upd

labs/lab2/report.typ

@@ -82,8 +82,11 @@ $
 y'' - 4y' + 5y = 4 e^(-2x), space y(0) = 0, space y'(0) = 1
 $
 
+#pagebreak()
 #align(center)[=== Метод специальной правой части]
 
+(Дощенников Никита)
+
 Запишем характеристическое уравнение: 
 
 $
@@ -206,8 +209,12 @@ $
 y = e^(2x) (-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17) e^(-2x).
 $
 
+
+#pagebreak()
 #align(center)[=== Метод вариации постоянной]
 
+(Дощенников Никита)
+
 Напомним вид общего решения для однородного уравнения: 
 
 $
@@ -325,8 +332,196 @@ $
 
 Дальнейшее решение задачи Коши идентично описанному в первом методе.
 
-#align(center)[=== Операционный метод]
+
-#align(center)[=== Метод разложения в ряд]
+#pagebreak()
+#align(center)[=== Операционный метод] (Левахин Лев)
 
 
+Применим преобразование Лапласа к исходному уравнению:
+$ L[y''] - 4L[y'] + 5L[y] = 4L[e^(-2x)] $
+
+Используем свойства преобразования Лапласа:
+$ (p^2 Y(p) - p y(0) - y'(0)) - 4(p Y(p) - y(0)) + 5Y(p) = 4/(p+2) $
+
+Подставим начальные условия $y(0)=0$, $y'(0)=1$:
+$ (p^2 Y(p) - 1) - 4p Y(p) + 5Y(p) = 4/(p+2) $
+
+Сгруппируем члены с $Y(p)$:
+$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) - 1 = 4/(p+2) $
+$ (p^2 - 4p + 5)Y(p) = 1 + 4/(p+2) = (p+6)/(p+2) $
+
+Выразим $Y(p)$:
+$ Y(p) = (p+6)/((p+2)(p^2 - 4p + 5)) $
+
+Разложим на простейшие дроби. Для этого сначала представим:
+$ Y(p) = A/(p+2) + (B*p + C)/(p^2 - 4p + 5) $
+
+Умножим обе части на $(p+2)(p^2 - 4p + 5)$:
+$ p+6 = A(p^2 - 4p + 5) + (B*p + C)(p+2) $
+$ p+6 = A p^2 - 4A p + 5A + B p^2 + 2B p + C p + 2C $
+$ p+6 = (A+B)p^2 + (-4A + 2B + C)p + (5A + 2C) $
+
+Получим систему уравнений:
+$
+cases(
+  A + B = 0,
+  -4A + 2B + C = 1,
+  5A + 2C = 6
+)
+$
+A + B = 0, при p^2
+-4A + 2B + C = 1, при p^1
+5A + 2C = 6, при p^0
+
+Из первого уравнения: $B = -A$. Подставим в остальные:
+$
+cases(
+  -4A - 2A + C = 1,
+  5A + 2C = 6
+)
+$
+$
+cases(
+  -6A + C = 1,
+  5A + 2C = 6
+)$
+
+Решим систему: из первого $C = 1 + 6A$, подставим во второе:
+$ 5A + 2(1 + 6A) = 6 $
+$ 5A + 2 + 12A = 6 $
+$ 17A = 4 $
+$ A = 4/17 $
+
+Тогда:
+$ B = -4/17 $
+$ C = 1 + 6*(4/17) = 1 + 24/17 = 41/17 $
+
+Итак:
+$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + ((-4/17)p + 41/17)/(p^2 - 4p + 5) $
+
+Преобразуем второе слагаемое. Заметим, что $p^2 - 4p + 5 = (p-2)^2 + 1$:
+$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * p + 41/17)/((p-2)^2 + 1) $
+
+Выделим в числителе второй дроби слагаемое $p-2$:
+$ -4/17 * p + 41/17 = -4/17 * (p-2) - 8/17 + 41/17 = -4/17 * (p-2) + 33/17 $
+
+Тогда:
+$ Y(p) = (4/17)/(p+2) + (-4/17 * (p-2) + 33/17)/((p-2)^2 + 1) $
+$ Y(p) = (4/17)/(p+2) - (4/17) * (p-2)/((p-2)^2 + 1) + (33/17)/((p-2)^2 + 1) $
+
+Применим обратное преобразование Лапласа, используя свойства:
+$ L^(-1)[1/(p+2)] = e^(-2t) $
+$ L^(-1)[(p-2)/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) cos t $
+$ L^(-1)[1/((p-2)^2 + 1)] = e^(2t) sin t $
+
+Получаем решение:
+$ y(x) = (4/17)e^(-2x) - (4/17)e^(2x) cos x + (33/17)e^(2x) sin x $
+
+Или в более компактной форме:
+$ y(x) = e^(2x)(-frac(4, 17) cos x + frac(33, 17) sin x) + frac(4, 17)e^(-2x) $
+
+Полученное решение полностью совпадает с результатами предыдущих методов.
+
+
+#pagebreak()
+#align(center)[=== Метод разложения в ряд] (Останин Андрей)
+
+Ищем решение в виде степенного ряда:
+$
+y(x) = sum_(n=0)^infinity a_(n) x^n
+$
+
+Тогда производные имеют вид:
+$
+y'(x) = sum_(n=1)^infinity n a_(n) x^(n-1), quad
+y''(x) = sum_(n=2)^infinity n(n-1) a_(n) x^(n-2)
+$
+
+Правая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:
+$
+4 e^(-2x) = sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n, quad
+b_(n) = frac(4 (-2)^n, n!)
+$
+
+Приведём ряды для производных к одинаковым степеням $x^n$:
+$
+y'' = sum_(n=0)^infinity (n+2)(n+1) a_(n+2) x^n
+$
+
+$
+y' = sum_(n=0)^infinity (n+1) a_(n+1) x^n
+$
+
+Подставляя полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
+$
+sum_(n=0)^infinity [
+(n+2)(n+1) a_(n+2)
+- 4 (n+1) a_(n+1)
++ 5 a_(n)
+] x^n
+=
+sum_(n=0)^infinity b_(n) x^n
+$
+
+Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:
+$
+(n+2)(n+1) a_(n+2)
+- 4 (n+1) a_(n+1)
++ 5 a_(n)
+=
+b_(n)
+$
+
+Начальные условия задачи Коши дают:
+$
+a_(0) = y(0) = 0, quad a_(1) = y'(0) = 1
+$
+
+Найдём первые коэффициенты ряда.
+
+При $n = 0$:
+$
+2 a_(2) - 4 a_(1) + 5 a_(0) = 4
+$
+$
+2 a_(2) - 4 = 4 arrow.double a_(2) = 4
+$
+
+При $n = 1$:
+$
+6 a_(3) - 8 a_(2) + 5 a_(1) = -8
+$
+$
+6 a_(3) - 32 + 5 = -8 arrow.double a_(3) = frac(19, 6)
+$
+
+При $n = 2$:
+$
+12 a_(4) - 12 a_(3) + 5 a_(2) = 8
+$
+$
+12 a_(4) - 38 + 20 = 8 arrow.double a_(4) = frac(13, 6)
+$
+
+При $n = 3$:
+$
+20 a_(5) - 16 a_(4) + 5 a_(3) = - frac(16, 3)
+$
+$
+20 a_(5) - frac(208, 6) + frac(95, 6) = - frac(16, 3)
+arrow.double a_(5) = frac(27, 40)
+$
+
+Таким образом, решение в виде степенного ряда имеет вид:
+$
+y(x) =
+x
++ 4 x^2
++ frac(19, 6) x^3
++ frac(13, 6) x^4
++ frac(27, 40) x^5
++ dots
+$
+
+Полученное разложение совпадает с рядом Тейлора точного решения, найденного ранее другими методами.