upd

course2/sem3/practice/solutions.typ

@@ -449,3 +449,61 @@ $
 
 #line(length: 100%)
 */
+
+#align(center)[=== _Расчет напряженности непрерывного распределения заряда на основе теоремы Гаусса_]
+
+*1*. _Напряженность электрического поля, как функция координат имеет вид: $arrow(E) = frac(alpha x arrow(i) + alpha y arrow(j), x^2 + y^2)$, где $alpha = "const"$, a $arrow(i), arrow(j)$ - орты координатных осей $O X$ и $O Y$ соответственно. Найти поток вектора $arrow(E)$ через сферу радиуса $R$ с центром в начале координат._ 
+
+
+*Ответ*: $P = 4 pi alpha R$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*2*. _Объемная плотность положительно заряженного шара радиуса $R$ зависит только от расстояния до центра шара: $rho(r) = rho_0 (1 - r/R)$, где $rho_0 = "const"$. Найти:_
+
+- _модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара, как функцию $r$;_
+- _максимальное значение модуля напряженности $E_max$ и соответствующее ему значение $r_max$._
+
+_Диэлектрическая проницаемость всюду $epsilon = 1$._
+
+*Ответ*: $E_r (r lt.eq R) = frac(rho_0 r, 3 epsilon_0) (1 - frac(3 r, 4 R)), space.quad E_r (r gt.eq R) = frac(rho_0 R^3, 12 epsilon_0 r^2), space.quad r_max = 2/3 R, space.quad E_r (r_max) = frac(rho_0 R, 9 epsilon_0)$.
+
+*3*. _Система состоит из равномерно заряженного шара радиуса $R = 0.2 " м"$, объемная плотность которого $rho = 20 " нКл/м"^3$. Рассчитать модуль напряженности электрического поля:_ 
+
+- _на расстоянии $r = 0.1 " м"$ от центра шара;_
+- _на поверхности шара;_
+- _на расстоянии $r = 0.25 " м"$ от центра шара;_
+
+_Диэлектрическая проницаемость материала из которого состоит шар $epsilon = 5$._
+
+*Ответ*: $E(0.1) approx 15 " В/м"$, $E(0.2) approx 30 " В/м" (r lt.eq R)$, $E(0.25) approx 96 " В/м"$, $E(0.2) approx 151 " В/м" (r gt.eq R)$. 
+
+*4*. _Шар радиуса $R$ заряженный равномерно помещен в некоторую среду диэлектрическая проницаемость которой $epsilon = 1$. Среда заполнена зарядом, объемная плотность которого $rho = alpha/r$, где $alpha$ - постоянная, а $r$ - расстояние от центра шара. Рассчитать заряд шара при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от $r$._ 
+
+*Ответ*: $q = 2 pi alpha R^2$.
+
+*5*. _Система представлена областью пространства. По пространству распределен заряд, плотность которого зависит от расстояния до центра по закону $rho = rho_0 "exp"(-alpha r^3)$, где $alpha$ некоторая постоянная. Найти модуль напряженности, как функцию $r$._
+
+*Ответ*: $E_r = frac(rho_0, 3 epsilon_0 alpha r^2) (1 - "exp"(-alpha r^3))$.
+
+*6*. _Рассчитать напряженность электрического поля бесконечной плоскости, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $sigma$. Расчет произвести 2-мя способами:_
+
+- _с использованием закона Кулона;_
+- _с использованием теоремы Гаусса._
+
+*Ответ*: $arrow(E) = frac(sigma, 2 epsilon_0) arrow(n)$.
+
+*7*. _Рассчитать напряженность электростатического поля создаваемого бесконечно длинной нитью, заряженной равномерно. Поверхностная плотность заряда - $lambda$. Расчет произвести 2-мя способами:_
+
+- _с использованием закона Кулона;_
+- _с использованием теоремы Гаусса._
+
+*Ответ*: $arrow(E) = frac(lambda, 2 pi epsilon_0 r) arrow(n)$.
+
+*8*. _Рассчитать вектор напряженности электростатического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заполненными разноименными зарядами с объемной плотностью $rho$ и $-rho$. Расстояния между центрами шаров характеризуется вектором $a$._ 
+
+*Ответ*: $arrow(E) = frac(rho, 3 epsilon_0) arrow(a)$.
+
+*9*. _Напряжённость аксиально симметричного электростатическое поля зависит от расстояния до источника по закону $arrow(E) = frac(alpha, r^2) arrow(r)$ ($alpha$ - постоянная). Рассчитать заряд внутри сферы радиуса $R$, центр которой расположен на источнике._
+
+