685 lines
22 KiB
Typst
685 lines
22 KiB
Typst
#set page(numbering: "1")
|
||
#set page(
|
||
paper: "a4",
|
||
margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
|
||
)
|
||
#set text(
|
||
font: "New Computer Modern",
|
||
size: 14pt
|
||
)
|
||
#set par(
|
||
/*first-line-indent: (
|
||
amount: 1.5em,
|
||
all: true
|
||
),*/
|
||
justify: true,
|
||
leading: 0.52em,
|
||
)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[#text(size: 1.5em)[Домашняя работа. Дощенников Никита]]
|
||
|
||
#outline(
|
||
title: []
|
||
)
|
||
|
||
#align(center)[=== Электростатика. Постоянный ток.]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1] // ready
|
||
|
||
Система состоит из полусферы несущей равномерно распределённый заряд с поверхностной плотностью $sigma eq 5 " нКл/м"^2$. Рассчитать модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого полусферой в её центре.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/1.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Полусфера.]
|
||
) <img1>
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $sigma eq 5 " нКл/м"^2 eq 5 dot 10^(-9) " Кл/м"^2$.
|
||
|
||
В сферических координатах с центром в искомой точке. Зададим точку на сфере полярным углом $theta in [0, pi/2]$ и азимутальным $phi in [0, 2 pi]$. Тогда поверхностный элемент сферы $d S$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
d S eq R^2 sin theta d theta d phi.
|
||
$
|
||
|
||
Элемент заряда $d q$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
d q eq sigma d S eq sigma R^2 sin theta d theta d phi
|
||
$
|
||
|
||
Поле от элементарного заряда в центра по модулю равно:
|
||
|
||
$
|
||
d E eq k frac(d q, R^2) eq k frac(sigma R^2 sin theta d theta d phi, R^2) eq k sigma sin theta d theta d phi.
|
||
$
|
||
|
||
Расписав составляющие (так как поле направлено к центру, значение с минусом):
|
||
|
||
$
|
||
d E_x eq -k sigma sin^2 theta cos phi d theta d phi, \
|
||
d E_y eq -k sigma sin^2 theta sin phi d theta d phi, \
|
||
d E_z eq -k sigma sin theta cos theta d theta d phi
|
||
$
|
||
|
||
Проинтегрировав по всей полусфере, получим:
|
||
|
||
$
|
||
E_x eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi/2) d E_x eq -sigma k integral_0^(pi/2) sin^2 theta d theta integral_0^(2 pi) cos phi d phi.
|
||
$
|
||
|
||
Так как $integral_0^(2 pi) cos phi d phi eq 0$, то $E_x eq 0$. (Аналогично $E_y eq 0$). Остается только $z$-компонента:
|
||
|
||
$
|
||
E_z eq E eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi / 2) d E_z eq - sigma k integral_0^(2 pi) d phi integral_0^(pi / 2) sin theta cos theta d theta eq k sigma dot (2 pi) dot 1/2 eq sigma/(4 epsilon_0).
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
E eq frac(sigma, 4 epsilon_0) eq frac(5 dot 10^(-9), 4 dot 8.85 dot 10^(-12)) approx 141.2 "В/м" approx 0.14 "кВ/м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $E approx 0.14 "кВ/м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №2] // ready
|
||
|
||
Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напряжённости электростатического поля, как функцию $r$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/2.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Область пространства.]
|
||
) <img2>
|
||
]
|
||
|
||
По закону Гаусса:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
|
||
|
||
Система обладает сферической симметрией. Модуль $E(r)$ одинаков по всей сфере радиуса $r$, тогда (площадь поверхности сферы $4 pi r^2$):
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont_S arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) integral.cont_S d S eq E(r) dot S eq E(r) dot 4 pi r^2
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
E(r) 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн" (r), epsilon_0) arrow.double E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2)
|
||
$
|
||
|
||
Заряд внутри радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
Q_"вн" (r) eq integral_(V_r) rho(r') d V eq integral_0^r rho (r') 4 pi r^('2) d r' eq 4 pi rho_0 integral_0^r r^('2) e^(-alpha r')^3 d r'.
|
||
$
|
||
|
||
Пусть $u eq alpha r^('3)$.
|
||
|
||
$
|
||
d u eq 3 alpha r^('2) d r' arrow.double r^('2) d r' eq frac(d u, 3 alpha)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Q_"вн" (r) eq 4 pi rho_0 dot frac(1, 3 alpha) integral_0^(alpha r^3) e^(-u) d u eq frac(4 pi rho_0, 3 alpha) (1 - e^(-alpha r^3))
|
||
$
|
||
|
||
Подставим в закон Гаусса:
|
||
|
||
$
|
||
E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(frac(4 pi rho_0, 3 alpha)(1 minus e(minus alpha r^3)), 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(-alpha r^3))$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №3] // ready
|
||
|
||
Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R eq 20 "см"$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 eq 1 "см"$ и $r_2 eq 15 "см"$ от центра шара. Объёмная плотность заряда $rho eq 10 " нКл/м"^3$. Диэлектрическая проницаемость вещества из которого состоит шар $epsilon = 1$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/3.svg"),
|
||
caption: [Шар.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
) <img3>
|
||
]
|
||
|
||
|
||
Для $r lt.eq R$ используем закон Гаусса. Заряд, заключенный в сфере, радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
Q_"вн" eq rho dot 4/3 pi r^3.
|
||
$
|
||
|
||
Поток через сферу радиуса $r$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont arrow(E) dot d arrow(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда можно выразить $E(r)$:
|
||
|
||
$
|
||
E(r) eq frac(Q_"вн", 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho^(4/3) pi r^3, 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
Потенциал определяется как:
|
||
|
||
$
|
||
phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) E(r) d r
|
||
$
|
||
|
||
Подставив $E(r) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)$:
|
||
|
||
$
|
||
Delta phi eq phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) frac(rho r, 3 epsilon_0) d r eq frac(rho, 6 epsilon_0) (r^2_2 - r^2_1)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
Delta phi eq frac(10 dot 10^(-9), 6 dot 8.85 dot 10^(-12)) (0.15^2 - 0.01^2) "В" approx 4.2 "В".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $Delta phi approx 4.2 "B"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №4] // ready
|
||
|
||
Зазор между пластинами плоского конденсатора полностью плоская слюдяная пластинка ($epsilon_1 eq 7$) толщиной $d_1 eq 2 "мм"$, и слой парафина ($epsilon_1 eq 2$) толщиной $d_2 eq 1 "мм"$. Рассчитать модули напряжённости электрического поля в обоих диэлектриках, если разность потенциалов между пластинами $U eq 200 В$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/4.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Конденсатор.]
|
||
) <img4>
|
||
]
|
||
|
||
При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $arrow(D)$ одинакова во всех слоях:
|
||
|
||
$
|
||
D eq epsilon_0 epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_0 epsilon_(r 2) E_2.
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда получаем связь между полями:
|
||
|
||
$
|
||
epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_(r 2) E_2 arrow.double E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
|
||
$
|
||
|
||
Общая разность потенциалов $U$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
U eq E_1 d_1 + E_2 d_2.
|
||
$
|
||
|
||
Подставив $E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2$, получим:
|
||
|
||
$
|
||
U eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2 d_1 + E_2 d_2 eq E_2(frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2)
|
||
$
|
||
|
||
Выражая $E_2$ и $E_1$:
|
||
|
||
$
|
||
E_2 eq frac(U, frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2), space.quad E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа из условия:
|
||
|
||
$
|
||
E_1 approx 3.64 dot 10^4 "В/м" approx 36.4 "кВ/м", E_2 approx 1.27 dot 10^5 "В/м" approx 0.127 "МВ/м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $E_1 approx 36 "кВ/м", E_1 approx 0.13 "МВ/м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №5] // ready
|
||
|
||
На расстоянии $l eq 1.5 "см"$ от проводящей плоскости расположен точечный заряд $q eq 100 "мкКл"$. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд от плоскости на бесконечность.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/5.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Схема с проводящей плоскостью и зарядами.]
|
||
) <img5>
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $l eq 1.5 "см" eq 0.015 "м", space q eq 100 "мкКл" eq 1.0 dot 10^(-4) "Кл"$.
|
||
|
||
По закону сохранения энергии:
|
||
|
||
$
|
||
Delta E_K plus Delta E_P eq A_"тр" plus A_"вн"
|
||
$
|
||
|
||
Так как мы удаляем заряд медленно, то $Delta E_K eq 0$. Про трение ничего не сказано, поэтому $A_"тр" eq 1$. Тогда:
|
||
|
||
$
|
||
A eq Delta E_P eq E_(P 2) minus E_(P 1)
|
||
$
|
||
|
||
На бесконечности ($E_(P 2)$) равна нулю так как $r eq infinity$, и в формуле $E_P eq k frac(q, r)$ стоит в знаменателе.
|
||
|
||
Реальный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоскости, а мнимый заряд $q' eq -q$ находится на расстоянии $l$ по другую сторону плоскости. Тогда обозначим за $r eq 2 l eq 0.03 "м"$.
|
||
|
||
Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $E_P$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
E_P eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
|
||
$
|
||
|
||
Нужно учесть, что получившееся значение -- работа по удалению не одного, а двух зарядов. Тогда поделим значение на 2.
|
||
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
A eq frac(q^2, 16 pi epsilon_0 l) eq frac(10^4 dot 10^(-12), 16 pi dot 8.85 dot 10^(-12) dot 1.5 dot 10^(-2)) approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №6] // ready
|
||
|
||
По прямому проводнику длина которого $l eq 400 "м"$ течёт постоянный ток, сила которого $I eq 10 "А"$. Рассчитать суммарный импульс электронов в проводнике.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/6.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Проводник с током.]
|
||
) <img6>
|
||
]
|
||
|
||
По формуле плотности тока:
|
||
|
||
$
|
||
j eq rho U ", где" rho eq frac(q, l dot S) arrow.double j eq frac(q U, l S)
|
||
$
|
||
|
||
Так как $j eq I/S$ по определению, то можно выразить заряд:
|
||
|
||
$
|
||
j eq I/S eq frac(q U, l S) arrow.double q eq frac(I l, U)
|
||
$
|
||
|
||
Масса всех электронов равна произведению их количества на массу одного электрона:
|
||
|
||
$
|
||
m eq n_e dot m_e eq q/e m_e eq frac(I l, U e) m_e
|
||
$
|
||
|
||
По формуле импульса:
|
||
|
||
$
|
||
p eq m U eq frac(I l m_e, e)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа из условия:
|
||
|
||
$
|
||
p eq frac(10 dot 400 dot 9.1 dot 10^(-31), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.3 dot 10^(-8).
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $p eq 2.3 dot 10^(-8) "Н/с"$.
|
||
|
||
|
||
#align(center)[=== Магнитостатика. Закон электромагнитной индукции Фарадея.]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1] // ready
|
||
|
||
Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/7.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Прямоугольный контур с током и его центр.]
|
||
) <img7>
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.
|
||
|
||
По принципу суперпозиции для магнитного поля:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4.
|
||
$
|
||
|
||
Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:
|
||
|
||
$
|
||
B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
|
||
eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа из условия, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $B approx 0.1 "мТл"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №2] // ready
|
||
|
||
Два бесконечных прямых параллельных проводника разделены расстоянием $d eq 20 "см"$. По проводникам в противоположных направлениях текут токи $I_1 eq I_2 eq 10 "А"$. Рассчитать модуль напряжённости магнитного поля в точке, равноудалённой от обоих проводников на расстояние $a eq 20 "см"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/9.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Два параллельных проводника с противоположными токами.]
|
||
) <img9>
|
||
]
|
||
|
||
|
||
По формуле напряженности магнитного поля для прямого тока:
|
||
|
||
$
|
||
H eq 2 pi r I
|
||
$
|
||
|
||
Результирующее поле направлено вниз:
|
||
|
||
$
|
||
H eq (2I)/(2 pi r) cos pi/3 eq I/(2 pi r)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа из условия, получим:
|
||
|
||
$
|
||
frac(10, 2 pi dot 0.2) approx 8 "А/м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $H approx 8 "А/м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №3] // ready
|
||
|
||
По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r arrow(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/8.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Цилиндрический провод с током вдоль оси.]
|
||
) <img8>
|
||
]
|
||
|
||
Для осесимметричного распределения удобно взять круговой контур радиуса $r$, с центром на оси цилиндра. Интеграл по контуру:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
|
||
$
|
||
|
||
Закон Ампера:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
|
||
$
|
||
|
||
где $I_"вн" (r)$ - суммарный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.
|
||
|
||
Отсюда:
|
||
|
||
$
|
||
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) I_"вн" (r)
|
||
$
|
||
|
||
Ток через круг радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
I_"вн" (r) eq integral.double_S_r j_z (r') d S eq integral_0^r integral_0^(2 pi) (alpha r') r' d phi d r'
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
I_"вн" (r) eq alpha dot 2 pi integral_0^r r^('2) d r' eq alpha dot 2 pi dot frac(r^3, 3) eq frac(2 pi alpha r^3, 3).
|
||
$
|
||
|
||
Магнитная индукция внутри $r lt R$:
|
||
|
||
$
|
||
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha r^3, 3) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3).
|
||
$
|
||
|
||
Магнитная индукция снаружи $r gt R$:
|
||
|
||
$
|
||
I eq I_"вн" (R) eq frac(2 pi alpha R^3, 3).
|
||
$
|
||
|
||
По закону Ампера для $r gt R$:
|
||
|
||
$
|
||
B_phi (r) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha R^3, 3) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) arrow(e)_phi, space arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) arrow(e)_phi$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №4] // ready
|
||
|
||
В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.
|
||
|
||
*Решение*: По формуле силы Лоренца:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(F) eq q(arrow(E) + arrow(v) times arrow(B))
|
||
$
|
||
|
||
До включения электрического поля:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(E) eq 0, space.quad arrow(F) eq q(arrow(v) times arrow(B))
|
||
$
|
||
|
||
Частица движется по окружности
|
||
|
||
$
|
||
F_"маг" = q v B.
|
||
$
|
||
|
||
Сила Лоренца равна центростремительной силе:
|
||
|
||
$
|
||
q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
|
||
$
|
||
|
||
Угловая частота:
|
||
|
||
$
|
||
omega eq v/R eq frac(q B, m)
|
||
$
|
||
|
||
Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.
|
||
|
||
За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится:
|
||
|
||
$
|
||
v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
|
||
$
|
||
|
||
После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории.
|
||
|
||
Расстояние за один оборот:
|
||
|
||
$
|
||
h eq v T,
|
||
$
|
||
|
||
где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.
|
||
|
||
Подставим:
|
||
|
||
$
|
||
h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа:
|
||
|
||
$
|
||
h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $h eq 0.28 "м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №5] // ready
|
||
|
||
Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поля меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл", omega eq 6 " с"^(-1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/10.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Квадратная рамка в переменном магнитном поле.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
По формуле магнитного потока через плоскость:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq B S cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
Площадь рамки:
|
||
|
||
$
|
||
S eq a^2
|
||
$
|
||
|
||
Так как $B eq B_0 cos(omega t)$:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq B_0 a^2 cos beta cos (omega t)
|
||
$
|
||
|
||
По закону Фарадея:
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq -Phi'(t) eq B_0 a^2 omega cos beta sin omega t
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа из условия, получим:
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq 0.2 dot 0.7^2 dot 6 dot cos(45 degree) dot sin (6 dot 3) approx -0.31 "B".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $epsilon eq -0.31 "В"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №6] // ready
|
||
|
||
Плотность витков в катушке $n eq 25 " см"^(-1)$. Рассчитать объёмную плотность энергии магнитного поля в катушке при токе $I eq 2 "А"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/12.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Катушка с током и однородным магнитным полем внутри.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.
|
||
|
||
По закону Ампера:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont arrow(B) dot d arrow(l) eq mu_0 I_"внутри"
|
||
$
|
||
|
||
Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $arrow(B) dot d arrow(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B l_"внутри" eq mu_0 (n I l_"внутри") arrow.double B eq mu_0 n I.
|
||
$
|
||
|
||
Энергия магнитного поля катушки:
|
||
|
||
$
|
||
W eq 1/2 L I^2,
|
||
$
|
||
|
||
где $L$ - индуктивность катушки.
|
||
|
||
По определению индуктивности:
|
||
|
||
$
|
||
L eq frac(Phi, I),
|
||
$
|
||
|
||
где $Phi$ - магнитный поток через катушку.
|
||
|
||
Магнитный поток через все витки равен:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq N dot B dot S,
|
||
$
|
||
|
||
где $N$ - число витков, $S$ - площадь поперечного сечения, $B$ - магнитное поле внутри катушки.
|
||
|
||
$
|
||
L eq frac(N B S, I).
|
||
$
|
||
|
||
Объем катушки $V eq S l$, число витков $N eq n l$. Подставим:
|
||
|
||
$
|
||
L eq frac(n l B S, I) eq frac(B n S l, I).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда энергия равна:
|
||
|
||
$
|
||
W eq 1/2 L I^2 eq 1/2 frac(B n S l, I) I^2 eq 1/2 B n I S l
|
||
$
|
||
|
||
Объемная плотность энергии $w$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
w eq W/V eq frac(1/2 B n I S l, S l) eq 1/2 B n I
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $B eq mu_0 n I$:
|
||
|
||
$
|
||
w eq 1/2 (mu_0 n I) n I eq 1/2 mu_0 n^2 I^2
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа:
|
||
|
||
$
|
||
w eq 1/2 4 pi dot 10^(-7) dot (2500)^2 dot 2^2 eq 2 pi dot 10^(-7) dot 6.25 dot 10^6 dot 4 approx 16 " Дж/м"^3
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $omega approx 16 " Дж/м"^3$.
|