upd

labs/lab2/report.typ

@@ -0,0 +1,332 @@
+#set page(
+  paper: "a4",
+  // margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
+)
+#set text(
+  font: "New Computer Modern",
+  size: 14pt
+)
+#set par(
+  /*first-line-indent: (
+    amount: 1.5em,
+    all: true
+  ),*/
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
+#show link: underline
+#set page(footer: context {
+  if counter(page).get().first() > 1 [
+    #align(center)[
+      #counter(page).display("1")
+    ]
+  ]
+  if counter(page).get().first() == 1 [
+    #align(center)[
+      Санкт-Петербург \ 2025
+    ]
+  ]
+})
+
+#set page(header: context {
+  if counter(page).get().first() == 1 [
+    #align(center)[
+      Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
+    ]
+  ]
+})
+
+
+
+#show raw.where(block: false): box.with(
+  fill: luma(240),
+  inset: (x: 3pt, y: 0pt),
+  outset: (y: 3pt),
+  radius: 2pt,
+)
+
+#show raw.where(block: true): block.with(
+  fill: luma(240),
+  inset: 10pt,
+  radius: 4pt,
+)
+
+// title
+
+#for _ in range(5) { linebreak() }
+
+#align(center)[Расчетно графическая работа №2]
+
+#for _ in range(15) { linebreak() }
+
+
+#align(right)[Выполнили:]
+#align(right)[Левахин Лев]
+#align(right)[Останин Андрей]
+#align(right)[Дощенников Никита]
+#align(right)[Группы: К3221, К3240]
+#align(right)[Проверил:]
+#align(right)[Владимир Владимирович Беспалов]
+
+#pagebreak()
+
+#outline(title: "Содержание")
+
+#align(center)[=== Цель]
+
+Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения разными способами. 
+
+Методы будут демонстрироваться на задаче Коши: 
+
+$
+y'' - 4y' + 5y = 4 e^(-2x), space y(0) = 0, space y'(0) = 1
+$
+
+#align(center)[=== Метод специальной правой части]
+
+Запишем характеристическое уравнение: 
+
+$
+r^2 - 4r + 5 = 0
+$
+
+Найдем его корни. Посчитаем дискриминант: 
+
+$
+cal(D) = b^2 - 4 a c = 16 - 4 dot 5 = -4 lt 0
+$
+
+Тогда корни: 
+
+$
+r_1 = frac(4 + sqrt(-4), 2) = 2 + i, space.quad r_2 = frac(4 - sqrt(-4), 2) = 2 - i
+$
+
+Запишем общее решение для однородного уравнения. Так как корни комплексные, то общее решение соответствует форме: 
+
+$
+y_"общ" = e^(alpha x) dot (C_1 dot cos beta x + C_2 dot sin beta x)
+$
+
+В нашем случае $alpha = 2, beta = 1$. Тогда: 
+
+$
+y_"общ" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x)
+$
+
+Специальный вид правой части соответствует виду:
+
+$
+f(x) = P_n (x) dot e^(alpha x)
+$
+
+где $P_0 (x) = 4 space (n = 0), alpha = -2$. 
+
+Так как $alpha = -2$ не является корнем характеристического уравнения, частное решение представим в следующем виде: 
+
+$
+y_"частн" = e^(alpha x) dot Q_0 (x) = e^(-2 x) dot A
+$
+
+Найдем первую и вторую производные для частного решения: 
+
+$
+y'_"частн" eq (A e^(-2x))' = -2 A e^(-2x)
+$
+
+$
+y''_"частн" eq (-2 A e^(-2x))' = 4 A e^(-2x)
+$
+
+Подставим в исходное уравнение: 
+
+$
+4 A e^(-2x) + 8 A e^(-2x) + 5 A e^(-2x) = 4e^(-2x)
+$
+
+Вынеся $e^(-2x)$ за скобки получим: 
+
+$
+e^(-2x) (4A + 8A + 5A) = e^(-2x)(4)
+$
+
+Отсюда видно, что
+
+$
+4A + 8A + 5A = 4 arrow.double 17A = 4 arrow.double A = frac(4, 17)
+$
+
+Тогда 
+
+$
+y_"частн" = A e^(-2x) = frac(4, 17) e^(-2x)
+$
+
+Запишем общее решение: 
+
+$
+y = y_"общ" + y_"частн" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x) + frac(4, 17) e^(-2x)
+$
+
+Теперь решим задачу Коши. Чтобы определить коэффициенты, подставим $0$ вместо $x$:
+
+$
+y = C_1 + frac(4, 17)
+$
+
+по условию $y(0) = 0$, то есть 
+
+$
+C_1 + frac(4, 17) = 0 arrow.double C_1 = -frac(4, 17).
+$
+
+Найдем производную $y'$:
+
+$
+y' = C_1 (e^(2x) cos x)' + C_2 (e^(2x) sin x)' + frac(4, 17)(e^(-2x))' = \
+= C_1 (2e^(2x) cos x - e^(2x) sin x) + C_2 (2e^(2x) sin x + e^(2x) cos x) - frac(8, 17)e^(-2x) = \
+= e^(2x)((2C_1 + C_2) cos x + (2 C_2 - C_1) sin x) - frac(8, 17) e^(-2x)
+$
+
+По условию $y'(0) = 1$. Подставим $0$ вместо $x$ и получим: 
+
+$
+y'(0) = 2C_1 + C_2 - frac(8, 17) = 1
+$
+
+Подставим $C_1 = -frac(4, 17)$:
+
+$
+-frac(8, 17) + C_2 - frac(8, 17) = 1 arrow.double C_2 = frac(33, 17)
+$
+
+Подставим найденные коэффициенты в итоговое решение: 
+
+$
+y = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
+$
+
+#align(center)[=== Метод вариации постоянной]
+
+Напомним вид общего решения для однородного уравнения: 
+
+$
+y_"общ" = e^(2 x) dot (C_1 dot cos x + C_2 dot sin x)
+$
+
+Раскроем скобки и получим
+
+$
+y_"общ" = C_1 e^(2 x) cos x + C_2 e^(2 x) sin x
+$
+
+Сведем все к системе: 
+
+$
+cases(
+  C'_1 (x) y_1 + C'_2 (x) y_2 = 0,
+  C'_1 (x) y'_1 + C'_2 (x) y'_2 = f(x)
+)
+$
+
+где $y_1 = e^(2x) cos x, space y_2 = e^(2x) sin x, space f(x) = 4 e^(-2x)$.
+
+Найдем производные для $y_1$ и $y_2$:
+
+$
+y_1' = (e^(2x) cos x)' = 2 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x
+$
+
+$
+y_2' = (e^(2x) sin x)' = 2 e^(2x) sin x + e^(2x) cos x 
+$
+
+Тогда система примет следующий вид: 
+
+$
+cases(
+  C'_1(x) (e^(2x) cos x) + C'_2(x) (e^(2x) sin x) = 0,
+  C'_1(x) (2 e^(2x) cos x - e^(2x) sin x) + C'_2(x) (2 e^(2x) sin x + e^(2x) cos x) = 4e^(-2x),
+)
+$
+
+Из первого уравнения системы: 
+
+$
+C'_1 = -C'_2 frac(e^(2x) sin x, e^(2x) cos x) = -C'_2 tg x
+$
+
+Подставим во второе уравнение системы и вынесем $C'_2 e^(2x)$: 
+
+$
+C'_2 e^(2x) (-tg x(2 cos x - sin x) + 2 sin x + cos x) = 4 e^(-2x)
+$
+
+Упростим
+
+$
+-tg x(2 cos x - sin x) = -frac(sin x, cos x) (2 cos x - sin x) = -2 sin x + frac(sin^2 x, cos x)
+$
+
+Тогда
+
+$
+(-2 sin x + frac(sin^2 x, cos x)) + 2 sin x + cos x = frac(sin^2 x + cos^2 x, cos x) = frac(1, cos x)
+$
+
+Вернемся в уравнение 2 системы. С учетом упрощения оно примет следующий вид:
+
+$
+C'_2 e^(2x) dot frac(1, cos x) = 4 e^(-2x) 
+$
+
+Отсюда 
+
+$
+C_2' = 4e^(-4x) cos x
+$
+
+Найдем $C'_1$
+
+$
+C'_1 = -C'_2 tg x = -4e^(-4x) cos x frac(sin x, cos x) = -4e^(-4x) sin x
+$
+
+Проинтегрируем и получим
+
+$
+C_1 = -4 integral e^(-4x) sin x d x = frac(4, 17) e^(-4x) (4 sin x + cos x) \
+C_2 = 4 integral e^(-4x) cos x d x = frac(4, 17) e^(-4x) (4 cos x - sin x)
+$
+
+Подставим в формулу частного решения: 
+
+$
+y_"частн" = C_1 (x) y_1 + C_2 (x) y_2 = \
+= frac(4, 17) e^(-4x) (4 sin x + cos x) dot e^(2x) cos x + frac(4, 17) e^(-4x) (4 cos x - sin x) dot e^(2x) sin x = \
+= frac(4, 17) e^(-2x) ((4 sin x + cos x ) cos x + (4 cos x - sin x) sin x) = \
+= frac(4, 17) e^(-2x) (4 sin x cos x + 4 cos x sin x + cos^2 x - sin^2 x) = \
+= frac(4, 17) e^(-2x) (8 sin x cos x + (cos^2 x + sin^2 x)) = \
+= frac(4, 17) e^(-2x) (8 sin x cos x + 1) = \
+= frac(4, 17) e^(-2x) (cos 2 x + 4 sin 2x)
+$
+
+Так как $e^(-2x) cos 2 x$ и $e^(-2x) sin 2x$ -- решения однородного уравнения, то выражение $frac(4, 17) e^(-2x) (cos 2 x + 4 sin 2 x)$ -- это частное решение и часть однородного решения. Тогда окончательно получим
+
+$
+y_"частн" = frac(4, 17) e^(-2x)
+$
+
+Запишем общее решение: 
+
+$
+y = y_"общ" + y_"частн" = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
+$
+
+Дальнейшее решение задачи Коши идентично описанному в первом методе.
+
+#align(center)[=== Операционный метод]
+#align(center)[=== Метод разложения в ряд]
+
+
+