add hw 7

pracs/prac7/ans.typ

@@ -0,0 +1,223 @@
+#set page(numbering: "- 1 -")
+
+#align(center)[= _Домашняя работа №7_ ]
+
+=== _1. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Составить ряд и функцию распределения СВ $xi$ - число выпадений числа очков кратного 3. Указать вид закона распределения._ 
+
+*Решение:*
+
+$
+p = P("число кратно 3") = 2/6 = 1/3
+$
+
+Бросаем 2 кости одновременно:
+
+Случайная величина: количество "кратных 3" на двух костях.
+
+- 0 кратных 3: обе кости не кратны 3 → $(1 - p)^2 = (2/3)^2 = 4/9$
+- 1 кратное 3: ровно одна кость кратна 3 → $2 dot p dot (1 - p) = 2 dot 1/3 dot 2/3 = 4/9$
+- 2 кратных 3: обе кости кратны 3 → $p^2 = (1/3)^2 = 1/9$
+
+То есть на одном броске две кости дают распределение:
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 4)[$k$][$0$][$1$][$2$][$P$][$4/9$][$4/9$][$1/9$]
+]
+
+Бросаем два раза
+
+Пусть $xi$ = общее число выпадений "кратных 3" за два броска двух костей.
+
+- Каждый бросок даёт случайную величину $X$ ($0, 1, 2$) с вероятностями ($4/9, 4/9, 1/9$).
+- Всего два броска → независимые величины $X_1$ и $X_2$.
+- Тогда $xi = X_1 + X_2$.
+
+Максимум: $2 + 2 = 4$, минимум: $0 + 0 = 0$ → возможные значения $xi = 0, 1, 2, 3, 4$.
+
+Ряд распределения
+
+Вероятности для суммы $xi = X_1 + X_2$:
+
+- $P(xi = 0) = P(X_1 = 0 " и " X_2 = 0) = 4/9 dot 4/9 = (16)/(81)$
+- $P(xi = 1) = P(X_1 = 0, X_2 = 1) + P(X_1 = 1, X_2 = 0) = 4/9 dot 4/9 + 4/9 dot 4/9 = (32)/(81)$
+- $P(xi = 2) = P(X_1 = 0, X_2 = 2) + P(X_1 = 1, X_2 = 1) + P(X_1 = 2,X_2 = 0) = 4/9 dot 1/9 + 4/9 dot 4/9 + 1/9 dot 4/9 = (4+16+4)/(81) = (24)/(81)$
+- $P(xi = 3) = P(X_1 = 1, X_2 = 2) + P(X_1 = 2, X_2 = 1) = 4/9 dot 1/9 + 1/9 dot 4/9 = 8/(81)$
+- $P(xi = 4) = P(X_1 = 2, X_2 = 2) = 1/9 dot 1/9 = 1/(81)$
+
+Итого:
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 6)[$xi$][$0$][$1$][$2$][$3$][$4$][$P$][$(16)/(81)$][$(32)/(81)$][$(24)/(81)$][$8/(81)$][$1/(81)$]
+]
+
+Функция распределения $F_xi (x) = P(xi lt.eq x)$
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 2)[$x$][$F_xi (x)$][$0$][$frac(16, 81)$][$1$][$frac(48, 81)$][$2$][$frac(72, 81)$][$3$][$frac(80, 81)$][$4$][$1$]
+]
+
+Вид закона распределения
+
+Это дискретная сумма двух независимых случайных величин с биномиальным распределением, но каждая из них сама является распределением суммы двух независимых Бернулли с $p = 1/3$ → сводится к многократной биномиальной схеме (мультибиномиальный).
+
+Говоря проще: $xi$ — дискретная, конечная, суммируемая случайная величина, аналогичная сумме 4 Бернулли с $p = 1/3$ (так как всего за два броска 2 кости → 4 "испытывания").
+
+#align(center)[#image("assets/1.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== _2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить ряд и функцию распределения СВ $xi$ - число стандартных среди отобранных. Указать вид закона распределения._ 
+
+$
+P(X = k) = frac(binom(K, k) binom(N-K, n-k), binom(N, n))
+$
+
+где $k = 0, 1, 2$.
+
+Вычисляем вероятности
+
+- $k = 0$ (0 стандартных деталей):
+
+$
+P(X = 0) = frac(binom(8, 0) binom(2, 2), binom(10, 2)) = frac(1 dot 1, 45) = frac(1, 45)
+$
+
+- $k = 1$ (1 стандартная деталь):
+
+$
+P(X = 1) = frac(binom(8, 1) binom(2, 1), binom(10, 2)) = frac(8 dot 2, 45) = frac(16, 45)
+$
+
+- $k = 2$ (2 стандартные детали):
+
+$
+P(X = 2) = frac(binom(8, 2) binom(2, 0), binom(10, 2)) = frac(28 dot 1, 45) = frac(28, 45)
+$
+
+Ряд распределения
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 4)[$xi$][$0$][$1$][$2$][$P$][$1/(45)$][$(16)/(45)$][$(28)/(45)$]
+]
+
+Функция распределения $F_xi (x) = P(xi lt.eq x)$
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 2)[$x$][$F_xi (x)$][$0$][$frac(1, 45)$][$1$][$frac(17, 45)$][$2$][$1$]
+]
+
+Вид закона распределения
+
+Это гипергеометрическое распределение, так как выборка делается без возвращения из конечной совокупности объектов с двумя типами элементов.
+
+#align(center)[#image("assets/2.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== _3. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока не обнаружит незнание. Вероятность ответа на один дополнительный вопрос равна $0.9$. Составить ряд: a) СВ $xi$ - число заданных вопросов; b) СВ $xi$ - число заданных вопросов, если их не более 5. Указать вид закона распределения._ 
+
+a) Число заданных вопросов ($xi$ неограничено)
+
+Это классическая задача на геометрическое распределение:
+
+$
+P(xi = k) = P("первые "$k-1$" ответы правильные, "$k$"-й неправильный")
+$
+
+- Вероятность неправильного ответа: $q = 1 - p = 0.1$
+- Тогда:
+
+$
+P(xi = k) = p^(k-1) dot q, space.quad k = 1, 2, 3, dots
+$
+
+Ряд распределения:
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 6)[$xi$][$1$][$2$][$3$][$4$][$5$][$dots$][$P$][$0.1$][$0.09$][$0.081$][$0.0729$][$0.06561$][$dots$]
+]
+
+Функция распределения:
+
+$
+F_xi (k) = P(xi lt.eq k) = 1 - p^k
+$
+
+Например:
+
+$
+F_xi (1) = 0.1, space.quad F_xi (2) = 0.1 + 0.09 = 0.19, dots
+$
+
+Вид закона распределения: дискретное, геометрическое распределение.
+
+b) Число заданных вопросов, если их не более 5
+
+Теперь ограничиваемся максимум $5$ вопросами. Тогда для $k = 1, 2, 3, 4, 5$:
+
+$
+P(xi = k) = cases(p^(k - 1) q ", " k = 1", "2", "3", "4, p^4 ", " k = 5 ("т.е. все 5 правильных"))
+$
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 6)[$xi$][$1$][$2$][$3$][$4$][$5$][$P$][$0.1$][$0.09$][$0.081$][$0.0729$][$0.6561$]
+]
+
+Вид закона распределения: дискретное усечённое геометрическое распределение.
+
+#align(center)[#image("assets/3.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== _4. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них за время $T$ равна $0.002$. Составить ряд СВ $xi$ - число отказавших элементов за время $T$. Указать вид закона распределения._ 
+
+
+Каждый элемент — это независимая «Биномиальная попытка»:
+
+$
+X_i = cases(1", элемент отказал", 0", элемент не отказал")
+$
+
+Тогда $xi = X_1 + X_2 + dots + X_(1000)$.
+
+Это биномиальная случайная величина с параметрами $n = 1000$, $p = 0.002$:
+
+$
+P(xi = k) = binom(1000, k) p^k (1-p)^(1000 - k), space.quad k = 0,1, dots, 1000
+$
+
+Приближение
+
+Так как $n$ большое, $p$ маленькое, удобно использовать приближение Пуассона:
+
+$
+lambda = n dot p = 1000 dot 0.002 = 2
+$
+
+Тогда можно приближённо считать:
+
+$
+P(xi = k) approx frac(lambda^k e^(-lambda), k!) = frac(2^k e^(-2), k!), space.quad k = 0, 1, 2, dots
+$
+
+Это распределение Пуассона с параметром $lambda = 2$.
+
+Ряд распределения (первые значения)
+
+$
+P(xi = 0) approx frac{2^0 e^(-2), 0!} = e^(-2) approx 0.1353 \
+P(xi = 1) approx frac{2^1 e^(-2), 1!} = 2 e^(-2) approx 0.2707 \
+P(xi = 2) approx frac{2^2 e^(-2), 2!} = 2 e^(-2) approx 0.2707 \
+P(xi = 3) approx frac{2^3 e^(-2), 6} approx 0.1804 \
+P(xi = 4) approx frac{16 e^(-2), 24} approx 0.0902 \
+P(xi = 5) approx frac{32 e^(-2), 120} approx 0.0361
+$
+
+Вид закона распределения
+
+- Точное: биномиальное $B(n=1000, p=0.002)$
+- Приближённое: распределение Пуассона с параметром $lambda = 2$
+
+Это классический пример редких событий (малое $p$, большое $n$) → удобно использовать Пуассона.
+
+#align(center)[#image("assets/4.png")]

pracs/prac7/scripts/1.py

@@ -0,0 +1,34 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+# Значения случайной величины
+xi = [0, 1, 2, 3, 4]
+
+# Вероятности
+P = [16 / 81, 32 / 81, 24 / 81, 8 / 81, 1 / 81]
+
+# Функция распределения
+F = []
+cum = 0
+for p in P:
+    cum += p
+    F.append(cum)
+
+plt.figure(figsize=(12, 5))
+
+# График вероятностей
+plt.subplot(1, 2, 1)
+plt.bar(xi, P, color="skyblue")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P(xi)")
+plt.title("Ряд распределения")
+
+# График функции распределения
+plt.subplot(1, 2, 2)
+plt.step(xi, F, where="post", color="orange")
+plt.scatter(xi, F, color="red")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("F(xi)")
+plt.title("Функция распределения")
+
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("1.png")

pracs/prac7/scripts/2.py

@@ -0,0 +1,20 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+# Задача 2: гипергеометрическое распределение
+xi2 = [0, 1, 2]
+P2 = [1 / 45, 16 / 45, 28 / 45]
+F2 = np.cumsum(P2)
+
+plt.figure(figsize=(7, 5))
+plt.bar(xi2, P2, color="skyblue", alpha=0.7, label="Вероятности")
+plt.step(xi2, F2, where="post", color="orange", label="Функция распределения")
+plt.scatter(xi2, F2, color="red")
+plt.title("Задача 2: гипергеометрическое распределение")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P / F")
+plt.xticks(xi2)
+plt.legend()
+plt.grid(axis="y", linestyle="--", alpha=0.6)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("2.png")

pracs/prac7/scripts/3.py

@@ -0,0 +1,22 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+# Задача 3: геометрическое распределение
+p3 = 0.9
+q3 = 1 - p3
+xi3 = list(range(1, 11))  # ограничим до 10 вопросов
+P3 = [p3 ** (k - 1) * q3 for k in xi3]
+F3 = np.cumsum(P3)
+
+plt.figure(figsize=(7, 5))
+plt.bar(xi3, P3, color="lightgreen", alpha=0.7, label="Вероятности")
+plt.step(xi3, F3, where="post", color="orange", label="Функция распределения")
+plt.scatter(xi3, F3, color="red")
+plt.title("Задача 3: геометрическое распределение")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P / F")
+plt.xticks(xi3)
+plt.legend()
+plt.grid(axis="y", linestyle="--", alpha=0.6)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("3.png")

pracs/prac7/scripts/4.py

@@ -0,0 +1,23 @@
+from math import exp, factorial
+
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+# Задача 4: распределение Пуассона
+lambda4 = 2
+xi4 = list(range(0, 11))
+P4 = [lambda4**k * exp(-lambda4) / factorial(k) for k in xi4]
+F4 = np.cumsum(P4)
+
+plt.figure(figsize=(7, 5))
+plt.bar(xi4, P4, color="plum", alpha=0.7, label="Вероятности")
+plt.step(xi4, F4, where="post", color="orange", label="Функция распределения")
+plt.scatter(xi4, F4, color="red")
+plt.title("Задача 4: распределение Пуассона")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P / F")
+plt.xticks(xi4)
+plt.legend()
+plt.grid(axis="y", linestyle="--", alpha=0.6)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("4.png")