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t) + arrow(j)_"проводимости"$
*4. $frac(partial arrow(D), partial t)$*
5. $mu_0 frac(partial arrow(H), partial t)$

*Ответ*: определение.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вычисляется по формуле

*1. $integral.cont_L H_l d l$* \
*2. $integral.cont_L arrow(H) d arrow(l)$*
3. $integral.cont_L arrow(H) times d arrow(l)$
4. $integral.cont_L H 2 pi d r$
5. $integral.cont_L arrow(H) times d arrow(r)$

*Ответ*: второй вариант -- определение циркуляции. первый вариант -- проекция на касательную.

#line(length: 100%)

=== Посередине между двумя точечными зарядами $q_1 eq 6 "нКл"$ и $q_2 eq -2 "нКл"$ помещен заряд $q$. На этот заряд со стороны заряда $q_2$ действует сила $4$ мкН. Определить силу, действующую на заряд $q$ со стороны обоих зарядов $q_1$ и $q_2$.

1. $36$ мкН
2. $24$ мкН
3. $18$ мкН
*4. $16$ мкН*
5. $12$ мкН

*Ответ*: На заряд $q$ действует сила $F_(q_1)$ и $F_(q_2)$.

$
frac(F_(q_1), F_(q_2)) eq frac(k frac(q q_1, x^2), k frac(q q_2, x^2)) eq frac(q_1, q_2) eq |-3| eq 3
$

$
F_(q_1) eq 3 F_(q_2) eq 3 dot 4 "мкН" eq 12 "мкН"
$

Так как силы сонаправлены

$
F eq F_(q_1) + F_(q_2) eq 16 "мкН"
$

#line(length: 100%)

=== Электростатическое поле создано двумя точечными зарядами $-q$ и $+4q$. Отношение потенциала поля, созданного вторым зарядом в точке $A$, к потенциалу результирующего поля в этой точке равно

1. $2$
2. $3$
*3. $4$*
4. $-2$
5. $-4$

*Ответ*:

$
phi_2 eq k frac(4 q, 3 a)
$

$
phi_1 eq k frac(-q, a)
$

$
phi_"рез" eq phi_1 + phi_2 eq k(frac(-q, a) + frac(4 q, 3 a)) eq k frac(q, 3 a)
$

$
frac(phi_2, phi_"рез") eq frac(k frac(4 q, 3 a), k frac(q, 3 a)) eq 4
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Вихревое электрическое поле создают

*1. движущиеся с ускорением электрические заряды*
2. движущиеся равномерно точечные заряды
3. потенциальные, однородные электрические поля
*4. изменяющееся во времени магнитное поле*
5. стационарное, однородное магнитное поле

*Ответ*: Ускоренный заряд создает переменное магнитное поле.

$
"ускорение заряда" arrow.double frac(partial arrow(B), partial t) eq.not 0 arrow.double "rot" arrow(E) eq.not 0
$

$
("rot" arrow(E) eq -frac(partial arrow(B), partial t))
$

#line(length: 100%)

=== Какой график представляет зависимость напряженности электрического поля $E(r)$ для равномерно заряженной сферы радиуса $R$

*Ответ*: По закону Гаусса:

$
integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(q_"внутр", epsilon_0)
$

$
q(r) eq q frac(r^3, R^3)
$

$
E(r) 4 pi r^2 eq frac(q r^3, epsilon_0 R^3)
$

$
E(r) eq k frac(q, R^3) r
$

снаружи сферы

$
E(r) 4 pi r^2 eq q/(epsilon_0)
$

$
E(r) eq k frac(q, r^2)
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/5.png"),
    caption: [Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы],
    supplement: [Рис.]
  )
]

#line(length: 100%)

=== Пластина из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ вплотную прилегает к проводящей пластине, заряженной с поверхностной плотностью $sigma$. Поверхностная плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика $sigma'$ равна.

1. $sigma' eq frac(epsilon - 1, epsilon) sigma$
2. $sigma' eq -frac(epsilon, epsilon - 1) sigma$
3. $sigma' eq frac(epsilon, epsilon - 1) sigma$
4. $sigma' eq - sigma / epsilon$
*5. $sigma' eq -frac(epsilon - 1, epsilon) sigma$*

*Ответ*:

$
D eq sigma
$

$
arrow(D) eq epsilon_0 epsilon arrow(E)
$

$
E eq frac(sigma, epsilon_0 epsilon)
$

$
arrow(P) eq epsilon_0 (epsilon - 1) arrow(E)
$

$
arrow(P) eq epsilon_0 (epsilon - 1) frac(sigma, epsilon_0 epsilon) eq frac(epsilon - 1, epsilon) sigma
$

$
sigma' eq -P eq -frac(epsilon - 1, epsilon) sigma
$

#line(length: 100%)

=== В каком случае поток вектора напряженности однородного электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю?

1. только когда на поверхности находятся электрические заряды
*2. только если вектор напряженности перпендикулярен поверхности во всех точках*
3. всегда
4. никогда не равен нулю
5. только когда поверхность имеет сферическую форму

*Ответ*:

$
Phi eq integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S)
$

если $arrow(E) perp d arrow(S)$, то $arrow(E) dot d arrow(S) eq 0$, соответственно $Phi eq 0$

#line(length: 100%)

=== Электрическое поле создается заряженным равномерно по объему шаром из дэлектрика с проницаемостью $epsilon eq 3$. Как изменится напряженность электрического поля на некотором расстоянии от центра шара внутри него, при уменьшении диэлектрической проницаемости в 2 раза.

1. увеличится в 2 раза
*2. увеличится в 1.33 раза*
3. не изменится
4. уменьшится в 4 раза
5. уменьшится в 1.33 раза

*Ответ*:

$
epsilon eq 3, epsilon' eq 3/2
$

$
integral.cont arrow(D) dot d arrow(S) eq q_"своб, внутри"
$

внутри шара

$
D dot 4 pi r^2 eq rho dot 4/3 pi r^3
$

$
D eq frac(rho r, 3)
$

$
arrow(D) eq epsilon_0 epsilon arrow(E)
$

$
E eq frac(D, epsilon_0 epsilon)
$

$
E_1 eq frac(D, epsilon_0 3)
$

$
E_2 eq frac(D, epsilon_0 3/2)
$

$
frac(E_2, E_1) eq 3/(3/2) eq 2
$

#line(length: 100%)

=== Электрический диполь помещен в электрическое поле так, что его дипольный момент перпендикулярен линиям напряженности поля. Что произойдет с диполем?

1. останется неподвижным
2. развернется моментом по полю и будет выталкиваться в область слабого поля
*3. развернется моментом по полю и будет втягиваться в область сильного поля*
4. развернется моментом против поля и будет выталкиваться в область слабого поля
5. развернется моментом против поля и будет втягиваться в область сильного поля

*Ответ*: Диполь всегда втягивается в область сильного поля. Поле всегда пытается расположить диполь так, чтобы плюс был по полю, минус против.

#line(length: 100%)

=== Сегнетоэлектрик, поляризованность которого равна нулю, помещен в незаряженный плоский конденсатор. Напряжение на конденсаторе начинают увеличивать от нулевого значения. Укажите все верные утверждения

*1. диэлектрическая восприимчивость сегнетоэлектрика сначала растет, потом убывает* \
*2. индукция поля в сегнетоэлектрике растет*
3. индукция поля в сегнетоэлектрике сначала растет, потом убывает
4. диэлектрическая восприимчивость сегнетоэлектрика растет
5. индукция поля в сегнетоэлектрике убывает

*Ответ*: В сегнетоэлектрике поляризация нелинейна. При малых полях диполи легко поворачиваются. При больших полях наступает насыщение. 

Диэлектрическая восприимчивость

$
chi eq frac(P, epsilon_0 E)
$

Электрическая индукция 

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

поле $arrow(E)$ растет, поляризация $arrow(P)$ растет. 

#line(length: 100%)

=== Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику напряжения. Расстояния между обкладками конденсатор увеличивают. Выберите все верные утверждения

*1. напряженность поля в конденсаторе не меняется*
2. заряд конденсатора не меняется
*3. напряжение на конденсаторе не меняется*
4. заряд конденсатора увеличивается 
*5. заряд конденсатора уменьшается*

*Ответ*: Так как конденсатор подключен к источнику, то источник поддерживает напряжение.

Напряженность тоже не меняется. (хз)

Емкость плоского конденсатора

$
C eq frac(epsilon_0 S, d)
$

Так как $d$ увеличивается, то $C$ уменьшается.

$
Q eq C U
$ 

Если $C$ уменьшается, а $U$ постоянно, тогда $Q$ уменьшается.

#line(length: 100%)

=== Вектор напряженности электростатического поля по отношению к эквипотенциальным поверхностям направлен

*1. по нормали в сторону убывания потенциала*
2. по касательной в сторону убывания потенциала
3. по нормали в сторону возрастания потенциала
4. по касательной в сторону возрастания потенциала
5. по спирали охватывает силовые линии

*Ответ*: По определению 

$
arrow(E) eq - gradient phi
$

вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала. 

Эквипотенциальная поверхность -- это поверхность, где: 

$
phi eq "const"
$

Тогда $arrow(E)$ направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. 

#line(length: 100%)

=== При затухающих гармонических колебаниях частота колебаний

1. намного меньше собственной частоты колебательной системы
2. намного больше собственной частоты колебательной системы
3. равной собственной частоте колебательной системы
*4. чуть меньше собственной частоты колебательной системы*
5. чуть больше собственной частоты колебательной системы

*Ответ*: Для линейной колебательной системы

$
x'' + 2 beta x' + omega_0^2 x eq 0
$

где $omega_0$ -- собственная частота, $beta$ -- коэффициент затухания.

При слабом затухании ($beta lt omega_0$)

$
x(t) eq A_0 e^(-beta t) cos (omega t + phi)
$

где частота затухающих колебаний равна 

$
omega eq sqrt(omega_0^2 - beta^2)
$

Так как 

$
beta^2 gt 0
$

то

$
omega_0^2 - beta^2 lt omega_0^2 
$

следовательно

$
omega lt omega_0
$

Если колебания гармонические, затухание слабое

$
beta lt.double omega_0 
$

Тогда 

$
omega eq omega_0 sqrt(1 - frac(beta^2, omega_0^2)) approx omega_0 (1 - frac(beta^2, 2 omega_0^2))
$

$
omega_0 - omega approx frac(beta^2, 2 omega_0)
$

#line(length: 100%)

=== Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику напряжения. Конденсатор заполняют диэлектриком. Выберите все верные утверждения

1. напряженность поля в конденсаторе увеличивается
*2. напряженность поля в конденсаторе уменьшается*
*3. напряжение на конденсаторе не меняется*
*4. заряд конденсатора увеличивается*
5. заряд конденсатора уменьшается


*Ответ*: поскольку конденсатор подключен к источнику, $U$ остается постоянным.

Напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком 

$
E eq U/d
$

Диэлектрик не изменяет внешнее напряжение $U$, но в нем создаются внутренние поляризационные заряды, которые частично компенсируют поле. Напряженность внутри диэлектрика меньше, чем в воздухе.

Емкость конденсатора с диэлектриком увеличивается

$
C eq epsilon_r epsilon_0 S/d gt C_0
$

А поскольку $U eq "const"$, заряд

$
Q eq C U
$

увеличивается 

#line(length: 100%)

=== Плоский воздушный конденсатор заполнен диэлектриком с проницаемостью $epsilon$. Конденсатор подключен к источнику напряжения. Диэлектрика вынимают из конденсатора. Выберите верные утверждения 

*1. напряженность поля в конденсаторе увеличивается*
2. напряженность поля в конденсаторе уменьшается 
*3. напряжение на конденсаторе не меняется*
4. заряд конденсатора увеличивается
*5. заряд конденсатора уменьшается*

*Ответ*: Конденсатор подключен к источнику, поэтому $U$ остается постоянным.

Напряженность внутри диэлектрика была меньше, чем в воздухе 

$
E_"диэлектрик" eq frac(U, epsilon d) lt U/d eq E_"воздух"
$

После того как диэлектрик вынимают

$
E eq U/d gt E_"диэлектрик"
$

Емкость конденсатора с диэлектриком

$
C_"диэлектрик" eq epsilon C_0 
$

После вынимания диэлектрика

$
C_"воздух" eq C_0 lt C_"диэлектрик"
$

Поскольку $U eq "const"$

$
Q eq C U 
$

емкость уменьшилась, соответственно заряд уменьшился.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Для потенциального электрического поля

*1. $integral_L arrow(E) d arrow(l) eq 0$*
2. на незаряженной границе диэлектриков $E_(1 n) eq E_(2 n)$
*3. $"rot" arrow(E) eq 0$*
4. $integral_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d S$
*5. $arrow(E) eq -"grad" phi$*

*Ответ*: Электрическое поле называется потенциальным, если существует скалярный потенциал $phi$, такой что: 

$
arrow(E) eq - nabla phi
$

$
arrow(E) eq -"grad" phi
$ 

это определение

$
"rot" arrow(E) eq 0
$

Это свойство потенциального поля. Поле не завихрено, линии поля не образуют замкнутых петель.

$
integral.cont_L arrow(E) dot d arrow(l) eq 0 
$

Из теоремы Стокса

$
integral.cont_L arrow(E) dot d arrow(l) eq integral_S "rot" arrow(E) dot d arrow(S)
$

Для потенциального поля $"rot" arrow(E) eq 0$, значит интеграл по любому замкнутому контуру $eq 0$.

#line(length: 100%)

=== Собственная частота в колебательном контуре определяется выражением

*1. $2 pi sqrt(L C)$*
2. $frac(2 pi, sqrt(L C))$
3. $frac(R, 2 L)$
4. $2 pi L C$

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== Электрическое поле создается заряженным равномерно по объему шаром из диэлектрика с проницаемостью $epsilon eq 5$. Как изменится напряженность электрического поля на некотором расстоянии от центра шара внутри него при увеличении объемной плотности заряда внутри шара в 2 раза

*1. увеличится в $2$ раза*
2. увеличится в $1.33$ раза
3. увеличится в $4$ раза
4. уменьшится в $4$ раза
5. уменьшится в $5$ раз

*Ответ*: Для шара с объемной плотностью заряда $rho$ в диэлектрике с $epsilon$ напряженность внутри шара задается формулой

$
E eq frac(rho r, 3 epsilon_0 epsilon)
$

Если увеличиваем $rho$ в два раза 

$
E arrow frac((2 rho) r, 3 epsilon_0 epsilon) eq 2 dot frac(rho r, 3 epsilon_0 epsilon) eq 2 E
$

#line(length: 100%)

=== Как изменится напряженность поля внутри заряженного и отключенного от источника воздушного конденсатора, если увеличить расстояние между пластинами в 4 раза?

1. увеличится в 4 раза
2. уменьшится в 4 раза
3. уменьшится в 2 раза
4. увеличится в 2 раза
*5. не изменится*

*Ответ*: Напряженность поля в плоском конденсаторе

$
E eq frac(sigma, epsilon_0) eq frac(q, epsilon_0 S)
$

Емкость конденсатора

$
C eq frac(epsilon_0 S, d)
$

Напряжение на пластинах 

$
U eq Q/C eq frac(Q d, epsilon_0 S)
$

Если $d arrow 4 d$, емкость уменьшается в 4 раза, а напряжение

$
U arrow 4 U
$

Напряжение увеличилось, но $E$ внутри, как плотность поля между пластинами, остается

$
E eq U/d eq frac(4 U, 4 d) eq U/d eq E_"исходное"
$

#line(length: 100%)

=== Пластину из однородного изотропного диэлектрика внесли в заряженный конденсатор, параллельно его пластинам, но не касаясь их. Если пренебречь утечкой заряда с конденсатор, то

*1. на поверхности диэлектрика появятся связанные заряды*
2. на поверхности и в объеме диэлектрика появятся свободные заряды
3. в объеме диэлектрика появятся связанные заряды
4. на поверхности диэлектрика появятся связанные заряды, а в объеме -- свободные
5. на поверхности диэлектрика появятся свободные заряды, а внутри -- связанные

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== При преломлении линий индукции электрического поля на границе двух однородных изотропных диэлектриков

1. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(epsilon_1, epsilon_2)$
2. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(epsilon_2, epsilon_1)$
*3. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(epsilon_2, epsilon_1)$*
4. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(epsilon_1, epsilon_2)$
5. $tg alpha_1 eq tg alpha_2$

*Ответ*: Тангенциальная компонента напряженности непрерывна

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Нормальная компонента электрической индукции непрерывна

$
D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Так как 

$
arrow(D) eq epsilon epsilon_0 arrow(E)
$

то 

$
epsilon_1 E_(1 n) eq epsilon_2 E_(2 n)
$

$
E_n eq E cos alpha \
E_tau eq E sin alpha
$

Тангенциальная компонента

$
E_1 sin alpha_1 eq E_2 sin alpha_2
$

Нормальная компонента

$
epsilon_1 E_1 cos alpha_1 eq epsilon_2 E_2 cos alpha_2
$

Поделив друг на друга

$
frac(E_1 sin alpha_1, epsilon_1 E_1 cos alpha_1) eq frac(E_2 sin alpha_2, epsilon_2 E_2 cos alpha_2)
$

Сократив $E_1, E_2$

$
frac(tg alpha_1, epsilon_1) eq frac(tg alpha_2, epsilon_2)
$

$
frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(epsilon_2, epsilon_1)
$

#line(length: 100%)

=== При преломлении линий индукции магнитного поля на границе двух однородных изотропных диэлектриков

1. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(mu_1, mu_2)$
2. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(mu_2, mu_1)$
*3. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(mu_2, mu_1)$*
4. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(mu_1, mu_2)$
5. $tg alpha_1 eq tg alpha_2$ 

*Ответ*: Нормальная компонента непрерывна

$
B_(1 n) eq B_(2 n)
$

Тангенциальная компонента непрерывна

$
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
$

Но 

$
arrow(B) eq mu mu_0 arrow(H)
$

Следовательно

$
frac(B_(1 tau), mu_1) eq frac(B_(2 tau), mu_2)
$

$
B_n eq B cos alpha \
B_tau eq B sin alpha 
$

$
B_1 cos alpha_1 eq B_2 cos alpha_2 
$

$
frac(B_1 sin alpha_1, mu_1) eq frac(B_2 sin alpha_2, mu_2)
$

$
frac(B_1 sin alpha_1, mu_1 B_1 cos alpha_1) eq frac(B_2 sin alpha_2, mu_2 B_2 cos alpha_2)
$

$
frac(tg alpha_1, mu_1) eq frac(tg alpha_2, mu_2)
$

$
frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(mu_2, mu_1)
$

#line(length: 100%)

=== При преломлении линий напряженности электрического поля на границе двух однородных изотропных диэлектриков

1. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(epsilon_1, epsilon_2)$
2. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(epsilon_2, epsilon_1)$
*3. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(epsilon_2, epsilon_1)$*
4. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(epsilon_1, epsilon_2)$
5. $tg alpha_1 eq tg alpha_2$

*Ответ*: Тангенциальная компонента $arrow(E)$ непрерывна

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Нормальная компонента $arrow(D)$ непрерывна

$
D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Но 

$
arrow(D) eq epsilon epsilon_0 arrow(E)
$

следовательно 

$
epsilon_1 E_(1 n) eq epsilon_2 E_(2 n)
$

$
E_n eq E cos alpha \
E_tau eq E sin alpha 
$

Тангенциальная компонента

$
E_1 sin alpha_1 eq E_2 sin alpha_2
$

Нормальная компонента

$
epsilon_1 E_1 cos alpha_1 eq epsilon_2 E_2 cos alpha_2
$

$
frac(E_1 sin alpha_1, epsilon_1 E_1 cos alpha_1) eq frac(E_2 sin alpha_2, epsilon_2 E_2 cos alpha_2)
$

Сократив

$
frac(tg alpha_1, epsilon_1) eq frac(tg alpha_2, epsilon_2)
$

$
frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(epsilon_2, epsilon_1)
$

#line(length: 100%)

=== При преломлении линий напряженности магнитного поля на границе двух однородных изотропных магнетиков

1. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(mu_1, mu_2)$
2. $frac(sin alpha_2, sin alpha_1) eq frac(mu_2, mu_1)$
*3. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(mu_2, mu_1)$*
4. $frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(mu_1, mu_2)$
5. $tg alpha_1 eq tg alpha_2$

*Ответ*: Тангенциальная компонента непрерывна

$
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
$

Нормальная компонента непрерывна

$
B_(1 n) eq B_(2 n)
$

Но 

$
arrow(B) eq mu mu_0 arrow(H)
$

следовательно 

$
mu_1 H_(1 n) eq mu_2 H_(2 n)
$

$
H_n eq H cos alpha \
H_tau eq H sin alpha 
$

Тангенциальная компонента

$
H_1 sin alpha_1 eq H_2 sin alpha_2
$

Нормальная компонента

$
mu_1 H_1 cos alpha_1 eq mu_2 H_2 cos alpha_2
$

$
frac(H_1 sin alpha_1, mu_1 H_1 cos alpha_1) eq frac(H_2 sin alpha_2, mu_2 H_2 cos alpha_2)
$

$
frac(tg alpha_1, mu_1) eq frac(tg alpha_2, mu_2)
$

$
frac(tg alpha_2, tg alpha_1) eq frac(mu_2, mu_1)
$

#line(length: 100%)

=== Какое уравнение отражает тот факт, что линии магнитной индукции всегда замкнуты?

1. $B_(1 n) eq B_(2 n)$
*2. $integral.cont_S arrow(B) d arrow(S) eq 0$*
3. $B_(1 tau) eq B_(2 tau)$
4. $integral.cont_L arrow(B) d arrow(l) eq mu_0 (I + I')$
5. $arrow(B) eq mu_0 (arrow(H) + arrow(J))$

*Ответ*: $integral.cont_S arrow(B) dot d arrow(S) eq 0$

это закон Гаусса для магнитного поля.

#line(length: 100%)

=== Укажите все правильные для парамагнетиков утверждения

*1. На внешней орбите находится нечетное число электронов* \
*2. $arrow(B) eq mu_0 (arrow(H) + arrow(J))$*
3. Магнитная восприимчивость $chi lt 0$
4. Магнитная проницаемость чуть меньше единицы
*5. Образец втягивается в область сильного магнитного поля*

*Ответ*: Нечетное число электронов $arrow.double$ есть неспаренный электрон $arrow.double$ собственный магнитный момент атома $arrow.double$ главный признак парамагнетиков.

$
arrow(B) eq mu_0 (arrow(H) + arrow(J))
$

общее уравнение магнитного поля в веществе

у парамагнетиков $chi gt 0$

Парамагнетики усиливают магнитное поле. Система стремится туда, где поле сильнее, уменьшается энергия. Поэтому парамагнетик втягивается в область сильного поля.

#line(length: 100%)

=== По длинному прямому проводнику течет ток силой $I$. Вычислите поток вектора магнитной индукции через поверхность цилиндра радиусом $R$ и высотой $h$.

1. $frac(mu_0 I, 2 pi R h)$
2. $frac(mu_0 I, 4 pi R h)$
*3. $0$*
4. $frac(I, pi R h)$
5. $mu_0 frac(I, R h)$

*Ответ*:

$
Phi_B eq integral.cont_S arrow(B) dot d arrow(S)
$

Для магнитного поля всегда выполняется закон Гаусса 

$
integral.cont_S arrow(B) dot d arrow(S) eq 0
$

цилиндр -- замкнутая поверхность.

#line(length: 100%)

=== Потенциал поля диполя равен нулю (при нулевом потенциале на бесконечности) ...

1. ... во всех точках, лежащих ближе к положительному заряду диполя
2. ... только в точках расположенных на оси диполя
3. ... во всем пространстве
4. ... ни в одной точке пространства
*5. ... во всех точках плоскости, перпендикулярной диполю, проходящей через его середину*

*Ответ*: Потенциал электрического диполя в точке пространства: 

$
phi eq k (1/r_+ - 1/r_-)
$

Потенциал равен нулю

$
phi eq 0 arrow.double.l.r 1/r_+ eq 1/r_- arrow.double.l.r r_+ eq r_-
$

#line(length: 100%)

=== Выберите вариант ответа, в котором перечислены величины, измеряемые в $"Кл/м"^2$ в системе СИ: напряженность электрического поля $arrow(E)$, потенциал $phi$, поляризованность диэлектрика $P$, поверхностная плотность заряда $sigma$, электрическая индукция (смещение) $D$.

1. $P, D, phi$
*2. $P, D, sigma$*
3. $E, P, phi$
4. $sigma, phi, P$
5. $E, P, D$

*Ответ*: 

$
[arrow(E)] eq "В/м" eq "Н/Кл"
$

$
[phi] eq "В" eq "Дж/Кл"
$

$
[arrow(P)] eq frac("дипольный момент", "объем") eq "Кл/м"^2
$

$
[sigma] eq "Кл/м"^2
$

$
[arrow(D)] eq [epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)] eq "Кл/м"^2
$

#line(length: 100%)

=== В реальном колебательном контуре резонанс по величине тока наступает при частоте внешней ЭДС

1. намного меньше собственной частоты контура
2. намного больше собственной частоты контура
*3. равной собственной частоте контура*
4. чуть меньше собственной частоты контура
5. чуть больше собственной частоты контура

*Ответ*: Собственная частота $L C$-контура

$
omega_0 eq 1/sqrt(L C)
$

Амплитуда тока

$
I eq frac(E_0, sqrt(R^2 + (omega L - 1/(omega C))^2))
$

Максимум $I$ достигается, когда реактивные сопротивления компенсируются 

$
omega L - frac(1, omega C) eq 0 arrow.double omega eq omega_0
$

Резонанс по току $arrow$ амплитуда тока максимальна. Происходит при частоте внешнего источника $eq$ собственной частоте контура.

#line(length: 100%)

===