347 lines
18 KiB
Typst
347 lines
18 KiB
Typst
#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex, colspanx, rowspanx
|
||
#set text(size: 1.3em)
|
||
#set page(footer: context {
|
||
if counter(page).get().first() > 1 [
|
||
#align(left)[
|
||
#counter(page).display("1")
|
||
]
|
||
]
|
||
})
|
||
|
||
#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, gutter: 70pt)[#text(size: 0.7em)[#align(bottom)[#align(center)[*Университет ИТМО \ Физико-технический мегафакультет \ Физический факультет*]]]][#image("assets/1.svg")]
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#table(stroke: none, fill: none, columns: 2, column-gutter: 50pt)[
|
||
#align(left)[Группа: _К3221_]
|
||
][
|
||
#align(left)[К работе допущен: ]
|
||
][
|
||
#align(left)[Студент: _Дощенников Никита, Карпов Иван_]
|
||
][
|
||
#align(left)[Работа выполнена: ]
|
||
][
|
||
#align(left)[Преподаватель: _Попов Антон Сергеевич_]
|
||
][
|
||
#align(left)[Отчет принят: ]
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
#align(center)[= Рабочий протокол и отчет по \ лабораторной работе №3.01]
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== 1. Цель работы.
|
||
|
||
Построение сечений эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля на основе экспериментального моделирования распределения потенциала в слабопроводящей среде.
|
||
|
||
=== 2. Задачи, решаемые при выполнении работы.
|
||
|
||
- Экспериментально построить сечения эквипотенциальных поверхностей и силовых линий электростатического поля для плоского конденсатора и плоскости с дополнительным проводящим кольцом.
|
||
|
||
- Измерить распределение потенциала в слабопроводящей среде и по данным построить эквипотенциальные линии.
|
||
|
||
- По свойству ортогональности эквипотенциалей и линий напряжённости построить картину силовых линий и указать их направление.
|
||
|
||
- Рассчитать величины напряжённости поля в центре ванны и вблизи электрода.
|
||
|
||
- По данным измерений оценить поверхностную плотность зарядов на электродах.
|
||
|
||
- Для эксперимента с кольцом определить области минимальной и максимальной напряжённости и оценить $E_min$ и $E_max$.
|
||
|
||
- Построить и сравнить графики $phi(X)$ для горизонтали $Y = 10 "см"$ для двух экспериментов.
|
||
|
||
=== 3. Объект исследования.
|
||
|
||
Электростатическое поле между двумя плоскими электродами в однородной слабопроводящей среде и изменение распределения потенциала при установке в ванну проводящего кольца.
|
||
|
||
=== 4. Метод экспериментального исследования.
|
||
|
||
Моделирование электростатического поля в слабопроводящей среде с использованием двух плоских электродов, подключённых к генератору переменного напряжения. Потенциал внутри ванны измеряют зондом, подключённым к вольтметру. По набору точечных измерений потенциала строят эквипотенциальные линии, затем по ортогональности строят силовые линии.
|
||
|
||
=== 5. Рабочие формулы и исходные данные.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#table(columns: 2, inset: 15pt)[*Формула*][*Пояснения*][$arrow(E)(arrow(r)) = frac(arrow(F)(arrow(r)), q)$][Вектор напряженности электрического поля. $arrow(F)$ - сила, действующая на неподвижный заряд $q$, помещенный в данную точку. Заряд $q$ - пробный. $arrow(r)$ - радиус-вектор точки.][$phi(arrow(r)) = frac(W_"П" (arrow(r)), q)$][Потенициал в данном точке поля. $W_"П"$ - потенциальная энергия заряда $q$, помещенного в данную точку.][$A_(12) = q(phi_1 - phi_2)$.][Работа сил электростатического поля над зарядом $q$ при его перемещении из точки с потенциалом $phi_1$ в точку с потенциалом $phi_2$.][$arrow(E) = -"grad" phi eq.triple -arrow(gradient) phi \ phi_2 - phi_1 = -integral_1^2 arrow(E) space d arrow(l)$][Связь напряженности и потенциала электростатического поля.][$arrow(gradient) phi = hat(e)_x frac(partial phi, partial x) + hat(e)_y frac(partial phi, partial y) + hat(e)_z frac(partial phi, partial z)$][Вектор градиента потенциала. $x, y, z$ - декартовы координаты. $hat(e)_x, hat(e)_y, hat(e)_z$ - единичные вектора положительных направлений (орты) координатных осей $O x, O y, O z$][$chevron.l E_(12) chevron.r approx.eq frac(phi_1 - phi_2, l_(12))$][Средняя напряженность между точками на одной силовой линии с потенциалами $phi_1$ и $phi_2$, где $l_(12)$ - длина участка силовой линии между точками.][$arrow(j) = sigma arrow(E)$][Закон Ома в дифференциальной форме, где $arrow(j)$ - вектор плотности тока в проводящей среде, $sigma$ - удельная электропроводность среды.][$arrow(gradient) dot arrow(j) eq.triple "div" arrow(j) = frac(partial j_x, partial x) + frac(partial j_y, partial y) + frac(partial j_z, partial z) = -frac(partial rho, partial t)$][Плотность тока в любой проводащей среде удовлетворяет уравнению неразрывности. $rho$ - объемная плотность заряда. Для стационарного тока $rho = "const", space frac(partial rho, partial t) = 0$ и в этом случае $arrow(gradient) dot arrow(j) = 0$.][$sigma(arrow(gradient) dot arrow(E)) = 0 arrow.double arrow(gradient) dot arrow(E) = 0$][Следует из однородности $sigma$.][$"rot" arrow(j) eq.triple arrow(gradient) times arrow(j) = 0$][Получено путем применения к $arrow(j) = sigma arrow(E)$ операцию нахождения ротора и учитывая безвихревой характер постоянного тока.][$arrow(gradient) times arrow(E) = 0$][Подставили $arrow(j) = sigma arrow(E)$ в $"rot" arrow(j) eq.triple arrow(gradient) times arrow(j) = 0$]
|
||
]
|
||
|
||
Исходные данные:
|
||
|
||
- Межэлектродная установленная амплитуда напряжения $U = 14 "В"$.
|
||
|
||
- Частота переменного напряжения генератора $f = 400 plus.minus 50 "Гц"$
|
||
|
||
- Диапазон вольтметра $0 div 20 "В"$.
|
||
|
||
- Координатная сетка на миллиметровой бумаге шаги по $Y$ используются: $2, 6, 10, 14, 18 "см"$; при конфигурации с кольцом рекомендуется уменьшить шаг потенциала и шаг $Y$ рядом с кольцом до $1–2 "см"$.
|
||
|
||
- Шаг изменения потенциала для первого эксперимента $delta phi = 2 "В"$
|
||
- Для эксперимента с кольцом $Delta phi = 1 "В"$
|
||
|
||
- Погрешности измерения координат $Delta X = plus.minus 1 "мм", Delta Y = plus.minus 0.5 "мм"$.
|
||
|
||
=== 6. Измерительные приборы
|
||
|
||
#table(columns: 5)[№ п/п][Наименование][Тип прибора][Используемый диапазон][Погрешность прибора][1][Вольтметр][AB1][0-20 В][$plus.minus 0.5 %$][2][Амперметр][AB1][0-5 А][$plus.minus 1.0% $][3][Резистор][ГН1][0-10 к$Omega$][$plus.minus 5%$]
|
||
|
||
=== 7. Схема установки (перечень схем, которые составляют Приложение 1).
|
||
|
||
=== 8. Результаты прямых измерений.
|
||
|
||
Без диска.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#tablex(
|
||
columns: 9,
|
||
[*$phi_1$*], [*$X_1$*], [*$Y_1$*], [*$phi_2$*], [*$X_2$*], [*$Y_2$*], [*$phi_3$*], [*$X_3$*], [*$Y_3$*],
|
||
|
||
rowspanx(5)[*$1.89$*], $2.0$, $2$, rowspanx(5)[*$3.89$*], [$6.8$], [$2$], rowspanx(5)[*$5.89$*], [$11.8$], [$2$],
|
||
|
||
(), [$2.5$], [$6$], (), [$6.8$], [$6$], (), [$12.2$], [$6$],
|
||
|
||
(), [$2.8$], [$10$], (), [$7.0$], [$10$], (), [$12.5$], [$10$],
|
||
|
||
(), [$2.7$], [$14$], (), [$6.9$], [$14$], (), [$12.8$], [$14$],
|
||
|
||
(), [$2.0$], [$18$], (), [$7.2$], [$18$], (), [$12.6$], [$18$]
|
||
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#tablex(
|
||
columns: 9,
|
||
[*$phi_4$*], [*$X_4$*], [*$Y_4$*], [*$phi_5$*], [*$X_5$*], [*$Y_5$*], [*$phi_6$*], [*$X_6$*], [*$Y_6$*],
|
||
|
||
rowspanx(5)[*$7.89$*], [$16.7$], [$2$], rowspanx(5)[*$9.89$*], [$21.3$], [$2$], rowspanx(5)[*$11.89$*], [$26.1$], [$2$],
|
||
|
||
(), [$16.8$], [$6$], (), [$21.3$], [$6$], (), [$25.7$], [$6$],
|
||
|
||
(), [$16.5$], [$10$], (), [$21.3$], [$10$], (), [$25.6$], [$10$],
|
||
|
||
(), [$16.3$], [$14$], (), [$21.1$], [$14$], (), [$25.7$], [$14$],
|
||
|
||
(), [$16.3$], [$18$], (), [$21.0$], [$18$], (), [$26.0$], [$18$]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
С диском.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#tablex(
|
||
columns: 12,
|
||
[*$phi_1$*], [*$X_1$*], [*$Y_1$*], [*$phi_2$*], [*$X_2$*], [*$Y_2$*], [*$phi_3$*], [*$X_3$*], [*$Y_3$*], [*$phi_4$*], [*$X_4$*], [*$Y_4$*],
|
||
|
||
rowspanx(9)[*$2.4$*], [$2.0$], [$2$], rowspanx(9)[*$3.4$*], [$4.1$], [$2$], rowspanx(9)[*$4.4$*], [$6.1$], [$2$], rowspanx(9)[*$5.4$*], [$8.4$], [$2$],
|
||
|
||
(), [$2.1$], [$4$], (), [$4.0$], [$4$], (), [$5.9$], [$4$], (), [$7.8$], [$4$],
|
||
|
||
(), [$2.6$], [$6$], (), [$4.1$], [$6$], (), [$5.9$], [$6$], (), [$7.4$], [$6$],
|
||
|
||
(), [$2.8$], [$8$], (), [$4.0$], [$8$], (), [$5.5$], [$8$], (), [$7.2$], [$8$],
|
||
|
||
(), [$3.0$], [$10$], (), [$4.2$], [$10$], (), [$5.8$], [$10$], (), [$7.2$], [$10$],
|
||
|
||
(), [$2.8$], [$12$], (), [$4.2$], [$12$], (), [$5.7$], [$12$], (), [$7.7$], [$12$],
|
||
|
||
(), [$3.1$], [$14$], (), [$4.6$], [$14$], (), [$6.3$], [$14$], (), [$8.2$], [$14$],
|
||
|
||
(), [$2.7$], [$16$], (), [$4.5$], [$16$], (), [$7.0$], [$16$], (), [$-$], [$16$],
|
||
|
||
(), [$2.8$], [$18$], (), [$4.8$], [$18$], (), [$7.5$], [$18$], (), [$9.8$], [$18$]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#tablex(
|
||
columns: 12,
|
||
[*$phi_5$*], [*$X_5$*], [*$Y_5$*], [*$phi_6$*], [*$X_6$*], [*$Y_6$*], [*$phi_7$*], [*$X_7$*], [*$Y_7$*], [*$phi_8$*], [*$X_8$*], [*$Y_8$*],
|
||
|
||
rowspanx(9)[*$6.4$*], [$11.2$], [$2$], rowspanx(9)[*$7.4$*], [$16.0$], [$2$], rowspanx(9)[*$8.4$*], [$19.8$], [$2$], rowspanx(9)[*$9.4$*], [$22.2$], [$2$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$4$], (), [$-$], [$4$], (), [$20.3$], [$4$], (), [$-$], [$4$],
|
||
|
||
(), [$9.0$], [$6$], (), [$-$], [$6$], (), [$21.3$], [$6$], (), [$22.8$], [$6$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$8$], (), [$-$], [$8$], (), [$21.7$], [$8$], (), [$-$], [$8$],
|
||
|
||
(), [$8.8$], [$10$], (), [$-$], [$10$], (), [$21.8$], [$10$], (), [$22.9$], [$10$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$12$], (), [$-$], [$12$], (), [$21.3$], [$12$], (), [$-$], [$12$],
|
||
|
||
(), [$11.0$], [$14$], (), [$-$], [$14$], (), [$20.7$], [$14$], (), [$22.5$], [$14$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$16$], (), [$-$], [$16$], (), [$19.7$], [$16$], (), [$-$], [$16$],
|
||
|
||
(), [$12.3$], [$18$], (), [$15.5$], [$18$], (), [$18.0$], [$18$], (), [$21.7$], [$18$]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#tablex(
|
||
columns: 6,
|
||
[*$phi_9$*], [*$X_9$*], [*$Y_9$*], [*$phi_10$*], [*$X_10$*], [*$Y_10$*],
|
||
|
||
rowspanx(9)[*$10.4$*], [$24.5$], [$2$], rowspanx(9)[*$11.4$*], [$26.7$], [$2$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$4$], (), [$-$], [$4$],
|
||
|
||
(), [$24.4$], [$6$], (), [$26.2$], [$6$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$8$], (), [$-$], [$8$],
|
||
|
||
(), [$24.6$], [$10$], (), [$26.2$], [$10$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$12$], (), [$-$], [$12$],
|
||
|
||
(), [$24.2$], [$14$], (), [$26.0$], [$14$],
|
||
|
||
(), [$-$], [$16$], (), [$-$], [$16$],
|
||
|
||
(), [$23.9$], [$18$], (), [$26.1$], [$18$],
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
=== 9. Построение эквипотенциальных линий.
|
||
|
||
Сначала точки с миллиметровой бумаги были перенесены в компьютер при помощи программы в Приложении.
|
||
|
||
#align(center)[#image("assets/1.png")]
|
||
#align(center)[#image("assets/2.png")]
|
||
|
||
Затем я соединил их эквипотенциальными линиями.
|
||
|
||
#align(center)[#image("assets/3.png")]
|
||
#align(center)[#image("assets/4.png")]
|
||
|
||
После, я добавил систему линий поля:
|
||
|
||
#align(center)[#image("assets/5.png")]
|
||
#align(center)[#image("assets/6.png")]
|
||
|
||
=== 10. Расчет величины напряженности.
|
||
|
||
Напряженность в центре ванны и поверхностная плотность заряда.
|
||
|
||
По формуле $chevron.l E_(12) chevron.r approx.eq frac(phi_1 - phi_2, l_(12))$ величина напряженности в центре электролитической ванны между линиями с $phi = 5.89 " и " phi = 7.89$:
|
||
|
||
При $y = 10 "см"$: $phi_4 = 5.89 "В"$ при $x = 12.5 "см"$; $phi_5 = 7.89 "В"$ при $x = 16.5 "см"$.
|
||
|
||
$
|
||
chevron.l E_"ц" chevron.r approx frac(phi_5 - phi_4, l_(45)) = frac(7.89 - 5.89, (165 - 125) times 10^(-3)) = 50.0 "В/м"
|
||
$
|
||
|
||
Рассчитаем погрешность $ chevron.l E_"ц" chevron.r$
|
||
|
||
$Delta x = 1 м м$
|
||
|
||
$Delta phi_4 = Delta phi_5 = 0.1В$
|
||
|
||
$Delta l_45 = 2 Delta x = 0.002 м$
|
||
|
||
$Delta chevron.l E_"ц" chevron.r = sqrt(((delta E_"ц")/ (delta phi_5) Delta phi_5)^2 + ((delta E_"ц")/ (delta phi_4) Delta phi_4)^2 + ((delta E_"ц")/ (delta l_45) Delta l_45)^2) = sqrt((1/l_45 Delta phi_5)^2 + (1/l_45 Delta phi_4)^2 + ((phi_4 - phi_5)/l_45^2 Delta l_45)^2) = sqrt((0.1/0.04)^2 + (0.1/0.04)^2 + (-2/0.04^2 times 0.002)^2) = 4.3 "В/м"$
|
||
|
||
$chevron.l E_ц chevron.r = (50 plus.minus 4) В/м$
|
||
|
||
В окрестности одного из электродов
|
||
|
||
Аналогично в окрестности правого электрода между линиями с $phi = 9.89$ и $phi = 11.89$
|
||
|
||
Смотрим точки при $y = 10 "см"$: $phi_6 = 9.89 "В"$ при $x = 21.3 "см"$; $phi_7 = 11.89 "В"$ при $x = 25.6 "см"$.
|
||
|
||
$
|
||
chevron.l E_"э" chevron.r approx frac(11.89 - 9.89, (256 - 213) times 10^(-3)) = 46.5 "В/м"
|
||
$
|
||
|
||
Посчитаем погрешность $chevron.l E_"э" chevron.r$
|
||
|
||
$Delta chevron.l E_"э" chevron.r = sqrt(((delta E_"э")/ (delta phi_6) Delta phi_6)^2 + ((delta E_"э")/ (delta phi_7) Delta phi_7)^2 + ((delta E_"э")/ (delta l_67) Delta l_67)^2) = sqrt((1/l_67 Delta phi_6)^2 + (1/l_67 Delta phi_7)^2 + ((phi_6 - phi_7)/l_67^2 Delta l_67)^2) = sqrt((0.1/0.043)^2 + (0.1/0.043)^2 + (-2/0.043^2 times 0.002)^2) = 3.94 В/м
|
||
$
|
||
|
||
$chevron.l E_э chevron.r = (46.5 plus.minus 3.9) В/м$
|
||
|
||
Поверхностная плотность
|
||
|
||
Правый электрод находится при $X = 30 "см"$ с потенциалом $phi = 14 "В"$.
|
||
|
||
Ближайшая измеренная точка: $phi = 11.89 "В"$ при $x = 25.6 "см"$
|
||
|
||
По нормали к электроду:
|
||
|
||
$
|
||
Delta phi = 14 - 11.89 = 2.11 "В" \
|
||
Delta l_n = (300 - 256) times 10^(-3) = 44 × 10^(-3) "м"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
sigma' = -frac(epsilon - 1, epsilon) sigma
|
||
$
|
||
|
||
Возьмём $epsilon = 79$. Тогда множитель
|
||
$
|
||
frac(epsilon - 1, epsilon) = frac(79-1, 79) = frac(78, 79) approx 0.987341772.
|
||
$
|
||
|
||
Следовательно
|
||
$
|
||
sigma' approx -0.987342 sigma
|
||
$
|
||
|
||
Если учитывать максимальное значение $epsilon = 81$:
|
||
|
||
$
|
||
frac(80, 81) approx 0.987654321 space.quad arrow.double space.quad sigma' approx -0.987654 sigma.
|
||
$
|
||
|
||
|
||
=== 12. Нахождение $E_min$ и $E_max$.
|
||
|
||
Между $phi = 8.4$ и $phi = 9.4$ справа от кольца.
|
||
|
||
$
|
||
Delta x = 1.1 "см" = 0.011 "м"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E = frac(1.0, 0.011) = 90.9 "В/м"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E_max = 91 "В/м", space (22.4, 10)
|
||
$
|
||
|
||
Между $φ = 6.4$ и $φ = 8.4$
|
||
Путь $approx 6 "см" = 0.06 "м"$
|
||
|
||
$
|
||
E = frac(2.0, 0.06) = 33.3 "В/м"
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E_min = 33 "В/м", space (15, 9)
|
||
$
|
||
|
||
Точки $E_min$ и $E_max$:
|
||
|
||
#align(center)[#image("assets/7.png")]
|
||
|
||
=== 13. Построение графика $phi = phi(x), space y = 10 "см"$.
|
||
|
||
#align(center)[#image("assets/8.png")]
|
||
|
||
=== 14. Вывод.
|
||
|
||
В ходе работы экспериментально построены эквипотенциальные линии и силовые линии поля для двух конфигураций — без кольца и с кольцом.
|
||
|
||
В центре ванны напряжённость составила $E_"ц" approx 50 "В/м"$, у правого электрода — $E_"э" approx 46.5 "В/м"$.
|
||
|
||
Для системы с кольцом найдены:
|
||
$E_max approx 91 "В/м"$ и $E_"min" approx 33 "В/м"$.
|
||
|
||
Поверхностная плотность наведённого заряда определяется как $sigma' = -frac(epsilon-1, epsilon) sigma approx -0.987 sigma$ при $epsilon = 79$, что показывает почти полное экранирование поля водой.
|
||
|