778 lines
25 KiB
Typst
778 lines
25 KiB
Typst
#set page(numbering: "1")
|
||
#set page(
|
||
paper: "a4",
|
||
margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
|
||
)
|
||
#set text(
|
||
font: "New Computer Modern",
|
||
size: 14pt
|
||
)
|
||
#set par(
|
||
/*first-line-indent: (
|
||
amount: 1.5em,
|
||
all: true
|
||
),*/
|
||
justify: true,
|
||
leading: 0.52em,
|
||
)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[#text(size: 1.5em)[Домашняя работа. Дощенников Никита]]
|
||
|
||
#outline(
|
||
title: []
|
||
)
|
||
|
||
#align(center)[=== Электростатика. Постоянный ток.]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
Система состоит из полусферы несущей равномерно распределённый заряд с поверхностной плотностью $sigma eq 5 " нКл/м"^2$. Рассчитать модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого полусферой в её центре.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/1.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Полусфера.]
|
||
) <img1>
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $sigma eq 5 " нКл/м"^2 eq 5 dot 10^(-9) " Кл/м"^2$.
|
||
|
||
В сферических координатах с центром в искомой точке. Зададим точку на сфере полярным углом $theta in [0, pi/2]$ и азимутальным $phi in [0, 2 pi]$. Тогда поверхностный элемент сферы $d S$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
d S eq R^2 sin theta d theta d phi.
|
||
$
|
||
|
||
Элемент заряда $d q$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
d q eq sigma d S eq sigma R^2 sin theta d theta d phi
|
||
$
|
||
|
||
Поле от элементарного заряда в центра по модулю равно:
|
||
|
||
$
|
||
d E eq k frac(d q, R^2) eq k frac(sigma R^2 sin theta d theta d phi, R^2) eq k sigma sin theta d theta d phi.
|
||
$
|
||
|
||
Расписав составляющие:
|
||
|
||
$
|
||
d E_x eq -k sigma sin^2 theta cos phi d theta d phi, \
|
||
d E_y eq -k sigma sin^2 theta sin phi d theta d phi, \
|
||
d E_z eq -k sigma sin theta cos theta d theta d phi
|
||
$
|
||
|
||
Проинтегрировав по всей полусфере, получим:
|
||
|
||
$
|
||
E_x eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi/2) d E_x eq -sigma k integral_0^(pi/2) sin^2 theta d theta integral_0^(2 pi) cos phi d phi.
|
||
$
|
||
|
||
Так как $integral_0^(2 pi) cos phi d phi eq 0$, то $E_x eq 0$. (Аналогично $E_y eq 0$). Остается только $z$-компонента:
|
||
|
||
$
|
||
E_z eq E eq integral_0^(2 pi) integral_0^(pi / 2) d E_z eq - sigma k integral_0^(2 pi) d phi integral_0^(pi / 2) sin theta cos theta d theta eq k sigma dot (2 pi) dot 1/2 eq sigma/(4 epsilon_0).
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
E eq frac(sigma, 4 epsilon_0) eq frac(5 dot 10^(-9), 4 dot 8.85 dot 10^(-12)) approx 141.2 "В/м" approx 0.14 "кВ/м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $E approx 0.14 "кВ/м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
Система представляет собой область пространства заполненного зарядом с объёмной плотностью $rho = rho_0 exp(-alpha r^3)$, где $rho_0$ и $alpha$ -- положительные постоянные, а $r$ -- расстояние от центра системы. Найти модуль напрёжённости электростатического поля, как функцию $r$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/2.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Область пространства.]
|
||
) <img2>
|
||
]
|
||
|
||
По закону Гаусса:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont_S bold(E) dot d bold(S) eq frac(Q_"вн", epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
Система обладает сферической симметрией.
|
||
|
||
$
|
||
E(r) 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн" (r), epsilon_0) arrow.double E(r) eq frac(Q_"вн" (r), 4 pi epsilon_0 r^2)
|
||
$
|
||
|
||
Заряд внутри радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
Q_"вн" (r) eq integral_(V_r) rho(r') d V eq integral_0^r rho (r') 4 pi r^('2) d r' eq 4 pi rho_0 integral_0^r r^('2) e^(-alpha r')^3 d r'.
|
||
$
|
||
|
||
Пусть $u eq alpha r^('3)$.
|
||
|
||
$
|
||
d u eq 3 alpha r^('2) d r' arrow.double r^('2) d r' eq frac(d u, 3 alpha)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
Q_"вн" (r) eq 4 pi rho_0 dot frac(1, 3 alpha) integral_0^(alpha r^3) e^(-u) d u eq frac(4 pi rho_0, 3 alpha) (1 - e^(-alpha r^3))
|
||
$
|
||
|
||
Подставим в закон Гаусса:
|
||
|
||
$
|
||
E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - e^(-alpha r^3))
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $E(r) eq frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - exp(-alpha r^3))$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №3]
|
||
|
||
Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R eq 20 "см"$. Рассчитать разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии $r_1 eq 1 "см"$ и $r_2 eq 15 "см"$ от центра шара. Объёмная плотность заряда $rho eq 10 " нКл/м"^3$. Диэлектрическая проницаемость вещества из которого состоит шар $epsilon = 1$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/3.svg"),
|
||
caption: [Шар.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
) <img3>
|
||
]
|
||
|
||
|
||
Для $r lt.eq R$ используем закон Гаусса. Заряд, заключенный в сфере, радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
Q_"вн" eq rho dot 4/3 pi r^3.
|
||
$
|
||
|
||
Поток через сферу радиуса $r$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont bold(E) dot d bold(S) eq E(r) dot 4 pi r^2 eq frac(Q_"вн", epsilon_0).
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда можно выразить $E(r)$:
|
||
|
||
$
|
||
E(r) eq frac(Q_"вн", 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho^(4/3) pi r^3, 4 pi epsilon_0 r^2) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
Потенциал определяется как:
|
||
|
||
$
|
||
phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) E(r) d r
|
||
$
|
||
|
||
Подставив $E(r) eq frac(rho r, 3 epsilon_0)$:
|
||
|
||
$
|
||
Delta phi eq phi(r_1) - phi(r_2) eq integral_(r_1)^(r_2) frac(rho r, 3 epsilon_0) d r eq frac(rho, 6 epsilon_0) (r^2_2 - r^2_1)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
Delta phi eq frac(10 dot 10^(-9), 6 dot 8.85 dot 10^(-12)) (0.15^2 - 0.01^2) "В" approx 4.2 "В".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $Delta phi approx 4.2 "B"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №4]
|
||
|
||
Зазор между пластинами плоского конденсатора полностью плоская слюдяная пластинка ($epsilon_1 eq 7$) толщиной $d_1 eq 2 "мм"$, и слой парафина ($epsilon_1 eq 2$) толщиной $d_2 eq 1 "мм"$. Рассчитать модули напряжённости электрического поля в обоих диэлектриках, если разность потенциалов между пластинами $U eq 200 В$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/4.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Конденсатор.]
|
||
) <img4>
|
||
]
|
||
|
||
При статическом поле в плоском конденсаторе нормальная компонента вектора электрической индукции $bold(D)$ одинакова во всех слоях:
|
||
|
||
$
|
||
D eq epsilon_0 epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_0 epsilon_(r 2) E_2.
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда получаем связь между полями:
|
||
|
||
$
|
||
epsilon_(r 1) E_1 eq epsilon_(r 2) E_2 arrow.double E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
|
||
$
|
||
|
||
Общая разность потенциалов $U$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
U eq E_1 d_1 + E_2 d_2.
|
||
$
|
||
|
||
Подставив $E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2$, получим:
|
||
|
||
$
|
||
U eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2 d_1 + E_2 d_2 eq E_2(frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2)
|
||
$
|
||
|
||
Выражая $E_2$ и $E_1$:
|
||
|
||
$
|
||
E_2 eq frac(U, frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) d_1 + d_2), space.quad E_1 eq frac(epsilon_(r 2), epsilon_(r 1)) E_2.
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа из условия:
|
||
|
||
$
|
||
E_1 approx 3.64 dot 10^4 "В/м" approx 36.4 "кВ/м", E_2 approx 1.27 dot 10^5 "В/м" approx 0.127 "МВ/м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $E_1 approx 36 "кВ/м", E_1 approx 0.13 "МВ/м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №5]
|
||
|
||
На расстоянии $l eq 1.5 "см"$ от проводящей плоскости расположен точечный заряд $q eq 100 "мкКл"$. Рассчитайте работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд от плоскости на бесконечность.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/5.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Схема с проводящей плоскостью и зарядами.]
|
||
) <img5>
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $l eq 1.5 "см" eq 0.015 "м", space q eq 100 "мкКл" eq 1.0 dot 10^(-4) "Кл"$.
|
||
|
||
Реальный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоскости, а мнимый заряд $q' eq -q$ находится на расстоянии $l$ по другую сторону плоскости. Тогда обозначим за $r eq 2 l eq 0.03 "м"$.
|
||
|
||
Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $U$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
U eq k frac(q q', r) eq -k frac(q^2, 2 l)
|
||
$
|
||
|
||
Чтобы удалить заряд в бесконечность, нужно сделать работу $A$:
|
||
|
||
$
|
||
A eq -U eq k frac(q^2, 2 l)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $A approx 0.15 dot 10^3 "Дж"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №6]
|
||
|
||
По прямому проводнику длина которого $l eq 400 "м"$ течёт постоянный ток, сила которого $I eq 10 "А"$. Рассчитать суммарный импульс электронов в проводнике.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/6.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Проводник с током.]
|
||
) <img6>
|
||
]
|
||
|
||
Пусть $v_d$ - дрейфовая скорость электронов. Тогда импульс всех электронов $p$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
p eq M v_d
|
||
$
|
||
|
||
где $M$ - суммарная масса всех электронов в проводнике.
|
||
|
||
За время $Delta t$ электроны сдвигаются вдоль провода на расстояние:
|
||
|
||
$
|
||
Delta x eq v_d Delta t.
|
||
$
|
||
|
||
Тогда объем, прошедший через сечение:
|
||
|
||
$
|
||
V eq S Delta x eq S v_d Delta t.
|
||
$
|
||
|
||
Если $n$ - концентрация свободных электронов на метр кубический, то:
|
||
|
||
$
|
||
N eq n V eq n S v_d Delta t
|
||
$
|
||
|
||
это число электронов, прошедших через сечение. Каждый электрон имеет заряд $e$ по модулю, поэтому полный заряд $Delta Q$:
|
||
|
||
$
|
||
Delta Q eq N e eq n e S v_d Delta t.
|
||
$
|
||
|
||
По определению силы тока:
|
||
|
||
$
|
||
I eq frac(Delta Q, Delta t) eq frac(n e S v_d Delta t, Delta t) eq n e S v_d.
|
||
$
|
||
|
||
Пусть площадь сечения - $S$. Тогда объем $V$ равен:
|
||
|
||
$
|
||
V eq S l
|
||
$
|
||
|
||
и число электронов $N$:
|
||
|
||
$
|
||
N eq n V eq n S l.
|
||
$
|
||
|
||
Выразив дрейфовую скорость из $I eq n e S v_d$, получим:
|
||
|
||
$
|
||
v_d eq frac(I, n e S)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда, подставив это в $p eq N m_e v_d$:
|
||
|
||
$
|
||
p eq N m_e v_d eq (n S l) m_e dot frac(I, n e S) eq frac(m_e I l, e)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа и получим:
|
||
|
||
$
|
||
p eq frac(3.644 dot 10^(-27), 1.6 dot 10^(-19)) approx 2.28 dot 10^(-8) "Н/c"
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $p eq 2.3 dot 10^(-8) "Н/с"$.
|
||
|
||
|
||
#align(center)[=== Магнитостатика. Закон электромагнитной индукции Фарадея.]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/7.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Прямоугольный контур с током и его центр.]
|
||
) <img7>
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$. Обозначим стороны прямоугольника $a$ и $b$, тогда длина диагонали $d$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
d eq sqrt(a^2 + b^2).
|
||
$
|
||
|
||
Угол между диагоналями $alpha$ выражается через $a$ и $b$. Для векторов диагоналей $bold(d)_1 eq (a, b), bold(d)_2 eq (a, -b)$ получим:
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha eq frac(bold(d)_1 dot bold(d)_2, |bold(d)_1||bold(d)_2|) eq frac(a^2 - b^2, a^2 + b^2)
|
||
$
|
||
|
||
или
|
||
|
||
$
|
||
b/a eq tan alpha/2
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда:
|
||
|
||
$
|
||
a eq d cos alpha/2, space.quad b eq d sin alpha/2
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
a eq d cos 15 degree, space.quad b eq d sin 15 degree
|
||
$
|
||
|
||
По закону Био-Савара:
|
||
|
||
$
|
||
d B eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l sin phi, r^2),
|
||
$
|
||
|
||
где $d l$ - элемент проводника, $r$ - расстояние до точки наблюдения, $phi$ - угол между направлением тока и направлением на точку наблюдения. Проводник лежит вдоль оси $x$, точка наблюдения на оси $y$. Тогда расстояние $r eq sqrt(x^2 + y^2)$.
|
||
|
||
Угол $phi$ между током и направлением на точку:
|
||
|
||
$
|
||
sin phi eq frac(y, sqrt(x^2 + y^2)) eq y/r
|
||
$
|
||
|
||
После подстановки в закон Био-Савара:
|
||
|
||
$
|
||
d B eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d x, (x^2 + y^2)) dot frac(y, sqrt(x^2 + y^2)) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(y d x, (x^2 + y^2)^(3/2)).
|
||
$
|
||
|
||
проинтегрировав по длине проводника:
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(mu_0 I, 4 pi) y integral_(x_A)^(x_B) frac(d x, (x^2 + y^2)^(3/2)) eq frac(mu_0 I, 4 pi y) (frac(x_B, sqrt(x^2_B + y^2)) - frac(x_A, sqrt(x^2_A + y^2)))
|
||
$
|
||
|
||
Обозначим углы до концов проводника:
|
||
|
||
$
|
||
cos theta_1 eq frac(x_A, sqrt(x_A^2 + y^2)), space.quad cos theta_2 eq frac(x_B, sqrt(x_B^2 + y^2))
|
||
$
|
||
|
||
тогда
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(mu_0 I, 4 pi y) (cos theta_2 - cos theta_1).
|
||
$
|
||
|
||
По формуле разности косинусов:
|
||
|
||
$
|
||
cos theta_2 - cos theta_1 eq 2 sin frac(theta_2 + theta_1, 2) sin frac(theta_2 - theta_1, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Но в точке на перпендикуляре можно возпользоваться более простым выражением:
|
||
|
||
$
|
||
cos theta_2 - cos theta_1 eq sin theta_1 + sin theta_2
|
||
$
|
||
|
||
Так как точка находится напротив середины проводника, то $theta_1 eq theta_2 eq theta$. Тогда:
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(mu_0 I, 2 pi y) sin theta
|
||
$
|
||
|
||
Для симметричного случая можно расписать $sin theta$ как:
|
||
|
||
$
|
||
sin theta eq frac(L/2, sqrt((L/2)^2 + y^2)).
|
||
$
|
||
|
||
Для отрезка длины $L$ на расстоянии $y$ от его середины:
|
||
|
||
$
|
||
B_"отр" eq frac(mu_0 I L, 4 pi y sqrt((L/2)^2 + y^2)).
|
||
$
|
||
|
||
Сумма вкладов двух противоположных сторон длины $a$:
|
||
|
||
$
|
||
B_a^"sum" eq 2 dot frac(mu_0 I a, 4 pi (b/2) sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2)) eq frac(mu_0 I a, pi b sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2))
|
||
$
|
||
|
||
Аналогично для сторон длины $b$:
|
||
|
||
$
|
||
B_b^"sum" eq frac(mu_0 I b, pi a sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2))
|
||
$
|
||
|
||
Сложив, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B eq B_a^"sum" + B_b^"sum" eq frac(mu_0 I, pi sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2)) (a/b + b/a) eq frac(mu_0 I, pi d/2) (a/b + b/a) eq \
|
||
eq frac(2 mu_0 I, pi d) (a/b + b/a) eq frac(2 mu_0 I, pi d) frac(2, sin alpha) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin alpha)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(4(4 pi dot 10^(-7)) dot 5, pi dot 0.16 dot 0.5) approx 1.0 dot 10^(-4) "Т" eq 0.1 "мТ".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $B approx 0.1 "мТл"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
Два бесконечных прямых параллельных проводника разделены расстоянием $d eq 20 "см"$. По проводникам в противоположных направлениях текут токи $I_1 eq I_2 eq 10 "А"$. Рассчитать модуль напряжённости магнитного поля в точке, равноудалённой от обоих проводников на расстояние $a eq 20 "см"$.
|
||
|
||
*Решение*: хз
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/9.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Два параллельных проводника с противоположными токами.]
|
||
) <img9>
|
||
]
|
||
|
||
*Ответ*: $H approx 8 "А/м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №3]
|
||
|
||
По проводу бесконечной длины, имеющего форму цилиндра радиуса $R$ течёт постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния до центра провода как $j eq alpha r bold(e)_z$. Рассчитать вектор магнитной индукции создаваемый током внутри и вне провода, как функцию $r$ (магнитная проницаемость всюду равна 1).
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/8.svg"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Цилиндрический провод с током вдоль оси.]
|
||
) <img8>
|
||
]
|
||
|
||
Для осесимметричного распределения удобно взять круговой контур радиуса $r$, с центром на оси цилиндра. Интеграл по контуру:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq B_phi (r) (2 pi r)
|
||
$
|
||
|
||
Закон Ампера:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq mu_0 I_"вн" (r)
|
||
$
|
||
|
||
где $I_"вн" (r)$ - суммарный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.
|
||
|
||
Отсюда:
|
||
|
||
$
|
||
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) I_"вн" (r)
|
||
$
|
||
|
||
Ток через круг радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
I_"вн" (r) eq integral.double_S_r j_z (r') d S eq integral_0^r integral_0^(2 pi) (alpha r') r' d phi d r'
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
I_"вн" (r) eq alpha dot 2 pi integral_0^r r^('2) d r' eq alpha dot 2 pi dot frac(r^3, 3) eq frac(2 pi alpha r^3, 3).
|
||
$
|
||
|
||
Магнитная индукция внутри $r lt R$:
|
||
|
||
$
|
||
B_phi (r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha r^3, 3) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3).
|
||
$
|
||
|
||
Магнитная индукция снаружи $r gt R$:
|
||
|
||
$
|
||
I eq I_"вн" (R) eq frac(2 pi alpha R^3, 3).
|
||
$
|
||
|
||
По закону Ампера для $r gt R$:
|
||
|
||
$
|
||
B_phi (r) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) eq frac(mu_0, 2 pi r) dot frac(2 pi alpha R^3, 3) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $bold(B) (r lt R) eq frac(mu_0 alpha r^2, 3) bold(e)_phi, space bold(B) (r gt R) eq frac(mu_0 alpha R^3, 3 r) bold(e)_phi$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №4]
|
||
|
||
В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.
|
||
|
||
*Решение*: По формуле силы Лоренца:
|
||
|
||
$
|
||
bold(F) eq q(bold(E) + bold(v) times bold(B))
|
||
$
|
||
|
||
До включения электрического поля:
|
||
|
||
$
|
||
bold(E) eq 0, space.quad bold(F) eq q(bold(v) times bold(B))
|
||
$
|
||
|
||
Поскольку $bold(b) perp bold(B)$, частица движется по окружности
|
||
|
||
$
|
||
F_"маг" = q v b.
|
||
$
|
||
|
||
Сила Лоренца равна центростремительной силе:
|
||
|
||
$
|
||
q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
|
||
$
|
||
|
||
Угловая частота:
|
||
|
||
$
|
||
omega eq v/R eq frac(q B, m)
|
||
$
|
||
|
||
Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.
|
||
|
||
За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится:
|
||
|
||
$
|
||
v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
|
||
$
|
||
|
||
После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории.
|
||
|
||
Расстояние за один оборот:
|
||
|
||
$
|
||
h eq v T,
|
||
$
|
||
|
||
где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.
|
||
|
||
Подставим:
|
||
|
||
$
|
||
h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа:
|
||
|
||
$
|
||
h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $h eq 0.28 "м"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №5]
|
||
|
||
Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поля меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл", omega eq 6 " с"^(-1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/10.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Квадратная рамка в переменном магнитном поле.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
ЭДС индукции определяется законом Фарадея:
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq -frac(d Phi, d t)
|
||
$
|
||
|
||
где $Phi$ - магнитный поток через рамку:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq bold(B) dot bold(S) eq B S cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
Площадь рамки $S eq a^2$, $alpha$ - угол между вектором магнитной индукции и нормалью к рамке.
|
||
|
||
Магнитный поток через рамку:
|
||
|
||
$
|
||
Phi(t) eq B(t) S cos alpha eq B_0 cos (omega t) dot a^2 cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq -frac(d Phi, d t) eq -frac(d, d t) [B_0 a^2 cos alpha cos(omega t)] eq -B_0 a^2 cos alpha frac(d, d t) cos(omega t) \
|
||
eq -B_0 a^2 cos alpha dot (-omega sin (omega t)) eq B_0 a^2 omega cos alpha sin(omega t)
|
||
$
|
||
|
||
Подставляем числа:
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq 0.2 dot (0.7)^2 dot 6 dot cos 45 degree dot sin(6 dot 3) approx -0.31 "В"
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $epsilon eq -0.31 "В"$.
|
||
|
||
#align(center)[===== №6]
|
||
|
||
Плотность витков в катушке $n eq 25 " см"^(-1)$. Рассчитать объёмную плотность энергии магнитного поля в катушке при токе $I eq 2 "А"$.
|
||
|
||
*Решение*: В системе СИ: $n eq 25 " см"^(-1) eq 2500 " м"^(-1)$.
|
||
|
||
По закону Ампера:
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont bold(B) dot d bold(l) eq mu_0 I_"внутри"
|
||
$
|
||
|
||
Возьмем прямоугольный контур. Одна сторона внутри катушки длиной $l_"внутри"$, другая снаружи. Магнитное поле внутри $bold(B) dot d bold(l) eq B l_"внутри"$. Ток, охваченный контуром: $I_"внутри" eq I dot N_"охваченных витков" eq I n l_"внутри"$. Подставив в закон Ампера, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B l_"внутри" eq mu_0 (n I l_"внутри") arrow.double B eq mu_0 n I.
|
||
$
|
||
|
||
Энергия магнитного поля катушки:
|
||
|
||
$
|
||
W eq 1/2 L I^2,
|
||
$
|
||
|
||
где $L$ - индуктивность катушки.
|
||
|
||
По определению индуктивности:
|
||
|
||
$
|
||
L eq frac(Phi, I),
|
||
$
|
||
|
||
где $Phi$ - магнитный поток через катушку.
|
||
|
||
Магнитный поток через все витки равен:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq N dot B dot S,
|
||
$
|
||
|
||
где $N$ - число витков, $S$ - площадь поперечного сечения, $B$ - магнитное поле внутри катушки.
|
||
|
||
$
|
||
L eq frac(N B S, I).
|
||
$
|
||
|
||
Объем катушки $V eq S l$, число витков $N eq n l$. Подставим:
|
||
|
||
$
|
||
L eq frac(n l B S, I) eq frac(B n S l, I).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда энергия равна:
|
||
|
||
$
|
||
W eq 1/2 L I^2 eq 1/2 frac(B n S l, I) I^2 eq 1/2 B n I S l
|
||
$
|
||
|
||
Объемная плотность энергии $w$ равна:
|
||
|
||
$
|
||
w eq W/V eq frac(1/2 B n I S l, S l) eq 1/2 B n I
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $B eq mu_0 n I$:
|
||
|
||
$
|
||
w eq 1/2 (mu_0 n I) n I eq 1/2 mu_0 n^2 I^2
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа:
|
||
|
||
$
|
||
w eq 1/2 4 pi dot 10^(-7) dot (2500)^2 dot 2^2 eq 2 pi dot 10^(-7) dot 6.25 dot 10^6 dot 4 approx 16 " Дж/м"^3
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $omega approx 16 " Дж/м"^3$.
|