upd
This commit is contained in:
18350
exam/questions.pdf
18350
exam/questions.pdf
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -493,7 +493,7 @@ $
|
||||
|
||||
$
|
||||
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
|
||||
$
|
||||
$ <eq175>
|
||||
|
||||
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
||||
]
|
||||
@@ -820,7 +820,10 @@ $
|
||||
Если правая часть уравнения не зависит от $y$, то $ln mu$ находится интегрированием.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[
|
||||
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||||
@@ -837,11 +840,230 @@ $
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[
|
||||
|
||||
Метод исключения аналогичен соответствующему алгебраическому методу.
|
||||
|
||||
Если одно из уравнений системы позволяет выразить одну из неизвестных функций через другие, то сделаем это и подставим данное выражение в остальные уравнения. Мы получим систему из $(n - 1)$-го уравнения с $(n - 1)$-ой неизвестной функцией. Однако, порядок уравнений возрастет. Повторяем эту процедуру до тех пор, пока не придем к одному уравнению $n$-го порядка. Решаем это уравнение и через его решение выражаем остальные искомые функции.
|
||||
|
||||
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:
|
||||
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
frac(d y_1, d x) eq a y_1 + b y_2 + f(x),
|
||||
frac(d y_2, d x) eq c y_1 + d y_2 + g(x).
|
||||
)
|
||||
$ <eq154>
|
||||
|
||||
Здесь $a, b, c, d$ -- постоянные коэффициенты, а $f(x)$ и $g(x)$ -- заданные функции. $y_1 (x)$ и $y_2 (x)$ -- искомые функции.
|
||||
|
||||
Выразим $y_2$ из первого уравнения системы @eq154:
|
||||
|
||||
$
|
||||
y_2 eq 1/b dot (frac(d y_1, d x - a y_1 - f(x))).
|
||||
$ <eq155>
|
||||
|
||||
Подставим во второе уравнение системы @eq154 вместо $y_2$ правую часть @eq155, получаем уравнение второго порядка относительно $y_1 (x)$:
|
||||
|
||||
$
|
||||
A frac(d^2 y_1, d x^2) + B frac(d y_1, d x) + C y_1 + P(x) eq 0,
|
||||
$ <eq156>
|
||||
|
||||
где $A, B, C$ -- некоторые постоянные.
|
||||
|
||||
Решая уравнение @eq156, находим $y_1 eq y_1 (x)$. Подставим найденное выражение для $y_1$ и $frac(d y_1, d y)$ в @eq155, найдем $y_2$.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[
|
||||
|
||||
Матричный метод применим только для линейных однородных систем уравнений с постоянными коэффициентами:
|
||||
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
y'_1 eq a_11 y_1 + a_12 y_2 + dots + a_(1 n) y_n,
|
||||
y'_2 eq a_21 y_1 + a_22 y_2 + dots + a_(2 n) y_n,
|
||||
dots dots dots dots,
|
||||
y'_n eq a_(n 1) y_1 + a_(n 2) y_2 + dots a_(n n) y_n.
|
||||
)
|
||||
$ <eq159>
|
||||
|
||||
где $a_(i j)$ -- некоторые постоянные коэффициенты.
|
||||
|
||||
Система уравнений @eq159 может быть записана в матричном виде:
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y' eq A Y,
|
||||
$ <eq160>
|
||||
|
||||
где введены следующие обозначения:
|
||||
|
||||
$
|
||||
|
||||
Y eq vec(y_1, y_2, dots, y_n), space.quad A eq mat(a_11, dots, a_(1 n); dots.v, dots.down, dots.v; a_(n 1), dots, a_(n n)), space.quad Y' eq vec(y'_1, y'_2, dots.v, y'_n).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Матрица-столбец
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y eq var(y_1, y_2, dots.v, y_n)
|
||||
$
|
||||
|
||||
называется частным решением матричного уравнения @eq160 на интервале $(a, b)$, если ее подстановка в уравнение обращает его в тождество для любых $x in (a, b)$.
|
||||
|
||||
Система $n$ частных решений уравнения @eq160
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y_1 (x) eq vec(y_1^((1)) (x), y_2^((2)) (x), dots.v, y_n^((1)) (x)), dots dots, Y_n (x) eq vec(y_1^((n)) (x), y_2^((n)) (x), dots.v, y_n^((n)) (x))
|
||||
$
|
||||
|
||||
называется фундаментальной на интервале $(a, b)$, если функции $Y_1 (x), dots dots, Y_n (x)$ линейно независимы.
|
||||
|
||||
Линейная независимость решений $Y_1 (x), dots dots, Y_n (x)$ уравнения @eq160 эквивалентна тому, что определитель
|
||||
|
||||
$
|
||||
mat(
|
||||
y_1^((1)) (x), y_1^((2)) (x), dots, y_1^((n)) (x);
|
||||
y_2^((1)) (x), y_2^((2)) (x), dots, y_2^((n)) (x);
|
||||
dots, dots, dots, dots;
|
||||
y_n^((1)) (x), y_n^((2)) (x), dots, y_n^((n)) (x); delim: "|"
|
||||
) eq.not 0 forall x in (a, b)
|
||||
$ <eq162>
|
||||
|
||||
Без доказательства.
|
||||
|
||||
Заметим, что верхние индексы $(1), (2), dots dots, (n)$ -- это номер частного решения (а не порядок производной).
|
||||
|
||||
Общее решение матричного дифференциального уравнения @eq160 есть линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными коэффициентами $C_1, C_2, dots dots C_n$:
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y(x) eq C_1 Y_1 (x) + C_2 Y_2 (x) + dots dots + C_n Y_n (x).
|
||||
$ <eq163>
|
||||
|
||||
В обычной записи это дает решение системы @eq159:
|
||||
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
y_1 (x) eq C_1 y_1^((1)) (x) + C_2 y_1^((2)) (x) + dots dots + C_n y_1^((n)) (x),
|
||||
dots dots dots dots,
|
||||
y_n (x) eq C_1 y_n^((1)) (x) + C_2 y_n^((2)) (x) + dots dots + C_n y_n^((n)) (x),
|
||||
)
|
||||
$
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
Для того, чтобы проверить, что @eq163 есть общее решение, нужно убедиться в том, что для любых начальных условий $y_1 (x_0), y_2 (x_0), dots dots, y_n (x_0)$ можно найти значения $C_1, C_2, dots dots, C_n$ такие, что решение @eq163 будет им удовлетворять:
|
||||
|
||||
$
|
||||
cases(
|
||||
y_1 (x_0) eq C_1 y_1^((1)) (x_0) + dots dots + C_n y_1^((n)) (x_0),
|
||||
dots dots dots dots,
|
||||
y_n (x_0) eq C_1 y_n^((1)) (x_0) + dots dots + C_n y_n^((n)) (x_0).
|
||||
)
|
||||
$ <eq165>
|
||||
|
||||
Система @eq165 -- это неоднородная линейная система аогебраических уравнений относительно $C_1, C_2, dots dots, C_n$. Её определитель отличен от нуля при любом $x$ (формула @eq162), поэтому система @eq165 однозначно разрешима при любых $y_1 (x_0), dots dots, y_n (x_0)$, что и доказывает теорему.
|
||||
]
|
||||
|
||||
В соответствии с теоремой, для решения системы @eq159 нам требуется найти фундаментальную систему решений уравнения @eq160. Будем искать решения в следующем виде:
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y(x) eq vec(xi_1, xi_2, dots.v, xi_n) dot e^(lambda x), space.quad xi_i in RR
|
||||
$ <eq166>
|
||||
|
||||
Подставим @eq166 в @eq160:
|
||||
|
||||
$
|
||||
vec(xi_1, dots.v, xi_n) lambda e^(lambda x) eq A vec(xi_1, dots.v, xi_n) e^(lambda x).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Сокращая на $e^(lambda x)$, приходим к алгебраическому матричному уравнению:
|
||||
|
||||
$
|
||||
A X eq lambda X, space.quad "где " X eq vec(xi_1, dots.v, xi_n) \
|
||||
|
||||
arrow.double.l.r (A - I lambda) X eq OO.
|
||||
$ <eq168>
|
||||
|
||||
Мы получили задачу о собственных векторах и собственных значениях матрицы $A$. Условие существования нетривиального решения уравнения @eq168 таково:
|
||||
|
||||
$
|
||||
det (A - lambda I) eq 0.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Корни $lambda_i$ этого алгебраического уравнения $n$-ой степени -- это собственные значения матрицы $A$, а нетривиальные решения уравнения @eq168, соответствующие $lambda eq lambda_i$ -- это собственные векторы.
|
||||
|
||||
Подстановка собственного вектора и собственного значения в формулу @eq166 даст нам решение $Y(x)$ матричного уравнения @eq160 (или системы @eq159). Таким образом, линейно независимые собственные векторы матрицы $A$ дают нам вектор-функции из фундаментальной системы решений.
|
||||
|
||||
Для того, чтобы получить всю фундаментальную систему, требуется найти $n$ линейно независимых решений.
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[
|
||||
|
||||
1. $L(alpha f + beta g) eq alpha L f + beta L g$ -- линейность;
|
||||
|
||||
Доказательство очевидно в силу линейности интеграла.
|
||||
|
||||
2. $L(f(a t)) eq 1/a F(p/a), space.quad a gt 0$ -- теорема подобия;
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
$
|
||||
L(f(a t)) eq integral_0^infinity e^(- p t) f(a t) d t.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Замена: $s eq a t arrow.double d s eq a d t$.
|
||||
|
||||
$
|
||||
eq integral_0^infinity e^(-p/a s) f(s) 1/a d s eq 1/a F(p/a).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
3. $L(e^(a t) f(t)) eq F(p - a)$ -- теорема смещения;
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
$
|
||||
L(e^(a t) f(t)) eq integral_0^infinity e^(- p t) e^(a t) f(t) d t eq integral_0^infinity e^(-(p - a) t) f(t) d t eq F(p - a).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
4. $L(f(t - a)) eq e^(- a p) F(p), space.quad a gt 0$ -- теорема запаздывания;
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
$
|
||||
L(f(t - a)) eq integral_0^infinity e^(- p t) f(t - a) d t eq
|
||||
$
|
||||
|
||||
Замена: $s eq t - a arrow.double d s eq d t$.
|
||||
|
||||
$
|
||||
eq integral_(-a)^infinity e^(- p s) e^(- a p) f(s) d s eq
|
||||
$
|
||||
|
||||
$f(s) eq 0$ при $s lt 0$
|
||||
|
||||
$
|
||||
eq e^(- a p) integral_0^infinity e^(- p s) f(s) d s eq e^(- a p) F(p).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
5. $L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)$ -- теорема о дифференцировании изображения;
|
||||
|
||||
$L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)$;
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
Продифференцируем по параметру $p$ формулу @eq175 из определения преобразования Лапласа:
|
||||
|
||||
$
|
||||
F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t, \
|
||||
frac(d, d p) F(p) eq -integral_0^infinity e^(- p t) t f(t) d t eq -L (t f(t)).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Соответственно,
|
||||
|
||||
$
|
||||
frac(d^n, d p^n) F(p) eq (-1)^n integral_0^infinity e^(- p t) t^n f(t) d t eq (-1)^n L(t^n f(t)).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user