219 lines
9.5 KiB
Typst
219 lines
9.5 KiB
Typst
#set page(numbering: "1")
|
||
|
||
#align(center)[= _Задания ЛР1. Команда 3_]
|
||
|
||
#align(center)[=== _Тема 1. Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей._]
|
||
|
||
*3*. _Цифры от $1$ до $9$ располагаются в случайном порядке. Какова вероятность того, что все нечетные цифры окажутся на нечетных местах?_
|
||
|
||
*Решение*: мы можем расставить $9$ цифр на $9$ местах $9!$ способами. $5$ нечетных цифр на $5$ нечетных позициях $5!$ способами. $4$ четных цифры на $4$ четных позиции $4!$ способами. То есть совместное количество способов $4! dot 5! = 2880$.
|
||
|
||
Итоговая вероятность:
|
||
|
||
$
|
||
P = frac(2880, 362880) = frac(1, 126)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $frac(1, 126)$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
*13*. _Обезьяна выкладывает карточки с буквами *К, Р, О, К, О, Д, И, Л* в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что у нее получится выложить слово *КРОКОДИЛ*?_
|
||
|
||
*Решение*: Всего 8 букв, но буквы 'K' и 'O' повторяются по 2 раза каждая. Тогда по формуле для количества перестановок с повторяющимися элементами:
|
||
|
||
$
|
||
frac(8!, 2! dot 2!) = frac(40320, 4) = 10080
|
||
$
|
||
|
||
Так как нам нужна одна конкретная комбинация, то получим:
|
||
|
||
$
|
||
P = frac(1, 10080)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $frac(1, 10080)$
|
||
|
||
#align(center)[=== _Тема 2. Геометрические вероятности._]
|
||
|
||
*3*. _В центре стола, имеющего форму эллипса с полуосями $a$ и $b$, распололжен магнит. На стол случайным образом бросается булавка, которая притягивается магнитом, если расстояние между ними не превосходит числа $r, space r lt min{a, b}$. Найти вероятность того, что булавка будет притянута._
|
||
|
||
*Решение*: Площадь эллипса с полуосями $a$ и $b$:
|
||
|
||
$
|
||
S_"элл" = pi a b
|
||
$
|
||
|
||
Площадь круга радиуса $r$:
|
||
|
||
$
|
||
S_"кр" = pi r^2
|
||
$
|
||
|
||
Так как по условию $r lt min(a, b)$, круг радиуса $r$ целиком лежит внутри эллипса. Вероятность того, что случайно брошенная булавка попадет в круг равна отношению площадей:
|
||
|
||
$
|
||
P = frac(S_"кр", S_"элл") = frac(pi r^2, pi a b) = frac(pi r^2, pi a b) = frac(r^2, a b)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $frac(r^2, a b)$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
*13*. _В прямоугольный треугольник, один из углов которого равен $pi/6$, случайным образом бросается точка. Какова вероятность того, что она окажется внутри вписанной в треугольник окружности?_
|
||
|
||
*Решение*: Пусть гипотенуза - $c$, катеты - $a$ и $b$.
|
||
|
||
$
|
||
a/b = tan pi/6 = frac(1, sqrt(3)) arrow.double b = sqrt(3) a
|
||
$
|
||
|
||
Площадь:
|
||
|
||
$
|
||
S_triangle = 1/2 a b = 1/2 a(sqrt(3) a) = frac(sqrt(3), 2) a^2
|
||
$
|
||
|
||
По формуле радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
|
||
|
||
$
|
||
r = frac(a + b - c, 2)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $b = sqrt(3) a$:
|
||
|
||
$
|
||
c = sqrt(a^2 + 3a^2) = 2a \
|
||
r = frac(a + sqrt(3)a - 2a, 2) = frac(a(sqrt(3) - 1), 2)
|
||
$
|
||
|
||
Площадь вписанной окружности:
|
||
|
||
$
|
||
S_"окр" = pi r^2 = pi (frac(a (sqrt(3) - 1), 2))^2 = pi a^2 frac((sqrt(3) - 1), 4).
|
||
$
|
||
|
||
Вероятность
|
||
|
||
$
|
||
P = frac(S_"окр", S_triangle) = frac(pi a^2 frac((sqrt(3) - 1)^2, 4), frac(sqrt(3), 2) a^2) = frac(pi (sqrt(3) - 1)^2, 4) dot frac(2, sqrt(3)) = frac(pi (sqrt(3) - 1)^2, 2 sqrt(3)) = frac(pi(2 - sqrt(3)), sqrt(3)) approx 0.48
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $0.48$
|
||
|
||
#align(center)[=== _Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса._]
|
||
|
||
*3*. _Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для них $0.5$ и $2/3$ соответственно, а вероятности попадания в первую мишень $0.8$ для первого стрелка и $0.9$ для второго стрелка, во вторую мишень соответственно $0.7$ и $0.8$. Какова вероятность хотя бы одного попадания в какую-либо мишень?_
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
$
|
||
P("хотя бы один попадет") = 1 - P("оба промахнутся")
|
||
$
|
||
|
||
Для первого стрелка: если он выбрал первую мишень ($1/2$), промах = $1 - 0.8 = 0.2$; если выбрал вторую ($1/2$), промах = $1 - 0.7 = 0.3$.
|
||
|
||
Посчитав по формуле полной вероятности, получим:
|
||
|
||
$
|
||
P("промах первого") = 0.5 dot 0.2 + 0.5 dot 0.3 = 0.25
|
||
$
|
||
|
||
Для второго стрелка: если он выбрал первую мишень ($2/3$), промах = $1 - 0.9 = 0.1$; если выбрал вторую ($1/3$), промах = $1 - 0.8 = 0.2$.
|
||
|
||
Посчитав по формуле полной вероятности, получим:
|
||
|
||
$
|
||
P("промах второго") = 2/3 dot 0.1 + 1/3 dot 0.2 = frac(2, 15)
|
||
$
|
||
|
||
Вероятность того, что оба промахнутся:
|
||
|
||
$
|
||
P("оба промахнутся") = P("промах первого") dot P("промах второго") = 0.25 dot frac(2, 15) = frac(1, 30).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда ответ:
|
||
|
||
$
|
||
P("хотя бы один попадет") = 1 - P("оба промахнутся") = 1 - frac(1, 30) = frac(29, 30)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $frac(29, 30)$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
*13*. _В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой - с номерами от $1$ до $9$, во второй - от $10$ до $20$, в третьей - от $21$ до $30$ включительно. Из случайно выбранной урны берется шар, и оказывается, что его номер делится на $5$. Какова вероятность того, что этот шар взят из первой урны?_
|
||
|
||
*Решение*: Пусть события $A_1, A_2, A_3$ - выбрана первая, вторая и третья урны соответственно. Так как урны выбираются случайно, то $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3$. Пусть $B$ - событие "выпал номер, делящийся на 5".
|
||
|
||
По формуле Байеса:
|
||
|
||
$
|
||
P(A_1 | B) = frac(P(B | A_1) P(A_1), P(B | A_1)P(A_1) + P(B | A_2) P(A_2) + P(B | A_3)P(A_3))
|
||
$
|
||
|
||
Найдем $P(B | A_i)$.
|
||
|
||
В урне 1 есть только одно число, кратное 5, то есть $P(B | A_1) = 1/9$ (так как всего чисел 9).
|
||
|
||
В урне 2 есть 3 числа, кратных 5, то есть $P(B | A_2) = 3/11$ (всего чисел 11).
|
||
|
||
В урне 3 есть 2 числа, кратных 5, то есть $P(B | A_3) = 2/(10) = 1/5$ (всего 10 чисел).
|
||
|
||
При подстановке всего в формулу выше и опустив расчеты, получим:
|
||
|
||
$
|
||
P(A_1 | B) = frac(55, 289)
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $frac(55, 289)$
|
||
|
||
#align(center)[=== _Тема 4. Схема Бернулли._]
|
||
|
||
*3*. _Прибор содержит шесть однотипных микросхем, вероятность выхода из строя каждой в течение одного месяца равна $0.2$. Найти вероятность того, что в течение этого срока из строя выйдет не более половины микросхем._
|
||
|
||
*Решение*: Пусть $n = 6, space p = 0.2$, тогда нужно найти $P(X lt.eq 3)$.
|
||
|
||
По стандартной формуле получим:
|
||
|
||
$
|
||
P(X = k) = C_6^k dot 0.2^k dot 0.8^(6 - k)
|
||
$
|
||
|
||
Рассчитаем:
|
||
|
||
$
|
||
P(X lt.eq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
|
||
$
|
||
|
||
Опустив вычисления, получим:
|
||
|
||
$
|
||
P(X lt.eq 3) = 0.982
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $0.982$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
*13*. Производится испытание на "самовозгорание" пяти телевизоров. Прогонка продолжается двое суток. За указанное время каждый из телевизоров перегревается и "самовозгорается" с вероятностью $0.1$. Найти вероятность того, что на момент окончания испытаний сгорит не более двух телевизоров.
|
||
|
||
*Решение*: Пусть $n = 5, space p = 0.1$. Тогда нужно найти $P(X lt.eq 2)$.
|
||
|
||
$
|
||
P(X = k) = C_5^k (0.1)^k (0.9)^(5 - k)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
P(X lt.eq 2) = P(0) + P(1) + P(2)
|
||
$
|
||
|
||
Опустив вычисления, получим:
|
||
|
||
$
|
||
P(X lt.eq 2) = 0.99144
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $0.99144$.
|