#set page( paper: "a4", margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm), ) #set text( font: "New Computer Modern", size: 14pt ) #set par( // first-line-indent: ( // amount: 1.5em, // all: true //), justify: true, leading: 0.52em, ) #set page(footer: context { if counter(page).get().first() > 1 [ #align(left)[ #counter(page).display("1") ] ] }) #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 160pt)[#text(size: 0.5em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#align(left)[#image("assets/1.svg")]] #line(length: 100%) #align(center)[ #table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[ #align(left)[Группа: _К3221_] ][ #align(left)[К работе допущен: ] ][ #align(left)[Студенты: _Дощенников Никита, Карпов Иван_] ][ #align(left)[Работа выполнена: ] ][ #align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_] ][ #align(left)[Отчет принят: ] ] ] #align(center)[= Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №4.02 \ \ Определение расстояния между двумя щелями интерференционным методом] #line(length: 100%) #line(length: 100%) #align(center)[=== Цель работы] Определение расстояния между двумя щелями по полученной от них интерференционной картине. #align(center)[=== Задача работы] Измерение координат минимумов интерференционной картины от двух щелей при изменении расстояния между объектом и экраном. #align(center)[=== Основные формулы] #align(center)[ #figure( table(columns: 2, align: (horizon, left), inset: 10pt)[*Формула*][*Пояснение*][$Delta approx d dot theta approx d x/L$][$Delta$ - разность хода волн \ $d$ - расстояние между щелями \ $theta$ - угол отклонения луча от оси \ $x$ - координата точки на экране \ $L$ - расстояние между щелями и экраном][$Delta eq m lambda$][Условие максимума \ $m$ - порядок максимума \ $lambda$ - длина волны лазера][$Delta eq (m plus 1/2) lambda$][Условие минимума \ $m$ - номер минимума \ $lambda$ - длина волны][$x_m eq (m plus 1/2) (lambda L)/d$][$x_m$ - координата $m$-го минимума на экране \ $m$ - номера минимума \ $lambda$ - длина волны \ $L$ - расстояние до экрана \ $d$ - расстояние между щелями][$Delta x eq x_(m plus 1) minus x_m eq (lambda L)/d$][$Delta x$ - ширина интерференционной полосы \ $x_(m plus 1)$ - координата следующего (по номеру) минимума или максимума на экране. \ $x_m$ - координата предыдущего минимума или максимума \ $lambda$ - длина волны света лазера \ $L$ - расстояние между щелями и экраном \ $d$ - расстояние между двумя щелями в объекте], supplement: [Табл.], caption: [Основные формулы и пояснения к ним.] ) ] #align(center)[=== Результаты измерений] #align(center)[ #figure( table(columns: 6, align: horizon, inset: 10pt)[$X_O eq 970 "мм"$][$X_"Э" eq 38 "мм"$][$X_"Э" eq 138 "мм"$][$X_"Э" eq 238 "мм"$][$X_"Э" eq 338 "мм"$][$X_"Э" eq 438 "мм"$][$x_1", мм"$][-17][-20][-15][-18][-13][$x_2", мм"$][-14][-16][-11][-16][-11][$x_3", мм"$][-11][-12][-9][-13][-7][$x_4", мм"$][-7.5][-10][-6][-11][-5][$x_5", мм"$][-3][-3][-2][-3][-2][$x_6", мм"$][0][0][0][0][0][$x_7", мм"$][4][4][2][2][1][$x_8", мм"$][7][7][6][5][4][$x_9", мм"$][11][10][8][7][6][$x_(10)", мм"$][15][13][12][10][8][$L", мм"$][932][832][732][632][532], supplement: [Табл.], caption: [Результаты измерений.] ) ] === Расчеты Расстояния между объектом и экраном вычислялись по формуле $ L eq X_"Э" minus X_"О". $ Результаты представлены в @table2. Период интерференционной картины определяется как $ Delta x eq frac(x_max - x_min, m) $ где $x_max$ и $x_min$ -- крайние координаты минимумов, $m eq 9$ -- число интервалов между десятью минимумами. #align(center)[ #figure( table(columns: 4, align: horizon, inset: 10pt)[$bold(L\, " мм")$][$bold(x_min\, " мм")$][$bold(x_max\, " мм")$][$bold(Delta x\, " мм")$][$932$][$-17$][$15$][$3.56$][$832$][$-20$][$13$][$3.67$][$732$][$-15$][$12$][$3.00$][$632$][$-18$][$10$][$3.11$][$532$][$-13$][$8$][$2.33$], supplement: [Табл.], caption: [Период интерференционной картины] ) ] /* - $L eq 932 "мм": x_min eq -17 "мм", x_max eq 15 "мм", Delta x approx 3.56 "мм"$ - $L eq 832 "мм": x_min eq -20 "мм", x_max eq 13 "мм", Delta x approx 3.67 "мм"$ - $L eq 732 "мм": x_min eq -15 "мм", x_max eq 12 "мм", Delta x approx 3.00 "мм"$ - $L eq 632 "мм": x_min eq -18 "мм", x_max eq 10 "мм", Delta x approx 3.11 "мм"$ - $L eq 532 "мм": x_min eq -13 "мм", x_max eq 8 "мм", Delta x approx 2.33 "мм"$ */ #align(center)[ #figure( image("assets/1.png"), supplement: [Рис.], caption: [График зависимости $Delta x (L)$.] ) ] Коэффициент наклона: $ K eq 3.02 dot 10^(-3) $ Длина волны лазера: $ lambda eq 632.82 "нм" eq 6.3282 dot 10^(-4) "мм" \ d eq lambda/K \ d approx 0.210 "мм" $ Так как используется один объект и один аппроксимирующий график, среднее значение расстояния между щелями: $ chevron.l d chevron.r eq 0.21 "мм" $ Используем формулу для линейной аппроксимации методом наименьших квадратов. Тогда погрешность наклона: $ Delta K eq sqrt(1/(n - 2) frac(sum (Delta x_i minus K L_i)^2, sum (L_i minus L)^2)) $ Среднее $L$: $ overline(L) eq (932 + 832 + 732 + 632 + 532)/5 eq 732 $ Вычисляем отклонения: #align(center)[ #figure( table(columns: 4, align: horizon, inset: 10pt)[$L_i$][$Delta x_i$][$K L_i$][$Delta x_i minus K L_i$][932][3.56][2.815][0.745][832][3.67][2.514][1.156][732][3.00][2.209][0.791][632][3.11][1.911][1.199][532][2.33][1.607][0.723], supplement: [Табл.], caption: [Отклонения $(Delta x_i minus K L_i)$.] ) ] Сумма квадратов отклонений: $ sum (Delta x_i minus K L_i)^2 eq 0.745^2 plus 1.156^2 plus 0.791^2 plus 1.199^2 approx 4.479 $ Сумма квадратов отклонений $L_i$ от среднего: $ sum (L_i minus overline(L)) eq \ eq (932 minus 732)^2 plus (832 minus 732)^2 plus (732 minus 732)^2 plus (632 minus 732)^2 plus (532 minus 732)^2 eq \ eq 100000 $ Подставим: $ Delta K eq sqrt(1/(5 - 2) dot 4.479/100000) eq sqrt(1/3 dot 4.479 dot 10^(-5)) eq sqrt(1.493 dot 10^(-5)) approx 0.00387 $ Погрешность расстояния между щелями $Delta d$: $ d eq lambda/K, space.quad Delta d eq lambda/(K^2) Delta K \ Delta d eq frac(6.3282 dot 10^(-4), (3.02 dot 10^(-3))^2) dot 0.00387 approx 0.268 "мм" $ $ d eq 0.21 plus.minus 0.27 "мм" $ Погрешность, вызванная неопределённостью наклона графика: $ d eq lambda/(K^2) Delta K approx 0.27 "мм" $ Итоговое значение с учетом погрешности: $ d eq (0.21 plus.minus 0.27) "мм" $ #align(center)[=== Контрольные вопросы] 1. Что такое когерентность? Каким образом можно получить когерентные источники? Когерентность -- это постоянство разности фаз между волнами. Когерентные источники получают разделением излучения одного источника на два пучка (щели Юнга, делители пучка и т.д.). Два разных независимых источника когерентности не дают. 2. Чем можно объяснить наличие максимума по центру интерференционной картины? По центру разность хода = 0. Волны приходят в фазе и дают максимум интенсивности. 3. Сформулируйте условия возникновения максимумов и минимумов при интерференции через разность хода. Разность хода -- $Delta$. Условие максимума: $Delta eq m lambda$. Условие минимума: $Delta eq (m plus 1/2) lambda$. 4. Сформулируйте условия возникновения максимумов и минимумов при интерференции через разность фаз. Разность фаз -- $Delta phi$. Условие максимума: $Delta phi eq 2 pi m$. Условие минимума: $Delta phi eq (2 m plus 1) pi$. 5. Как изменится вид интерференционной картины в опыте Юнга при увеличении расстояния между щелями? Так как $d$ увеличивается, полосы сжимаются. $Delta x eq (lambda L, d)$. 6. Как изменится вид интерференционной картины в опыте Юнга при увеличении расстояния $L$ до экрана? Так как $L$ увеличивается, полосы растягиваются. $Delta x eq (lambda L)/d$. 7. Что называется контрастом интерференционной картины? Контраст -- степень различимости максимумов и минимумов. $C eq (I_max minus I_min) / (I_max plus I_min)$. Чем выше контраст, тем точнее и чище видна картинка. 8. Почему для наблюдения наиболее контрастной интерференционной картины необходимо равенство амплитуд складывающих волн? Если амплитуды одинаковые, то максимумы максимально яркие, а минимумы максимально темные. Это дает наибольший контраст. Если амплитуды разные, минимумы будут заполняться остаточной интенсивностью и картинка будет не такой точной. 9. Как изменится вид интерференционной картины в опыте Юнга при изменении длины волны источника, с которымпроводится опыт? Если $lambda$ увеличивается, то полосы расширяются. Если $lambda$ уменьшается, то полосы сужаются. 10. Как будет меняться интерференционная картина? Если первое отверстие в опыте Юнга постепенно делать больше? Первое отверстие определяет размер области, играющей роль точечного источника. Если его увеличить, то оно перестанет быть квазиточечным и падает когерентность. Контраст интерференционной картины уменьшается. При слишком большом отверстии картина исчезает полностью.