upd

exam/questions.typ

@@ -0,0 +1,507 @@
+#set page(
+  paper: "a4",
+  margin: (x: 1.8cm, y: 1.5cm),
+  numbering: "- 1 -"
+)
+#set text(
+  font: "New Computer Modern",
+  size: 14pt
+)
+#set par(
+  // first-line-indent: (
+  //  amount: 1.5em,
+  //  all: true
+  // ),
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
+
+#align(center)[=== Определения]
+
+1. Дифференциальное уравнение
+
+Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
+
+$
+F(x, y, y') eq 0.
+$
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
+
+#line(length: 100%)
+
+2. Решение дифференциального уравнения, общее решение
+
+Функция $phi$ - решение уравнения, если 
+
+$
+phi in C^1 (a, b); \
+F(x, phi(x), phi'(x)) eq.triple 0 " на " (a, b)
+$
+
+Другими словами, решением уравнения называют гладкую функцию $phi$, определённую на интервале $(a, b)$, подстановка которой вместо $y$ обращает уравнение в тождество на $(a, b)$.
+
+Общим решением уравнения называют множество всех его решений.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
+
+#line(length: 100%)
+
+3. Задача Коши
+
+Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
+
+$
+y' eq f(x, y)
+$
+
+называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальному условию
+
+$
+y(x_0) eq y_0.
+$
+
+Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
+
+#line(length: 100%)
+
+4. Уравнение с разделяющимися переменными
+
+Уравнение в дифференциалах вида
+
+$
+P(x) d x plus Q(y) d y eq 0
+$
+
+называют уравнением с разделёнными переменными.
+
+Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной. 
+
+Уравнение вида
+
+$
+p_1 (x) q_1 (y) d x plus p_2 (x) q_2 (y) d y eq 0
+$
+
+называют уравнением с разделяющимися переменными.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Если уравнение $Phi(x, y, y') eq 0$ с помощью алгебраических преобразований удается привести к виду
+
+$
+y' eq g(x) dot h(y)
+$
+
+или
+
+$
+M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
+$
+
+то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
+
+#line(length: 100%)
+
+5. Однородная функция
+
+Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
+
+$
+F(t x, t y) eq t^alpha F(x, y).
+$
+
+Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
+
+#line(length: 100%)
+
+6. Однородное ДУ первого порядка
+
+Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
+
+$
+P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
+$
+
+называется однородным уравнением.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду:
+
+$
+y' eq f(y/x)
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+7. Линейное ДУ первого порядка
+
+Дифференциальное уравнение вида
+
+$
+y' eq p(x) y plus q(x),
+$
+
+называется линейным уравнением первого порядка.
+
+Название линейное мотивировано тем, что оно составлено из многочленов первой степени по отношению к символам $y$ и $y'$.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
+
+$
+y' plus p(x) y eq q(x),
+$
+
+где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
+
+#line(length: 100%)
+
+8. Уравнение Бернулли
+
+Уравнением Бернулли называют уравнение вида
+
+$
+y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha, 
+$
+
+где $alpha in RR without {0, 1}$.
+
+Разделив данное уравнение на $y^alpha$, находим
+
+$
+frac(y', y^alpha) eq p(x) y^(1 minus alpha) plus q(x).
+$
+
+Отсюда видно, что замена $z eq y^(1 minus alpha)$ сводит уравнение к линейному.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Уравнением Бернулли называется уравнение вида
+
+$
+y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+9. Уравнение в полных дифференциалах
+
+Уравнение
+
+$
+P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
+$
+
+называют уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция $u$, что
+
+$
+d u eq P(x, y) d x plus Q(x, y) d y,
+$
+
+то есть $u'_x eq P, u'_y eq Q$.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Дифференциальное уравнение вида
+
+$
+M(x, y) d x plus N(x, y) d x eq 0
+$
+
+называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $u(x, y)$:
+
+$
+M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
+$
+
+Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал: 
+
+$
+frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
+$
+
+#line(length: 100%) 
+
+10. Особое решение ДУ
+
+Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
+
+$
+Phi(x, y, y') eq 0
+$
+
+называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, то есть если через каждую его точку ($x_0, y_0$) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ($x_0, y_0$) ту же касательную, что и решение $y eq phi(x)$, но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности ($x_0, y_0$). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Решение $phi$ на $(a, b)$ уравнения $y' eq f(x, y)$ называется особым, если для любой точки $x_0 in (a, b)$ найдется решение $psi$ того же уравнения, такое что
+
+$
+phi(x_0) eq psi(x_0)
+$
+
+при этом $phi eq.triple psi$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$.
+
+Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
+
+#line(length: 100%)
+
+11. ДУ высшего порядка, задача Коши для него
+
+Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
+
+$
+F(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0.
+$
+
+Функция $phi$ -- решение уравнения на $(a, b)$, если
+
+$
+phi in C^n (a, b); \
+F(x, phi(x), phi'(x), dots, phi^((n))(x)) eq.triple 0 " на " (a, b).
+$
+
+Каноническим уравнением будем называть уравнение
+
+$
+y^((n)) eq f(x, y, y', dots, y^((n minus 1))),
+$
+
+разрешённое относительно старшей производной.
+
+Задачей Коши для канонического уравнения называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальным условиям
+
+$
+y(x_0) eq y_0, y'(x_0) eq y'_0, dots, y^((n minus 1)) (x_0) eq y_0^((n minus 1)).
+$
+
+Набор чисел $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n minus 1)) )$ при этом  называют начальными данными.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид
+
+$
+Phi(x, y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0,
+$
+
+или в решенном относительно старшей производной $y^((n))$, вид
+
+$
+y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n minus 1))).
+$
+
+Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
+
+#line(length: 100%)
+
+12. Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное
+
+Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
+
+$
+y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
+$
+
+где $p_0, p_1, dots, p_(n minus 1), q in C(a, b)$.
+
+Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то уравнение, то есть
+
+$
+y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq 0,
+$
+
+называется однородным, в противном случае -- неоднородным.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Уравнение вида
+
+$
+y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0
+$
+
+называется линейным однородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
+
+Уравнение вида
+
+$
+y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq f(x)
+$
+
+называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
+
+#line(length: 100%)
+
+13. Линейная независимость функций
+
+#line(length: 100%)
+
+14. Определитель Вронского
+
+Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
+
+$
+W (t) colon.eq mat(
+  y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t); 
+  dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t); 
+  dots, dots, dots, dots; 
+  y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+15. Фундаментальная система решений
+
+Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
+
+#line(length: 100%)
+
+16. Характеристический многочлен
+
+Многочлен
+
+$
+p(lambda) colon.eq lambda^n plus a_(n minus 1) lambda^(n minus 1) plus dots plus a_1 lambda plus a_0
+$
+
+называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
+
+#line(length: 100%)
+
+17. Система ДУ, решение системы
+
+Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
+
+$
+cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n), 
+      dots,
+      frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
+$
+
+Решением системы называется совокупность $n$ функций
+
+$
+y_i eq psi_i (x), space i eq 1, 2, dots, n
+$
+
+таких, что при подстановке их в уравнения системы эти уравнения обращаются в тождества относительно $x$. При этом функции $psi_i (x)$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми.
+
+#align(center)[ИЛИ]
+
+Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида
+
+$
+cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n), 
+      dots, 
+      dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
+$
+
+Если ввести в рассмотрение векторы
+
+$
+r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)), 
+$
+
+то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения
+
+$
+dot(r) eq f(t, r).
+$
+
+Вектор-функция $phi$ - решение системы на $(a, b)$, если
+
+$
+phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
+dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+18. Линейная однородная и неоднородная система ДУ
+
+Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
+
+$
+dot(r) eq P(t) r plus q(t),
+$
+
+где $P in M_n (C(a, b)), space q in C((a, b) arrow RR^n)$.
+
+Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть
+
+$
+dot(r) eq P(t) r, 
+$
+
+называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
+
+#line(length: 100%)
+
+19. Функция оригинал
+
+Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
+
+- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
+- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
+- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем: 
+
+$
+|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
+$
+
+#line(length: 100%)
+
+20. Преобразование Лапласа
+
+Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида: 
+
+$
+(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
+$
+
+где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
+
+#pagebreak()
+#align(center)[=== Теоремы]
+
+1. О существовании решения ДУ
+2. Решение однородного дифференциального уравнения
+3. О решении линейного однородного уравнения
+4. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)
+5. Метод Бернулли
+6. О полном дифференциале
+7. Об интегрирующем множителе
+8. О существовании решения ДУ высших порядков
+9. Замены для уравнений, допускающих понижение порядка
+10. Свойства решений линейного однородного ДУ
+11. Необходимое условие линейной зависимости решений
+12. Достаточное условие линейной зависимости решений
+13. О базисе пространства решений
+14. Общее решение линейного неоднородного ДУ
+15. Принцип суперпозиции
+16. Метод вариации произвольных постоянных
+17. О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена
+18. О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена
+19. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
+20. Метод неопределенных коэффициентов
+21. Метод исключения для решения системы ДУ
+22. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах
+23. Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах
+24. Общее решение линейной неоднородной системы ДУ
+25. Свойства преобразования Лапласа
+26. О дифференцировании изображения
+27. О дифференцировании оригинала
+28. Об интегрировании оригинала
+29. Преобразования Лапласа простейших функций