#set text(
  size: 14pt,
  font: "New Computer Modern",
)

#set par(
  justify: true
)

=== Потенциальная энергия электрического диполя с моментом $arrow(p)$ в поле с напряженностью $arrow(E)$.

*1. $- arrow(p) arrow(E)$*
2. $|arrow(p)| |arrow(E)|$
3. $- |arrow(p)| |arrow(E)|$
4. $- frac(|arrow(p)|, |arrow(E)|)$
5. $frac(|arrow(E)|, |arrow(p)|)$

*Ответ*: Потенциальная энергия диполя в электрическом поле: 

$
W eq - arrow(p) dot arrow(E) eq - p E(r) cos alpha, 
$

где $alpha$ -- угол между $arrow(E) (arrow(r))$ и $arrow(p)$.

#line(length: 100%)

=== Точечный заряд $q$ помещен в центр пирамиды. Поток вектора напряженности через грань пирамиды равен

1. $q/4$
*2. $q/(4 epsilon_0)$*
3. $q/(6 epsilon epsilon_0)$
4. $q/(epsilon_0)$
5. $epsilon epsilon_0 q$

*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из 4 граней пирамиды одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$

$
Phi eq q/(epsilon_0)
$

Поток через одну грань

$
Phi_1 eq q/(4 dot epsilon_0)
$

#line(length: 100%)

=== Элемент проводника с током $I$, длиной $d l$ создает в точке $A$, положение которой задано вектором $arrow(r)$, магнитное поле с индукцией

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/1.png"),
    caption: [Поясняющий рисунок.],
    supplement: [Рис.]
  ) <img1>
]

*1. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)$*
2. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^3)$
3. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
4. $frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
5. $-frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^2)$

*Ответ*: По закону Био-Савара-Лапласа для тонкого проводника: 

$
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)
$

#line(length: 100%)

=== Диполь с моментом $arrow(p)$ помещен в электрическое поле напряженностью $arrow(E)$. На диполь действует механическй момент $arrow(M)$. Укажите верное выражение.

1. $arrow(M) eq |arrow(p)| arrow(E)$
2. $arrow(M) eq |arrow(E)| arrow(p)$
3. $arrow(M) eq [arrow(E), arrow(p)]$
4. $M eq 0$
*5. $arrow(M) eq [arrow(p), arrow(E)]$*

*Ответ*: В однородном электрическом поле энергия $W$ изменяется за счет изменения угла $alpha$, при этом элементарная работа сил поля при повороте диполя равна: $d A eq M_alpha d alpha eq - d W$, где $arrow(M)_alpha eq [arrow(p) times arrow(E)]$ -- момент сил, действующий на диполь:

$
M_alpha eq -frac(partial W, partial alpha) eq -p E sin alpha
$

#line(length:  100%)

=== По витку радиусом $R$ течет ток силой $I$. Индукция магнитного поля $B$ в центре витка равна 

1. $frac(mu_0 I , 2 pi R)$
*2. $frac(mu_0 I , 2 R)$*
3. $frac(mu_0 I , pi R)$
4. $frac(mu_0 I , 4 pi R)$
5. $frac(mu_0 I , 8 pi R)$

*Ответ*: По теореме Био-Савара-Лапласа:

$
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l, r^2) eq \
eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(r d alpha, r^2) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d alpha, R).
$

$
B eq frac(mu_0 I, 4 pi R) integral_0^(2 pi) d alpha eq frac(mu_0 I 2 pi, 4 pi R) eq bold(frac(mu_0 I, 2 R))
$

#line(length: 100%)

=== Поток вектора индукции электростатического поля через замкнутую поверхность

1. Равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности.
2. Равен сумме абсолютных величин связанных зарядов, находящихся внутри поверхности.
3. Равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную.
*4. Равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленную на электрическую постоянную.*
5. Равен нулю.

*Ответ*: По теореме Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции $arrow(D)$: 

$
integral.surf_S arrow(D) d arrow(S) eq q_"внутр".
$

#line(length: 100%)

=== Точечный заряд $q$ помещен в центр куба. Поток вектора напряженности через одну грань куба равен

1. $q/6$
*2. $q/(6 epsilon_0)$*
3. $q/(4 epsilon epsilon_0)$
4. $q/(epsilon_0)$
5. $epsilon epsilon_0 q$

*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из шести граней куба одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$

$
Phi eq q/(epsilon_0)
$

Поток через одну грань

$
Phi_1 eq q/(6 dot epsilon_0).
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. В однородном изотропном диэлектрике, который помещен в однородное электрическое поле.

1. $"div" arrow(E) eq rho_"своб"$
2. $"div" arrow(P) eq -rho_"своб"$
*3. $"div" arrow(D) eq rho_"своб"$*

*4. $"div" arrow(P) eq -rho_"связ"$*
5. $"div" arrow(D) eq 0$

*Ответ*: Плотность связанных зарядов определяется формулой: 

$
rho_"связ" eq - "div" arrow(P)
$

Вектор электрической индукции: 

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Уравнения Гаусса для поля $E$

$
"div" arrow(E) eq frac(rho_"полн", epsilon_0)
$

где 

$
rho_"полн"eq rho_"своб" + rho_"связ"
$

Возьмем дивергенцию для 

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Получим

$
"div" arrow(D) eq epsilon_0 "div" arrow(E) + "div" arrow(P)
$

Подставляем в уравнение Гаусса

$
eq epsilon_0 dot frac(rho_"своб" + rho_"связ", epsilon_0) + "div" arrow(P) eq \
eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P)
$

Но мы знаем, что 

$
rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
$

то есть

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P) eq rho_"своб" -"div" arrow(P) + "div" arrow(P) eq rho_"своб"
$

В результате получим

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

#line(length: 100%)

=== Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

*1. $D_(1 n) eq D_(2 n)$*

2. $D_(1 n) lt D_(2 n)$
3. $D_(1 n) gt D_(2 n)$
*4. $D_(1 tau) lt D_(2 tau)$*

5. $D_(1 tau) gt D_(2 tau)$

*Ответ*: Так как

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

Проинтегрировав, получим

$
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
$

Так как диэлектрики незаряжены

$
rho_"своб" eq 0
$

Тогда

$
D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Векторы $arrow(D)$ и $arrow(E)$ связаны

$
arrow(D) eq epsilon arrow(E)
$

Из уравнения 

$
"rot" arrow(E) eq 0
$

Следует

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Теперь умножаем на $epsilon$

$
D_(1 tau) eq epsilon_1 E_tau \
D_(2 tau) eq epsilon_2 E_tau 
$

Так как 

$
epsilon_2 gt epsilon_1
$

то

$
D_(2 tau) gt D_(1 tau)
$

#line(length: 100%)

=== Источник внутренним спротивлением $r$ подключен к нагрузке, сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость полезной мощности от $R$.

*Ответ*: По закону Ома для замкнутой цепи: 

$
U eq cal(E) - I r
$

Домножим на $I$.

$
I U eq cal(E) I - I^2 r
$

Переставим слагаемые и воспользуемся $U eq I R$

$
I cal(E) eq I^2 R + I^2 r
$

где $I^2 R$ -- полезная мощность.

Полное сопротивление

$
R_"полн" eq R + r 
$

Ток

$
I eq frac(cal(E), R + r)
$

Тогда полезная мощность

$
P(R) eq I^2 dot R eq (frac(cal(E), R + r))^2 dot R eq frac(cal(E)^2 R, (R + r)^2)
$

#align(center)[
  #figure(
    image("assets/2.png"),
    supplement: [Рис.],
    caption: [График $P(R)$.]
  )
]

#line(length: 100%)

=== Какая формула позволяет вычислить разность потенциалов между точками $A$ и $B$, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле напряженностью $E$. 

1. $phi_A - phi_B eq - E dot l$
2. $phi_A - phi_B eq E dot l dot tg alpha$
*3. $phi_A - phi_B eq E dot l dot cos alpha$*

4. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot cos alpha$
5. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot tg alpha$

*Ответ*: По определению разности потенциалов между точками $A$ и $B$

$
phi_A - phi_B eq integral_A^B arrow(E) dot d arrow(l)
$

Так как поле однородное, то $arrow(E) eq "const"$ и интеграл упрощается до

$
phi_A - phi_B eq arrow(E) dot d arrow(l)
$

И по определению скалярного произведения 

$
phi_A - phi_B eq E l cos alpha
$

#line(length: 100%)

=== Потенциальная энергия контура с магнитным моментом $arrow(P)_m$ в поле с индукцией $arrow(B)$ равна 

1. $bold(- arrow(P)_m arrow(B))$
2. $- |arrow(P)_m| |arrow(B)|$
3. $arrow(P)_m times arrow(B)$
4. $arrow(P)_m arrow(B)$
5. $|arrow(P)_m| |arrow(B)|$

*Ответ*: Для контура с током магнитный момент: 

$
arrow(p)_m eq I arrow(S)
$

Для электрического диполя в электрическом поле

$
U eq -arrow(p) dot arrow(E)
$

Для контура с током в магнитном поле: 

$
U eq -arrow(p)_m dot arrow(B)
$

#line(length: 100%)

=== Магнитное поле проходит через границу раздела двух сред. Токи проводимости отсутствуют. $mu_2 gt mu_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела 

*1. $B_(1 n) eq B_(2 n)$*
2. $B_(1 n) lt B_(2 n)$
3. $B_(1 n) gt B_(2 n)$
*4. $B_(1 tau) lt B_(2 tau)$*
5. $B_(1 tau) gt B_(2 tau)$

*Ответ*: Уравнение Максвелла для магнитного поля 

$
"div" arrow(B) eq 0
$

Проинтегрировав, получим

$
integral.cont arrow(B) dot d arrow(S) eq 0
$

Переходя к пределу, получим граничное условие 

$
B_(2 n) - B_(1 n) eq 0 arrow.double B_(2 n) eq B_(1 n)
$

Из уравнения Максвелла

$
"rot" arrow(H) eq arrow(j)_"пров"
$

По условию

$
arrow(j)_"пров" eq 0
$

То есть 

$
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
$

Так как 

$
arrow(B) eq mu arrow(H)
$

С учетом того, что $mu_2 gt mu_1$

$
B_(2 tau) gt B_(1 tau)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все выражения, которые входят в ток смещения

*1. $frac(partial arrow(P), partial t)$*
2. $frac(partial arrow(J), partial t)$
*3. $epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t)$*
4. $arrow(j)_"проводимости"$
5. $mu_0 frac(partial arrow(H), partial t)$

*Ответ*: По определению Максвелла плотность тока смещения

$
arrow(j)_"см" eq frac(partial arrow(D), partial t)
$

По определению $arrow(D)$

$
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
$

Взяв производную по времени получим

$
frac(partial arrow(D), partial t) eq epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t) + frac(partial arrow(P), partial t)
$

#line(length: 100%)

=== В реальном колебательном контуре резонанс по величине ЭДС индукции в катушке наступает при частоте внешней ЭДС

1. намного меньше собственной частоты контура
2. намного больше собственной частоты контура
3. примерно равной собственной частоте контура
4. чуть меньше собственной частоты контура
*5. чуть больше собственной частоты контура*

*Ответ*: хз.

#line(length: 100%)

=== Укажите все волновые уравнения

*1. $Delta arrow(E) eq frac(1, c^2) frac(partial^2 arrow(E), partial t^2)$*
2. $integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S (arrow(j) + frac(partial arrow(D), partial t)) d arrow(S)$
3. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d arrow(S)$.
4. $c eq frac(1, sqrt(epsilon_0 epsilon mu_0 mu))$
*5. $Delta arrow(H) eq frac(1, c^2) frac(partial^2 arrow(H), partial t^2)$*

*Ответ*: Волновое уравнение -- это дифференциальное уравнение вида

$
Delta arrow(F) eq frac(1, v^2) frac(partial^2 arrow(F), partial t^2)
$

где $Delta$ -- оператор Лапласа.

#line(length: 100%)

=== Эквипотенциальные поверхности поля точечного положительного заряда имеют вид

1. равноотстоящих друг от друга плоскостей
*2. концентрических сфер*
3. коаксиальных цилиндров
4. эллипсоидов вращения
5. пересекающихся плоскостей

*Ответ*: Эквипотенциальная поверхность -- это поверхность, на которой 

$
phi eq "const"
$

Для точечного положительного заряда $q$

$
phi(r) eq frac(1, 4 pi epsilon_0) q/r
$

Если $phi eq "const"$, то из формулы следует

$
1/r eq "const" arrow.double r eq "const"
$

Множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, это сфера.

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения. Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела

1. $E_(1 n) eq E_(2 n)$
2. $E_(1 n) lt E_(2 n)$
*3. $E_(1 n) gt E_(2 n)$*
4. $E_(1 tau) lt E_(2 tau)$
*5. $E_(1 tau) eq E_(2 tau)$*

*Ответ*: Закон Фарадея 

$
"rot" arrow(E) eq 0
$

Интегрируя по малому контуру, пересекающему границу, получаем 

$
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
$

Из уравнения Гаусса 

$
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
$

Интегрирование дает

$
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
$

Так как диэлектрики незаряжены

$
rho_"своб" eq 0 arrow.double D_(1 n) eq D_(2 n)
$

Так как 

$
arrow(D) eq epsilon epsilon_0 arrow(E)
$

Получим

$
epsilon_1 E_(1 n) eq epsilon_2 E_(2 n)
$

Тогда если 

$
epsilon_1 lt epsilon_2
$

То

$
E_(1 n) gt E_(2 n)
$

#line(length: 100%)

=== Проводящий шар заряжен положительным зарядом. Внутри шара

1. линии напряженности замкнуты
2. линии напряженности идут вдоль радиусов к поверхности 
3. линии напряженности идут вдоль радиусов к центру
*4. напряженность поля равна нулю*
5. линии напряженности перпендикулярны радиусам шара

*Ответ*: В электростатическом равновесии внутри проводника 

$
arrow(E) eq 0
$

#line(length: 100%)

=== Укажите все верные утверждения

1. Первый закон Кирхгофа является следствием закона Кулона
*2. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда *
*3. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.*
4. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Джоуля-Ленца.
5. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Ома для однородного участка цепи.

*Ответ*: По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле равна нулю

$
sum I eq 0
$

то есть

$
sum I_"вход" eq sum I_"выход"
$

то есть заряд не накапливается в узле.

По второму закону Кирхгофа в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.

$
sum E eq sum I R
$

или эквивалентно: 

$
sum U eq 0
$

Закон сохранения заряда 

$
frac(d q, d t) eq 0
$

Закон Ома для неоднородного участка цепи

$
U eq I R minus cal(E)
$

или 

$
I R eq U + cal(E)
$

#line(length: 100%)

=== Укажите формулу, которая всегда окажется верной при вычислении объемной плотности энергии электричского поля

1. $frac(arrow(E) arrow(D), 2)$
2. $frac(|arrow(E)||arrow(D)|, 2)$
3. $frac(epsilon_0 epsilon |arrow(E)|^2, 2)$
4. $arrow(D) arrow(E)$
5. $frac(|arrow(D)|^2, 2 epsilon_0 epsilon)$

*Ответ*: Объемная плотность энергии $w eq frac(arrow(E) arrow(D), 2)$ содержит в себе как собственную энергию электрического поля $frac(epsilon_0 E^2, 2)$, так и энергию поляризации диэлектрика $frac(arrow(E) arrow(P), 2)$.

=== Укажите все верные утверждения. Магнитное поле создают

*1. Электрический ток*
*2. Движущаяся заряженная частица*
3. Потенциальное электрическое поле
4. Вихревое электрическое поле
*5. Ток смещения*

*Ответ*: По закону Био-Савара и Ампера

$
arrow(B) tilde arrow(j)
$

Движущийся заряд -- это микроскопический ток. Если заряд $q$ движется со скоростью $arrow(v)$, он создает магнитное поле:

$
arrow(B) tilde.
$