upd
This commit is contained in:
@@ -82,8 +82,11 @@ $
|
||||
y'' - 4y' + 5y = 4 e^(-2x), space y(0) = 0, space y'(0) = 1
|
||||
$
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
#align(center)[=== Метод специальной правой части]
|
||||
|
||||
(Дощенников Никита)
|
||||
|
||||
Запишем характеристическое уравнение:
|
||||
|
||||
$
|
||||
@@ -206,8 +209,12 @@ $
|
||||
y = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
#align(center)[=== Метод вариации постоянной]
|
||||
|
||||
(Дощенников Никита)
|
||||
|
||||
Напомним вид общего решения для однородного уравнения:
|
||||
|
||||
$
|
||||
@@ -325,8 +332,196 @@ $
|
||||
|
||||
Дальнейшее решение задачи Коши идентично описанному в первом методе.
|
||||
|
||||
#align(center)[=== Операционный метод]
|
||||
#align(center)[=== Метод разложения в ряд]
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
#align(center)[=== Операционный метод] (Левахин Лев)
|
||||
|
||||
|
||||
Применим преобразование Лапласа к исходному уравнению:
|
||||
$ L[y''] - 4L[y'] + 5L[y] = 4L[e^(-2x)] $
|
||||
|
||||
Используем свойства преобразования Лапласа:
|
||||
$ (p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0)) - 4(p Y(p) - y(0)) + 5Y(p) = 4/(p+2) $
|
||||
|
||||
Подставим начальные условия $y(0)=0$, $y'(0)=1$:
|
||||
$ (p^2 Y(p) - 1) - 4p Y(p) + 5Y(p) = 4/(p+2) $
|
||||
|
||||
Сгруппируем члены с $Y(p)$:
|
||||
$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) - 1 = 4/(p+2) $
|
||||
$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) = 1 + 4/(p+2) = (p+6)/(p+2) $
|
||||
|
||||
Выразим $Y(p)$:
|
||||
$ Y(p) = (p+6)/((p+2)(p^2 - 4p + 5)) $
|
||||
|
||||
Разложим на простейшие дроби. Для этого сначала представим:
|
||||
$ Y(p) = A/(p+2) + (B*p + C)/(p^2 - 4p + 5) $
|
||||
|
||||
Умножим обе части на $(p+2)(p^2 - 4p + 5)$:
|
||||
$ p+6 = A(p^2 - 4p + 5) + (B*p + C)(p+2) $
|
||||
$ p+6 = A p^2 - 4A p + 5A + B p^2 + 2B p + C p + 2C $
|
||||
$ p+6 = (A+B)p^2 + (-4A + 2B + C)p + (5A + 2C) $
|
||||
|
||||
Получим систему уравнений:
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
A + B = 0,
|
||||
-4A + 2B + C = 1,
|
||||
5A + 2C = 6
|
||||
)
|
||||
$
|
||||
A + B = 0, при p^2
|
||||
-4A + 2B + C = 1, при p^1
|
||||
5A + 2C = 6, при p^0
|
||||
|
||||
Из первого уравнения: $B = -A$. Подставим в остальные:
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
-4A - 2A + C = 1,
|
||||
5A + 2C = 6
|
||||
)
|
||||
$
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
-6A + C = 1,
|
||||
5A + 2C = 6
|
||||
)$
|
||||
|
||||
Решим систему: из первого $C = 1 + 6A$, подставим во второе:
|
||||
$ 5A + 2(1 + 6A) = 6 $
|
||||
$ 5A + 2 + 12A = 6 $
|
||||
$ 17A = 4 $
|
||||
$ A = 4/17 $
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
$ B = -4/17 $
|
||||
$ C = 1 + 6*(4/17) = 1 + 24/17 = 41/17 $
|
||||
|
||||
Итак:
|
||||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + ((-4/17)p + 41/17)/(p^2 - 4p + 5) $
|
||||
|
||||
Преобразуем второе слагаемое. Заметим, что $p^2 - 4p + 5 = (p-2)^2 + 1$:
|
||||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * p + 41/17)/((p-2)^2 + 1) $
|
||||
|
||||
Выделим в числителе второй дроби слагаемое $p-2$:
|
||||
$ -4/17 * p + 41/17 = -4/17 * (p-2) - 8/17 + 41/17 = -4/17 * (p-2) + 33/17 $
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * (p-2) + 33/17)/((p-2)^2 + 1) $
|
||||
$ Y(p) = (4/17)/(p+2) - (4/17) * (p-2)/((p-2)^2 + 1) + (33/17)/((p-2)^2 + 1) $
|
||||
|
||||
Применим обратное преобразование Лапласа, используя свойства:
|
||||
$ L^(-1)[1/(p+2)] = e^(-2t) $
|
||||
$ L^(-1)[(p-2)/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) cos t $
|
||||
$ L^(-1)[1/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) sin t $
|
||||
|
||||
Получаем решение:
|
||||
$ y(x) = (4/17)e^(-2x) - (4/17)e^(2x) cos x + (33/17)e^(2x) sin x $
|
||||
|
||||
Или в более компактной форме:
|
||||
$ y(x) = e^(2x)(-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17)e^(-2x) $
|
||||
|
||||
Полученное решение полностью совпадает с результатами предыдущих методов.
|
||||
|
||||
|
||||
#pagebreak()
|
||||
#align(center)[=== Метод разложения в ряд] (Останин Андрей)
|
||||
|
||||
Ищем решение в виде степенного ряда:
|
||||
$
|
||||
y(x) = sum_(n=0)^infinity a_(n) x^n
|
||||
$
|
||||
|
||||
Тогда производные имеют вид:
|
||||
$
|
||||
y'(x) = sum_(n=1)^infinity n a_(n) x^(n-1), quad
|
||||
y''(x) = sum_(n=2)^infinity n(n-1) a_(n) x^(n-2)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Правая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:
|
||||
$
|
||||
4 e^(-2x) = sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n, quad
|
||||
b_(n) = frac(4 (-2)^n, n!)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Приведём ряды для производных к одинаковым степеням $x^n$:
|
||||
$
|
||||
y'' = sum_(n=0)^infinity (n+2)(n+1) a_(n+2) x^n
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
y' = sum_(n=0)^infinity (n+1) a_(n+1) x^n
|
||||
$
|
||||
|
||||
Подставляя полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
|
||||
$
|
||||
sum_(n=0)^infinity [
|
||||
(n+2)(n+1) a_(n+2)
|
||||
- 4 (n+1) a_(n+1)
|
||||
+ 5 a_(n)
|
||||
] x^n
|
||||
=
|
||||
sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n
|
||||
$
|
||||
|
||||
Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:
|
||||
$
|
||||
(n+2)(n+1) a_(n+2)
|
||||
- 4 (n+1) a_(n+1)
|
||||
+ 5 a_(n)
|
||||
=
|
||||
b_(n)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Начальные условия задачи Коши дают:
|
||||
$
|
||||
a_(0) = y(0) = 0, quad a_(1) = y'(0) = 1
|
||||
$
|
||||
|
||||
Найдём первые коэффициенты ряда.
|
||||
|
||||
При $n = 0$:
|
||||
$
|
||||
2 a_(2) - 4 a_(1) + 5 a_(0) = 4
|
||||
$
|
||||
$
|
||||
2 a_(2) - 4 = 4 arrow.double a_(2) = 4
|
||||
$
|
||||
|
||||
При $n = 1$:
|
||||
$
|
||||
6 a_(3) - 8 a_(2) + 5 a_(1) = -8
|
||||
$
|
||||
$
|
||||
6 a_(3) - 32 + 5 = -8 arrow.double a_(3) = frac(19, 6)
|
||||
$
|
||||
|
||||
При $n = 2$:
|
||||
$
|
||||
12 a_(4) - 12 a_(3) + 5 a_(2) = 8
|
||||
$
|
||||
$
|
||||
12 a_(4) - 38 + 20 = 8 arrow.double a_(4) = frac(13, 6)
|
||||
$
|
||||
|
||||
При $n = 3$:
|
||||
$
|
||||
20 a_(5) - 16 a_(4) + 5 a_(3) = - frac(16, 3)
|
||||
$
|
||||
$
|
||||
20 a_(5) - frac(208, 6) + frac(95, 6) = - frac(16, 3)
|
||||
arrow.double a_(5) = frac(27, 40)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Таким образом, решение в виде степенного ряда имеет вид:
|
||||
$
|
||||
y(x) =
|
||||
x
|
||||
+ 4 x^2
|
||||
+ frac(19, 6) x^3
|
||||
+ frac(13, 6) x^4
|
||||
+ frac(27, 40) x^5
|
||||
+ dots
|
||||
$
|
||||
|
||||
Полученное разложение совпадает с рядом Тейлора точного решения, найденного ранее другими методами.
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user