lab4 sent

course2/sem3/theory/qa.typ

@@ -65,52 +65,130 @@ $
 
 #align(center)[#image("assets/1.svg")]
 
-Если ввести вектор ж
+Если ввести вектор элеметнарной площадки $d arrow(S) = hat(n) d S$, то поток можно представить в форме: $d Phi = arrow(E) d arrow(S) = E_n d S$, где $E_n$ - проекция вектора $arrow(E)$ на нормаль $arrow(n)$. Для отдельной площадки $arrow(n)$ определено неоднозначно (2 варианта), но если $d S$ принадлежит замкнутой поверхности, то, как правило, вектор нормали $arrow(n)$ направляют наружу объема, охватываемого поверхностью. Полный поток, по его смыслу, равен 
+
+$
+Phi = integral_S arrow(E) d arrow(S).
+$
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*7*. Сформулируйте теорему Гаусса в интегральной форме._
 
-*A*:
+*A*: Теорема Гаусса: 
+
+$
+integral.surf_S arrow(E) d arrow(S) = frac(q_"внутр", epsilon_0)
+$
+
+*Поток вектора $arrow(E)$ сквозь замкнутую поверхность равен, с точностью до множителя $frac(1, epsilon_0)$, алгебраической сумме зарядов $q_"внутр"$, находящихся внутри этой поверхности.*
+
+Если заряд распределен непрерывно, то при вычислении $q_"внутр"$ сумма заменяется интегралом по объему, поверхности или линии, которые попали внутрь поверхности, соответственно: $integral rho d V, space integral sigma d S, space integral lambda d l$.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*8*. Сформулируйте теорему Гаусса в дифференциальной форме._
 
-*A*:
+*A*: Пренебрежем дискретностью заряда, считая его распределенным в пространстве с плотностью $rho = rho(arrow(r))$. В этом случае теорема Гаусса имеет следующий вид: 
+
+$
+integral.surf_S arrow(E) d arrow(S) = 1/(epsilon_0) integral_V rho d V. 
+$
+
+Интеграл по поверхности, можно с помощью математической теоремы Остроградского-Гаусса преобразовать к форме 
+
+$
+integral.cont arrow(E) d arrow(S) = integral_V "div" arrow(E) d V.
+$
+
+Так как это справедливо для любых по форме и величине объемов, то из сравнения интегралов, представленных выше, следует
+
+$
+"div" arrow(E) = frac(rho, epsilon_0).
+$
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*9*. В чем заключается физический смысл $d i v arrow(E)$?_
 
-*A*:
+*A*: Дивергенция $"div" arrow(E)$ является скалярной величиной. Формула вычисления $"div" arrow(E)$ в разных системах координат выглядит по-разному. В произвольной системе координат $"div" arrow(E)$ (это справедливо для любого векторного поля) определяется как 
+
+$
+"div" arrow(E) = lim_(V arrow 0) frac(1, V) integral.surf arrow(E) d  arrow(S)
+$
+
+В декартовых координатах: 
+
+$
+"div" arrow(E) = frac(diff E_x, diff x) + frac(diff E_y, diff y) + frac(diff E_z, diff z)
+$
+
+Если использовать векторный дифференциальный оператор $arrow(gradient)$ ("набла"), который имеет вид $gradient = hat(i) frac(diff, diff x) + hat(j) frac(diff, diff y) + hat(k) frac(diff, diff z)$, то $"div" arrow(E)$ можно представить в виде скалярного "произведения": $"div" arrow(E) = arrow(gradient) dot arrow(E)$.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*10*. Дайте определение циркуляции вектора $arrow(E)$._
 
-*A*:
+*A*: Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а зависит только от положения его начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле - поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля $arrow(E)$ в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении $d arrow(l)$ равна $arrow(E) d arrow(l)$, а вся работа сил поля на этом пути: $integral_1^2 arrow(E) d arrow(l)$. 
+
+Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным. Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора $arrow(E)$ и обозначают $integral.cont$.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*11*. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора $arrow(E)$?_
 
-*A*:
+*A*: Циркуляция вектора $arrow(E)$ в любом электростатическом поле равна нулю, т.е. 
+
+$
+integral.cont arrow(E) d arrow(l) = 0
+$
+
+Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора $arrow(E)$.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*12*. Дайте определение потенциального поля._
 
-*A*:
+*A*: Поле, обладающее этим свойством, называют потенциальным. Значит, любое электростатическо поле является потенциальным.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*13*. Докажите, что линии электростатического поля $arrow(E)$ не могут быть замкнутыми._
 
-*A*:
+*A*: Теорема о циркуляции вектора $arrow(E)$ позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам.
+
+*Пример 1.* Линии электростатического поля $arrow(E)$ не могут быть замкнутыми. 
+
+Если это не так и какая-то линия вектора $arrow(E)$ замкнута, то, взяв циркуляцию вектора $arrow(E)$ вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой, т.к. вдоль силовой линии $arrow(E) d arrow(r) gt 0$. Значит, действительно, в электростатическом поле замкнутых линий вектора $arrow(E)$ не существует: линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*14*. По какой формуле можно определить потенциальную энергию системы точечных зарядов?_
 
-*A*:
+*A*: Электростатическое поле является потенциальным, т.е. работа его сил по перемещению заряда не зависит от форму пути. Работа сил поля при перемещении точечного заряда $q$ из точки 1 в точку 2 равна убыли его потенциальной энергии: 
+
+$
+A = W_1 - W_2.
+$
+
+Потенциальная энергия заряда $q$ в системе зарядов $q_i$:
+
+$
+W = k sum_i frac(q dot q_i, r_i)
+$
+
+где $r_i$ - расстояние между $q$ и $q_i$.
+
+Полная потенциальная энергия системы точечных зарядов: 
+
+$
+W = frac(k, 2) sum_i sum_(j eq.not i) frac(q_i dot q_j, r_(i j)),
+$
+
+где $r_(i j)$ - расстояние между зарядами $q_i$ и $q_j$.
+
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*15*. Дайте определение потенциалов._
 
-*A*:
+*A*: Энергетическая характеристика электростатического поля - потенциал: 
+
+$
+phi(arrow(r)) = frac(W(arrow(r)), q).
+$
+
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*16*. Чему равен потенциал системы точечных зарядов?_