upd
This commit is contained in:
20924
exam/questions.pdf
20924
exam/questions.pdf
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -994,8 +994,21 @@ $ <eq175>
|
||||
Подстановка собственного вектора и собственного значения в формулу @eq166 даст нам решение $Y(x)$ матричного уравнения @eq160 (или системы @eq159). Таким образом, линейно независимые собственные векторы матрицы $A$ дают нам вектор-функции из фундаментальной системы решений.
|
||||
|
||||
Для того, чтобы получить всю фундаментальную систему, требуется найти $n$ линейно независимых решений.
|
||||
|
||||
При рассмотрении теории систем дифференциальных уравнений мы обозначали независимую переменную через $x$, а функции через $y_1, y_2, dots dots, y_n$ для того, чтобы продемонстрировать сходство с теорией отдельных дифференциальных уравнений. При решении задач мы будем использовать для независимой переменной более традиционное обозначение $t$, а для функций -- обозначения $x, y, z$ во избежание излишней индексации.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[
|
||||
|
||||
Если корень $lambda eq lambda_0$ имеет кратность $s$, то ему должны соответствовать $s$ линейно независимых решений. Одной функции $e^(lambda_0 t)$ будет недостаточно. В этом случае ищем решение в виде:
|
||||
|
||||
$
|
||||
Y_1 e^(lambda_0 t) + Y_2 t e^(lambda_0 t) + dots dots + Y_s t^(s - 1) e^(lambda_0 t).
|
||||
$ <eq173>
|
||||
|
||||
Для определения координат векторов $Y_1, Y_2, dots dots, Y_s$ подставляем @eq173 в исходную систему уравнений и в каждом из уравнений приравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях.
|
||||
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[
|
||||
|
||||
@@ -1045,9 +1058,21 @@ $ <eq175>
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
5. $L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)$ -- теорема о дифференцировании изображения;
|
||||
]
|
||||
|
||||
$L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)$;
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)
|
||||
$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
]
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
Продифференцируем по параметру $p$ формулу @eq175 из определения преобразования Лапласа:
|
||||
@@ -1063,11 +1088,79 @@ $ <eq175>
|
||||
frac(d^n, d p^n) F(p) eq (-1)^n integral_0^infinity e^(- p t) t^n f(t) d t eq (-1)^n L(t^n f(t)).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(f'(t)) eq p F(p) - f(0).
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(f^((n)) (t)) eq p^n F(p) - p^(n - 1) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
$
|
||||
L(f'(t)) eq integral_0^infinity f'(t) e^(- p t) d t eq.circle
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f(t), space.quad d v eq f'(t) d t
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
eq.circle f(t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t eq -f(0) + p F(p).
|
||||
$
|
||||
|
||||
Формула для $f^((n)) (t)$ доказывается по индукции.
|
||||
|
||||
База проверена $(n eq 1)$. Переход $n arrow n + 1$:
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(f^((n + 1)) (t)) eq integral_0^infinity f^((n + 1)) (t) e^(- p t) d t eq.o
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f^((n)) (t), space.quad d v eq f^((n + 1)) (t) d t
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
eq.o f^((n)) (t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f^((n)) (t) e^((- p t)) d t eq \
|
||||
eq -f^((n)) (0) + p(p^n F(p) - p^((n - 1)) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0)) eq \
|
||||
eq p^((n + 1)) F(p) - p^n f(0) - p^(n - 1) f'(0) - dots - f^((n)) (0).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(integral_0^t f(tau) d tau) eq frac(F(p), p).
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
#proof()[
|
||||
Введем функцию Хевисайда по следующему правилу:
|
||||
|
||||
$
|
||||
theta(t) eq cases(1", " t gt.eq 0, 0", " t lt 0)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
|
||||
$
|
||||
L(integral_0^t f(tau) d tau) eq L(integral_0^infinity underbrace(theta(1 - tau), eq 1 " при " 0 lt.eq tau lt.eq t) dot f(tau) d tau) eq L(theta * f) eq L(theta) L(f) eq 1/p F(p).
|
||||
$
|
||||
|
||||
|
||||
]
|
||||
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[
|
||||
|
||||
Преобразование Лапласа определено только для функций, обращающихся в ноль при $t lt 0$. Поэтому выписывая таблицу изображений, будем считать, что функции-оригиналы обращаются в ноль на отрицательной полуоси.
|
||||
]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
|
||||
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user