upd

exam/questions.typ

@@ -994,8 +994,21 @@ $ <eq175>
   Подстановка собственного вектора и собственного значения в формулу @eq166 даст нам решение $Y(x)$ матричного уравнения @eq160 (или системы @eq159). Таким образом, линейно независимые собственные векторы матрицы $A$ дают нам вектор-функции из фундаментальной системы решений.
 
   Для того, чтобы получить всю фундаментальную систему, требуется найти $n$ линейно независимых решений.
+
+  При рассмотрении теории систем дифференциальных уравнений мы обозначали независимую переменную через $x$, а функции через $y_1, y_2, dots dots, y_n$ для того, чтобы продемонстрировать сходство с теорией отдельных дифференциальных уравнений. При решении задач мы будем использовать для независимой переменной более традиционное обозначение $t$, а для функций -- обозначения $x, y, z$ во избежание излишней индексации.
+
+]
+#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[
+
+    Если корень $lambda eq lambda_0$ имеет кратность $s$, то ему должны соответствовать $s$ линейно независимых решений. Одной функции $e^(lambda_0 t)$ будет недостаточно. В этом случае ищем решение в виде: 
+
+  $
+  Y_1 e^(lambda_0 t) + Y_2 t e^(lambda_0 t) + dots dots + Y_s t^(s - 1) e^(lambda_0 t).
+  $ <eq173>
+
+  Для определения координат векторов $Y_1, Y_2, dots dots, Y_s$ подставляем @eq173 в исходную систему уравнений и в каждом из уравнений приравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях.
+
 ]
-#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
 #countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[
 
@@ -1045,29 +1058,109 @@ $ <eq175>
     $
   ]
 
-  5. $L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)$ -- теорема о дифференцировании изображения;
-
-  $L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)$;
-
-  #proof()[
-    Продифференцируем по параметру $p$ формулу @eq175 из определения преобразования Лапласа:
-
-    $
-    F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t, \
-    frac(d, d p) F(p) eq -integral_0^infinity e^(- p t) t f(t) d t eq -L (t f(t)).
-    $
-
-    Соответственно,
-
-    $
-    frac(d^n, d p^n) F(p) eq (-1)^n integral_0^infinity e^(- p t) t^n f(t) d t eq (-1)^n L(t^n f(t)).
-    $
-  ]
 ]
-#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
+
-#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
+#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[
-#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
+
-#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]
+  $
+  L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)
+  $
+
+  $
+  L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)
+  $
+
+
+
+]
+
+#proof()[
+  Продифференцируем по параметру $p$ формулу @eq175 из определения преобразования Лапласа:
+
+  $
+  F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t, \
+  frac(d, d p) F(p) eq -integral_0^infinity e^(- p t) t f(t) d t eq -L (t f(t)).
+  $
+
+  Соответственно,
+
+  $
+  frac(d^n, d p^n) F(p) eq (-1)^n integral_0^infinity e^(- p t) t^n f(t) d t eq (-1)^n L(t^n f(t)).
+  $
+]
+
+
+#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[
+
+  $
+  L(f'(t)) eq p F(p) - f(0).
+  $
+
+  $
+  L(f^((n)) (t)) eq p^n F(p) - p^(n - 1) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0).
+  $
+]
+
+#proof()[
+  $
+  L(f'(t)) eq integral_0^infinity f'(t) e^(- p t) d t eq.circle
+  $
+
+  $
+  u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f(t), space.quad d v eq f'(t) d t 
+  $
+
+  $
+  eq.circle f(t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t eq -f(0) + p F(p).
+  $
+
+  Формула для $f^((n)) (t)$ доказывается по индукции.
+
+  База проверена $(n eq 1)$. Переход $n arrow n + 1$:
+
+  $
+  L(f^((n + 1)) (t)) eq integral_0^infinity f^((n + 1)) (t) e^(- p t) d t eq.o
+  $
+
+  $
+  u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f^((n)) (t), space.quad d v eq f^((n + 1)) (t) d t
+  $
+
+  $
+  eq.o f^((n)) (t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f^((n)) (t) e^((- p t)) d t eq \ 
+  eq -f^((n)) (0) + p(p^n F(p) - p^((n - 1)) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0)) eq \ 
+  eq p^((n + 1)) F(p) - p^n f(0) - p^(n - 1) f'(0) - dots - f^((n)) (0).
+  $
+]
+
+
+#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[
+
+  $
+  L(integral_0^t f(tau) d tau) eq frac(F(p), p).
+  $
+]
+
+#proof()[
+  Введем функцию Хевисайда по следующему правилу: 
+
+  $
+  theta(t) eq cases(1", " t gt.eq 0, 0", " t lt 0)
+  $
+
+  Тогда:
+
+  $
+  L(integral_0^t f(tau) d tau) eq L(integral_0^infinity underbrace(theta(1 - tau), eq 1 " при " 0 lt.eq tau lt.eq t) dot f(tau) d tau) eq L(theta * f) eq L(theta) L(f) eq 1/p F(p).
+  $
+
+
+]
+
+#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[
+
+  Преобразование Лапласа определено только для функций, обращающихся в ноль при $t lt 0$. Поэтому выписывая таблицу изображений, будем считать, что функции-оригиналы обращаются в ноль на отрицательной полуоси. 
+]