add prac 8

pracs/prac8/ans.typ

@@ -0,0 +1,174 @@
+#set text(style: "italic")
+
+#align(center)[= Домашнее задание №8]
+
+*1*. Случайная величина $xi$ задана функцией распределения $F_xi (x) = cases(0 ", " x lt.eq 0, a sin 2 x ", " 0 lt x lt.eq pi/2, 1 ", " x gt pi/2)$ коэффициент $a$, плотность распределения.
+
+*Решение*:
+
+Найдем $a$: 
+
+Чтобы была правостоянтной и непрерывной в точке $x = pi/2$:
+
+$
+a sin^2(pi/2) = a = 1 arrow.double a = 1.
+$
+
+Найдем плотность $f_xi (x)$
+
+$
+f_xi (x) = F'(x) = cases(0 ", " x lt.eq 0, frac(d, d x) sin^2 x = 2 sin x cos x = sin(2 x) ", " 0 lt x lt pi/2, 0 ", " x lt.eq pi/2.)
+$
+
+*Ответ*: $a = 1, space f_xi (x) = cases(sin(2x) ", " 0 lt x lt pi/2, 0 ", иначе.")$
+
+#line(length: 100%)
+
+*2*. Плотность распределения СВ $xi$ равна $f_xi (x) = cases(0 ", " x lt.eq 0 ", " x gt pi/4, a cos 2 x ", " 0 lt x lt.eq pi/4, 1 ", " x gt pi/2)$. Найти коэффициент $a$, функцию распределения и вероятность попадания в интервал $(0, pi/6)$.
+
+*Решение*: 
+
+Коэффициент $a$:
+$
+integral_0^(pi/4) a cos 2 x space d x = 1 arrow.double a dot frac(sin(pi/2), 2) = a/2 = 1 arrow.double a=2
+$
+
+Функция распределения $F_xi (x)$:
+
+$
+F_xi (x) = cases(0 ", " x lt.eq 0, integral_0^x 2 cos 2 t space d t = sin 2 x ", " 0 lt x lt.eq pi/4, 1 ", " x gt pi/4)
+$
+
+Вероятность $P(0 lt xi lt pi/6)$:
+$
+F_xi (pi/6) - F_xi (0) = sin(2 dot pi/6) = sin(pi/3) = frac(sqrt(3), 2).
+$
+
+*Ответ*: $a = 2, space F_xi (x) = cases(0 ", " x lt.eq 0, integral_0^x 2 cos 2 t space d t = sin 2 x ", " 0 lt x lt.eq pi/4, 1 ", " x gt pi/4), space P(0 lt xi lt pi/6) = frac(sqrt(3), 2).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+*3*. Плотность распределения СВ $xi$ равна $f_xi (x) = cases(0 " , " x lt.eq -1 " , " x gt 1, frac(a, sqrt(1 - x^2)) " , " -1 lt x lt.eq 1)$. Найти коэффициент $a$, функцию распределения и вероятность попадания в интервал $(0, 1/2)$.
+
+*Решение*: 
+
+Коэффициент $a$:
+
+$
+integral_(-1)^1 frac(a, sqrt(1 - x^2)) d x = a[arcsin x]_(-1)^1 = a pi = 1 arrow.double a = 1/pi
+$
+
+Функция распределения:
+$
+F_xi (x) = cases(0 ", " x lt.eq -1, frac(arcsin x + pi/2, pi) ", " -1 lt x lt.eq 1, 1 ", " x gt 1)
+$
+
+Вероятность $P(0 < xi < 1/2)$:
+$
+F_xi (1/2) - F_xi(0) = 2/3 - 1/2 = 1/6
+$
+
+*Ответ*: $a = 1/pi, space F_\xi(x) = cases(0 ", " x lt.eq -1, frac(arcsin x + pi/2, pi) ", " -1 lt x lt.eq 1, 1 ", " x gt 1), space P(0 lt xi lt 1/2) = 1/6$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*4*. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать автобус менее 3 мин. 
+
+*Решение*: 
+
+Пусть $xi$ — время ожидания автобуса.
+
+Так как пассажир приходит случайно, $xi$ равномерно распределена на интервале от 0 до 5 минут (от последнего автобуса до следующего):
+
+$
+xi tilde U(0, 5)
+$
+
+Плотность равномерного распределения на $[0,5]$:
+
+$
+f_xi (x) = 1/5, space.quad 0 lt.eq x lt.eq 5
+$
+
+Функция распределения:
+
+$
+F_xi (x) = P(xi lt.eq x) = integral_0^x f_xi (t) space d t = x/5, space.quad 0 lt.eq x lt.eq 5
+$
+
+
+Находим вероятность
+
+Нужно $P(xi lt 3)$:
+
+$
+P(xi lt 3) = integral_0^3 f_xi (x) space d x = integral_0^3 1/5 space d x = 3/5 = 0.6
+$
+
+*Ответ*: $0.6$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*5*. Случайная величина $xi$ задана плотностью $f_xi (x) = 2 e^(-2x)$. Найти вероятность попадания в интервал $(1, 2)$.
+
+*Ответ*: $P(1 < xi < 2) = integral_1^2 2 e^(-2 x) space d x = [-e^(-2x)]_1^2 = e^(-2) - e^(-4) approx 0.117$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*6*. Производится взвешивание некоторого вещества. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения с $a = 0, space sigma = 20 "г."$ Найдите вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей, по модулю $10 "г."$
+
+*Решение*: Для нормальной случайной величины вероятность через стандартное нормальное распределение $Z tilde N(0,1)$ вычисляется так:
+
+$
+Z = frac(xi - a, sigma)
+$
+
+Здесь $a = 0, sigma = 20$, значит:
+
+$
+Z = frac(xi, 20)
+$
+
+Перевод интервала
+
+Нам нужно:
+
+$
+P(-10 lt.eq xi lt.eq 10) = P ((-10)(20) lt.eq Z lt.eq (10)(20)) = P(-0.5 lt.eq Z lt.eq 0.5)
+$
+
+Используем функцию стандартного нормального распределения $Phi(z)$
+
+$
+P(-0.5 lt.eq Z lt.eq 0.5) = Phi(0.5) - Phi(-0.5)
+$
+
+Свойство функции распределения:
+
+$
+Phi(-z) = 1 - Phi(z)
+$
+
+Тогда:
+
+$
+P(-0.5 lt.eq Z lt.eq 0.5) = Phi(0.5) - (1 - Phi(0.5)) = 2 Phi(0.5) - 1
+$
+
+Находим численно
+
+Стандартные таблицы:
+
+$
+Phi(0.5) approx 0.6915
+$
+
+Тогда:
+
+$
+P(-0.5 lt.eq Z lt.eq 0.5) = 2 dot 0.6915 - 1 = 1.383 - 1 = 0.383
+$
+
+*Ответ*: $0.383$.
+