1506 lines
62 KiB
Typst
1506 lines
62 KiB
Typst
#import "@preview/scripst:1.1.1": *
|
||
#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex, colspanx, rowspanx
|
||
|
||
#show: scripst.with(
|
||
template: "article",
|
||
title: [Дифференциальные уравнения],
|
||
// info: [],
|
||
author: "Дощенников Никита",
|
||
// author: ("AnZrew", "AnZrew"),
|
||
time: datetime.today().display(),
|
||
contents: true,
|
||
content-depth: 3,
|
||
matheq-depth: 2,
|
||
lang: "ru",
|
||
)
|
||
|
||
/*
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[
|
||
|
||
No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
|
||
$
|
||
a^n + b^n = c^n
|
||
$
|
||
for any integer value of $n$ greater than 2.
|
||
]
|
||
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
|
||
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
|
||
|
||
*/
|
||
|
||
#align(center)[= Определения]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
|
||
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
F(x, y, y') eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
|
||
|
||
Функция $phi$ - решение уравнения, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^1 (a, b); \
|
||
F(x, phi(x), phi'(x)) eq.triple 0 " на " (a, b)
|
||
$
|
||
|
||
Другими словами, решением уравнения называют гладкую функцию $phi$, определённую на интервале $(a, b)$, подстановка которой вместо $y$ обращает уравнение в тождество на $(a, b)$.
|
||
|
||
Общим решением уравнения называют множество всех его решений.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
|
||
|
||
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
|
||
|
||
$
|
||
y' eq f(x, y)
|
||
$
|
||
|
||
называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальному условию
|
||
|
||
$
|
||
y(x_0) eq y_0.
|
||
$
|
||
|
||
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
|
||
|
||
Уравнение в дифференциалах вида
|
||
|
||
$
|
||
P(x) d x plus Q(y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением с разделёнными переменными.
|
||
|
||
Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
p_1 (x) q_1 (y) d x plus p_2 (x) q_2 (y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Если уравнение $Phi(x, y, y') eq 0$ с помощью алгебраических преобразований удается привести к виду
|
||
|
||
$
|
||
y' eq g(x) dot h(y)
|
||
$
|
||
|
||
или
|
||
|
||
$
|
||
M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
|
||
|
||
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
|
||
|
||
$
|
||
F(t x, t y) eq t^alpha F(x, y).
|
||
$
|
||
|
||
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
|
||
|
||
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется однородным уравнением.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду:
|
||
|
||
$
|
||
y' eq f(y/x)
|
||
$ <eq_homo>
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(x) y plus q(x),
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным уравнением первого порядка.
|
||
|
||
Название линейное мотивировано тем, что оно составлено из многочленов первой степени по отношению к символам $y$ и $y'$.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' plus p(x) y eq q(x),
|
||
$
|
||
|
||
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
|
||
|
||
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
|
||
$
|
||
|
||
где $alpha in RR without {0, 1}$.
|
||
|
||
Разделив данное уравнение на $y^alpha$, находим
|
||
|
||
$
|
||
frac(y', y^alpha) eq p(x) y^(1 minus alpha) plus q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда видно, что замена $z eq y^(1 minus alpha)$ сводит уравнение к линейному.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
|
||
|
||
Уравнение
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция $u$, что
|
||
|
||
$
|
||
d u eq P(x, y) d x plus Q(x, y) d y,
|
||
$
|
||
|
||
то есть $u'_x eq P, u'_y eq Q$.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
M(x, y) d x plus N(x, y) d x eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $u(x, y)$:
|
||
|
||
$
|
||
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
|
||
$
|
||
|
||
Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
|
||
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, y, y') eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, то есть если через каждую его точку ($x_0, y_0$) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ($x_0, y_0$) ту же касательную, что и решение $y eq phi(x)$, но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности ($x_0, y_0$). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Решение $phi$ на $(a, b)$ уравнения $y' eq f(x, y)$ называется особым, если для любой точки $x_0 in (a, b)$ найдется решение $psi$ того же уравнения, такое что
|
||
|
||
$
|
||
phi(x_0) eq psi(x_0)
|
||
$
|
||
|
||
при этом $phi eq.triple psi$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$.
|
||
|
||
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
F(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Функция $phi$ -- решение уравнения на $(a, b)$, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^n (a, b); \
|
||
F(x, phi(x), phi'(x), dots, phi^((n))(x)) eq.triple 0 " на " (a, b).
|
||
$
|
||
|
||
Каноническим уравнением будем называть уравнение
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) eq f(x, y, y', dots, y^((n minus 1))),
|
||
$
|
||
|
||
разрешённое относительно старшей производной.
|
||
|
||
Задачей Коши для канонического уравнения называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальным условиям
|
||
|
||
$
|
||
y(x_0) eq y_0, y'(x_0) eq y'_0, dots, y^((n minus 1)) (x_0) eq y_0^((n minus 1)).
|
||
$
|
||
|
||
Набор чисел $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n minus 1)) )$ при этом называют начальными данными.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
или в решенном относительно старшей производной $y^((n))$, вид
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n minus 1))).
|
||
$
|
||
|
||
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
|
||
|
||
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
|
||
$
|
||
|
||
где $p_0, p_1, dots, p_(n minus 1), q in C(a, b)$.
|
||
|
||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то уравнение, то есть
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
называется однородным, в противном случае -- неоднородным.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным однородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq f(x)
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
|
||
|
||
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
|
||
|
||
$
|
||
W (t) colon.eq mat(
|
||
y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
|
||
dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
|
||
dots, dots, dots, dots;
|
||
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
|
||
|
||
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
|
||
|
||
Многочлен
|
||
|
||
$
|
||
p(lambda) colon.eq lambda^n plus a_(n minus 1) lambda^(n minus 1) plus dots plus a_1 lambda plus a_0
|
||
$
|
||
|
||
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
|
||
|
||
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
|
||
|
||
$
|
||
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
|
||
dots,
|
||
frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
|
||
$
|
||
|
||
Решением системы называется совокупность $n$ функций
|
||
|
||
$
|
||
y_i eq psi_i (x), space i eq 1, 2, dots, n
|
||
$
|
||
|
||
таких, что при подстановке их в уравнения системы эти уравнения обращаются в тождества относительно $x$. При этом функции $psi_i (x)$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида
|
||
|
||
$
|
||
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
|
||
dots,
|
||
dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
|
||
$
|
||
|
||
Если ввести в рассмотрение векторы
|
||
|
||
$
|
||
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
|
||
$
|
||
|
||
то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq f(t, r).
|
||
$
|
||
|
||
Вектор-функция $phi$ - решение системы на $(a, b)$, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
|
||
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
|
||
|
||
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
|
||
$
|
||
|
||
где $P in M_n (C(a, b)), space q in C((a, b) arrow RR^n)$.
|
||
|
||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq P(t) r,
|
||
$
|
||
|
||
называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[
|
||
|
||
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
|
||
|
||
- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
|
||
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
|
||
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:
|
||
|
||
$
|
||
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
|
||
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
|
||
|
||
$
|
||
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
|
||
$ <eq175>
|
||
|
||
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[= Теоремы]
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
|
||
|
||
Уравнение $y' eq f(x)$ имеет бесконечно много решений, поскольку в формулу $y eq integral f(x) d x + C$ входит произвольная постоянная $C$.
|
||
|
||
Для того, чтобы получить единственное решение уравнения $y' eq f(x)$, подставим в начальное условие, то есть потребуем, чтобы функция $y$ принимала заданное значение $y_0$ при $x eq x_0$:
|
||
|
||
$
|
||
y |_(x eq x_0) eq y_0
|
||
$ <eq7>
|
||
|
||
Действительно, пусть функция $f(x)$ непрерывна на некотором интервале $(a, b)$ и точка $x_0 in (a, b)$. Заменяя в формуле $y eq integral f(x) d x + C$ неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом $x$ и нижним пределом $x_0$, получим:
|
||
|
||
$
|
||
y eq integral_(x_0)^x f(t) d t + C.
|
||
$
|
||
|
||
Удовлетворим начальному условию. При $x eq x_0$ интеграл обращается в нуль и мы получим:
|
||
|
||
$
|
||
C eq y_0.
|
||
$
|
||
|
||
Таким образом, уравнение $y' eq f(x)$ при начальном условии @eq7 имеет единственное решение:
|
||
|
||
$
|
||
y eq integral_(x_0)^x f(t) d t + y_0.
|
||
$
|
||
|
||
Отметим, что это решение единственно на всем интервале $(a, b)$.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[
|
||
|
||
Сведем уравнение @eq_homo к уравнению с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
Для этого сделаем замену:
|
||
|
||
$
|
||
y/x eq u arrow.double.l.r y eq u x.
|
||
$
|
||
|
||
Следовательно,
|
||
|
||
$
|
||
y' eq u' dot x + u, space.quad d y eq u d x + x d u.
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq_homo:
|
||
|
||
$
|
||
u' dot x + u eq f(u) arrow.double.l.r u' dot x eq f(u) - u arrow.double.l.r frac(d u, d x) dot x eq f(u) - u arrow.double.l.r \
|
||
arrow.double.l.r frac(d u, f(u) - u) eq frac(d x, x) arrow.double.l.r integral frac(d u, f(u) - u) eq ln |x| + ln C_1 arrow.double.l.r x eq e^(integral frac(d u, f(u) - u)).
|
||
$
|
||
|
||
Как определить, что уравнение однородное?
|
||
|
||
С помощью метода размерностей.
|
||
|
||
Припишем функции $y$, переменной $x$ и их дифференциалам некоторые размерности. Например, метры:
|
||
|
||
$
|
||
x tilde "м", space.quad y tilde "м", space.quad d x tilde "м", space.quad d y tilde "м".
|
||
$
|
||
|
||
Производная $y' eq frac(d y, d x) tilde 1$ -- безразмерная величина.
|
||
|
||
Для трансцендентных функций (то есть функций, не являющихся алгебраическими: $sin x, cos x, tg x, ctg x, e^x, a^x, ln x, arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x$) в качестве аргумента должна стоять безразмерная величина: $e^(y/x), tg (y/x)$ и так далее.
|
||
|
||
Уравнение будет однородным, если в нем складываются величины одной размерности.
|
||
|
||
Например:
|
||
|
||
$
|
||
(x^2 + x y) y' eq x sqrt(x^2 - y^2) + x y + y^2, \
|
||
("м"^2 + "м" dot "м") dot 1 eq "м" dot sqrt("м"^2 - "м"^2) + "м" dot "м" + "м"^2.
|
||
$
|
||
|
||
Следовательно, уравнение однородное.
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[
|
||
|
||
Рассмотрим сначала соответствующе однородное уравнение при $q(x) eq 0$:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y)' + p(x) tilde(y) eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Переменные здесь разделяются:
|
||
|
||
$
|
||
frac(d tilde(y), d x) + p(x) tilde(y) eq 0 space.quad | dot frac(d x, tilde(y)) arrow.l " здесь мы предполагаем, что " tilde(y) eq.not 0.
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
arrow.double.l.r frac(d tilde(y), tilde(y)) + p(x) d x eq 0 arrow.double.l.r ln |tilde(y)| eq -integral p(x) d x arrow.double.l.r tilde(y) eq C dot e^(- integral p(x) d x).
|
||
$ <eq30>
|
||
|
||
Здесь на постоянную $C$ мы не накладываем никаких ограничений. Делается это для того, чтобы решение $tilde(y) eq 0$ вошло в ответ (@eq30). Заменим неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y) eq C dot e^(- integral_(x_0)^x p(t) d x) .
|
||
$
|
||
|
||
Если есть начальное условие:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y) |_(x eq x_0) eq y_0,
|
||
$
|
||
|
||
то $C eq y_0$. Для интегрирования уравнения $y' + p(x) y eq q(x)$ воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.
|
||
|
||
Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:
|
||
|
||
$
|
||
y eq u dot e^(- integral p(x) d x),
|
||
$ <eq33>
|
||
|
||
считая $u$ не постоянной, а некоторой функцией от $x$. Дифференцируя, находим
|
||
|
||
$
|
||
y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).
|
||
$
|
||
|
||
Подставив $y'$ в уравнение $y' + p(x) y eq q(x)$, получим:
|
||
|
||
$
|
||
u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (- p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) arrow.double.l.r \
|
||
arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) arrow.double.l.r d u eq q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r \
|
||
arrow.double.l.r u eq integral q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x + C.
|
||
$
|
||
|
||
Подставляя $u$ в формулу @eq33, получим:
|
||
|
||
$
|
||
y eq e^(- integral p(x) d x) dot (integral q(x) dot e^(integral p(x) d x) dot d x + C).
|
||
$
|
||
|
||
Заменим неопределенные интегралы на интегралы с переменными верхним пределом:
|
||
|
||
$
|
||
y(x) eq e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u) dot (integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v + C).
|
||
$ <eq37>
|
||
|
||
Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами $u$ и $v$, отличными от буквы $x$.
|
||
|
||
Если задано начальное условие: $y |_(x eq x_0) eq y_0$, то $C eq y_0$ и формула @eq37 принимает вид:
|
||
|
||
$
|
||
y(x) eq e^(- integral_(x_0)^x p(u) d u) dot (integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v + y_0).
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y(x) eq underbrace(y_0 dot e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u), tilde(y)) + underbrace(e^(-integral_(x_0)^x p(u) d u) dot integral_(x_0)^x q(v) dot e^(integral_(x_0)^v p(u) d u) dot d v, Y),
|
||
$
|
||
|
||
то есть $y eq tilde(y) + Y$.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
|
||
|
||
Рассмотрим уравнение второго порядка:
|
||
|
||
$
|
||
y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
|
||
$ <eq119>
|
||
|
||
Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
|
||
$ <eq120>
|
||
|
||
где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
|
||
|
||
Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
|
||
$ <eq121>
|
||
|
||
Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.
|
||
|
||
Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
|
||
|
||
Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.
|
||
|
||
$
|
||
Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
|
||
$
|
||
|
||
Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение:
|
||
|
||
$
|
||
u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
|
||
$ <eq122>
|
||
|
||
Тогда $Y'$ примет вид:
|
||
|
||
$
|
||
Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
|
||
$
|
||
|
||
Соответственно,
|
||
|
||
$
|
||
Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:
|
||
|
||
$
|
||
u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 - "решение ЛОДУ")) + u_2 underbrace(y''_2 + a_1 y'_2 + a_2 y_2, eq 0 (y_2 - "решение ЛОДУ")) + u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
|
||
$
|
||
|
||
Учитывая введенные ранее ограничения @eq122, получаем систему уравнений для функций $u'_1, u'_2$:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u'_1 y_1 + u'_2 y_2 eq 0,
|
||
u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
|
||
)
|
||
$ <eq124>
|
||
|
||
Определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке в силу линейной независимости решений $y_1, y_2$.
|
||
|
||
Следовательно, система @eq124 разрешима единственным образом и при любой правой части. Пусть её решения имеют вид:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u'_1 eq phi_1 (x),
|
||
u'_2 eq phi_2 (x).
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда функции $u_1 (x), u_2 (x)$ находятся интегрированием:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u_1 eq integral phi_1 (x) space d x,
|
||
u_2 eq integral phi_2 (x) space d x.
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
2) Рассмотрим уравнение $n$-го порядка:
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) + a_1 (x) y^((n - 1)) + dots + a_n (x) y eq f(x).
|
||
$
|
||
|
||
Здесь все построения аналогичны.
|
||
|
||
Решение ЛОДУ имеет вид:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2 + dots + C_n y_n.
|
||
$
|
||
|
||
Частное решение ЛНДУ ищем в виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y eq u_1 (x) y_1 (x) + u_2 (x) y_2 (x) + dots + u_n (x) y_n (x).
|
||
$
|
||
|
||
Следуя описанной процедуре, получаем следующую систему уравнений для функций $u'_1, u'_2, dots, u'_n$:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u'_1 y_1 + u'_2 y_2 + dots + u'_n y_n eq 0,
|
||
u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 + dots + u'_n y'_n eq 0,
|
||
dots dots dots,
|
||
u'_1 y_1^((n - 1)) + u'_2 y_2^((n - 1)) + dots + u'_n y_n^((n - 1)) eq f(x).
|
||
)
|
||
$ <eq131>
|
||
|
||
Определитель этой системы -- это определитель Вронского:
|
||
|
||
$
|
||
mat(
|
||
y_1, y_2, dots, y_n;
|
||
y'_1, y'_2, dots, y'_n;
|
||
dots, dots, dots, dots;
|
||
y_1^((n - 1)), y_2^((n - 1)), dots, y_n^((n - 1));
|
||
delim: "|"
|
||
) eq.not 0 " ни в одной точке".
|
||
$
|
||
|
||
Следовательно, система @eq131 разрешима единственным образом и при любой правой части. Решая её, находим $u'_1, u'_2, dots, u'_n$. Функции $u_1 (x), u_2 (x), dots, u_n (x)$ находятся интегрированием.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[
|
||
|
||
Напомним, что уравнением Бернулли называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' + p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где " a = "conts", space a eq.not 0, space a eq.not 1.
|
||
$ <eq40>
|
||
|
||
Его решение можно получить двумя способами.
|
||
|
||
*I*. Сведение к линейному уравнению.
|
||
|
||
Разделим обе части уравнения @eq40 на $y^a$:
|
||
|
||
$
|
||
frac(y', y^a) + p(x) y^(1 - a) eq q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Сделаем замену: $z eq y^(1 - a)$.
|
||
|
||
Соответственно,
|
||
|
||
$
|
||
z' eq (1 - a) dot y^(-a) dot y' arrow.double.l.r frac(y', y^a) eq frac(z', 1 - a) .
|
||
$
|
||
|
||
Подстановим $z$ и $z'$ в исходное уравнение:
|
||
|
||
$
|
||
frac(1, 1 - a) z' + p(x) z eq q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Мы получили линейное уравнение.
|
||
|
||
*II*. (сведение к уравнению с разделяющимися переменными)
|
||
|
||
Сделаем замену переменной как в линейном уравнении:
|
||
|
||
$
|
||
y eq u dot e^(- integral p(x) d x).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq40:
|
||
$
|
||
u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p (x) d x) dot (-p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq \
|
||
eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r d u eq q(x) u^a dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r frac(d u, u^a) eq q(x) dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x.
|
||
$
|
||
|
||
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[
|
||
Если $M d x + N d y$ представляет собой полный дифференциал, то восстановить функцию $u(x, y)$ с точностью до константы по её известному полному дифференциалу
|
||
|
||
$
|
||
d u eq M(x, y) d x + N(x, y) d y
|
||
$ <eq47>
|
||
|
||
можно с помощью криволинейного интеграла. А именно зафиксируем некоторую точку $(x_0, y_0)$. Тогда криволинейный интеграл
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq integral_L (M(x, y) d x + N(x, y) d y)
|
||
$ <eq48>
|
||
|
||
по произвольной кривой от точки $(x_0, y_0)$ до текущей точки $(x, y)$ даст значение функции $u(x, y)$, дифференциал которой имеет вид @eq47. Изменение начальной точки $(x_0, y_0)$ приводит к добавлению постоянной (функция $u(x, y)$ находится с точностью до константы).
|
||
|
||
Формула @eq48 принимает более удобный вид, если кривую $L$ выбрать в виде ломаной, показанной на @img7.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/7.png"),
|
||
caption: [Кривая интегрирования $L$.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
) <img7>
|
||
]
|
||
|
||
При таком выборе $L$ имеем:
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq integral_(x_0)^x M(x, y_0) d x + integral_(y_0)^y N(x, y) d y.
|
||
$
|
||
|
||
Соответственно, решение уравнения:
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq C.
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[
|
||
Напомним вид интегрирующего множителя:
|
||
|
||
$
|
||
d u eq mu M d x + mu N d y.
|
||
$
|
||
|
||
Напишем условие того, что $d u$ является полным дифференциалом:
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial, partial y) (mu M) eq frac(partial, partial x) (mu N) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r frac(partial mu, partial y) dot M + mu dot frac(partial M, partial y) eq frac(partial mu, partial x) dot N + mu dot frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r N frac(partial mu, partial x) - M frac(partial mu, partial y) eq (frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x)) mu arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r N dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y)) - M dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y), frac(partial ln mu, partial y)) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r N dot frac(partial ln mu, partial x) - M dot frac(partial ln mu, partial y) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x).
|
||
$ <eq52>
|
||
|
||
Таким образом, для нахождения инегрирующего множителя мы получим уравнение в частных производных. Иногда удается найти его решение. Если $mu eq mu(x)$, то $frac(partial mu, partial y) eq 0$ и уравнение @eq52 примет вид:
|
||
|
||
$
|
||
frac(d ln mu, d x) eq frac(frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x), N).
|
||
$
|
||
|
||
Если правая часть уравнения не зависит от $y$, то $ln mu$ находится интегрированием.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[
|
||
Пусть функция $f(x, y, y', dots, y^((n - 1)))$ однозначна, непрерывна и имеет непрерывные частные производные по $y, y', dots, y^((n - 1))$ при значениях аргументов $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n - 1)))$ и всех значениях, достаточно близких к ним. Тогда уравнение $y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n - 1)))$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям $cases(
|
||
y|_(x eq x_0) eq y_0, y'|_(x eq x_0) eq y'_0, dots, y^((n - 1)) |_(x eq x_0) eq y_0^((n - 1)).
|
||
)$
|
||
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[
|
||
|
||
1. Уравнения вида $y^((n)) eq f(x)$.
|
||
|
||
Уравнение $y^((n)) eq f(x)$ решается с помощью $n$-кратного интегрирования.
|
||
|
||
2. Уравнения вида $Phi (x, y^((k)), y^((k + 1)), dots, y^((n)) eq 0$.
|
||
|
||
Здесь уравнение не содержит функции $y$ и её нескольких последовательных производных $y', y'', dots, y^((k - 1))$.
|
||
|
||
Сделаем замену:
|
||
|
||
$
|
||
z(x) eq y^((k)).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда порядок уравнения понизится на $k$ единиц:
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, z, z', dots, z^((n - k))) eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Если мы найдем общий интеграл этого последнего уравнения
|
||
|
||
$
|
||
z eq phi(x, C_1, C_2, dots, C_(n - k)),
|
||
$
|
||
|
||
то $y$ определится из уравнения:
|
||
|
||
$
|
||
y^((k)) eq phi(x, C_1, C_2, dots, C_(n - k)).
|
||
$
|
||
|
||
3. Уравнения вида $Phi(y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0$.
|
||
|
||
Здесь уравнение не содержит независимой переменной $x$.
|
||
|
||
Примем $y$ за независимую переменную и сделаем замену:
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(y).
|
||
$
|
||
|
||
Этим мы понизим порядок уравнения на 1. В ответе получим функцию $x eq x(y)$. Найдем, как преобразуются старшие производные при такой замене.
|
||
|
||
$
|
||
y'' eq frac(d, d x) (underbrace(frac(d y, d x), p)) eq frac(d, d x) (p(y)) eq frac(d p, d y) dot underbrace(frac(d y, d x), p) eq p dot frac(d p, d y).
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y''' eq frac(d, d x) (y'') eq frac(d, d x) (p(y) dot frac(d p, d y)) eq frac(d p, d x) dot frac(d p, d y) + p(y) dot frac(d, d x) (frac(d p, d y)) eq \
|
||
eq p dot (frac(d p, d y))^2 + p^2 dot frac(d^2 p, d y^2).
|
||
$
|
||
|
||
4. Уравнения вида $frac(d, d x) Phi(x, y, y', dots, y^((n - 1))) eq 0$.
|
||
|
||
Здесь левая часть уравнения представляет собой полную производную по $x$. Проинтегрировав уравнение, мы понизим его порядок на 1.
|
||
|
||
5. Уравнения вида $Phi(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0$, где $Phi$ -- однородная функция относительно $y, y', dots, y^((n))$.
|
||
|
||
$Phi(x, y, y', dots, y^((n)))$ называется однородной функцией $k$-го порядка относительно переменных $y, y', dots, y^((n))$, если она удовлетворяет следующему свойству:
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, t y, t y', dots, t y^((n))) eq t^k dot Phi(x, y, y', dots, y^((n))).
|
||
$
|
||
|
||
При $y eq.not 0$ сделаем замену переменных:
|
||
|
||
$
|
||
z eq frac(y', y).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда производные преобразуются по следующему правилу:
|
||
|
||
$
|
||
y' eq z y, \
|
||
y'' eq z' y + z y' eq z' y + z^2 y.
|
||
$
|
||
|
||
И так далее. Таким образом, порядок уравнения понизится на 1. Функцию $y eq 0$ следует рассмотреть отдельно.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[
|
||
|
||
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[
|
||
|
||
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[
|
||
|
||
Докажите, что если $phi_1$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t)$, $phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_2 (t)$, то $phi_1 + phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t) + q_2 (t)$.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[
|
||
|
||
Таким образом, если все корни характеристического уравнения кратности $n$ вещественны, то фундаментальная система решений состоит из следующих функций:
|
||
|
||
$
|
||
e^(lambda_1 x), e^(lambda_2 x), dots, e^(lambda_n x).
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[
|
||
|
||
Если среди корней есть кратные, то для каждого из них нужно найти столько линейно независимых решений, какова его кратность. Рассмотрим эту ситуацию для уравнения второго порядка:
|
||
|
||
$
|
||
y'' + a_1 y' + a_2 y eq 0.
|
||
$ <eq94>
|
||
|
||
Напишем характеристическое уравнение:
|
||
|
||
$
|
||
lambda^2 + a_1 lambda + a_2 eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Пусть $lambda_1$ -- корень второй кратности характеристического уравнения. Тогда дискриминант уравнения равен нулю: $D eq a_1^2 - 4 a_2 eq 0$. Следовательно,
|
||
|
||
$
|
||
lambda_1 eq -frac(a_1, 2).
|
||
$ <eq96>
|
||
|
||
Одно из решений уравнения @eq94 -- это $e^(lambda_1 x)$. Найдем второе решение, линейно независимое с ним. Будем искать его в виде:
|
||
|
||
$
|
||
y_2 eq u(x) dot e^(lambda_1 x).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда:
|
||
|
||
$
|
||
y'_2 eq e^(lambda_1 x) (u' + lambda_1 u),
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
y''_2 eq e^(lambda_1 x) (u'' + 2 lambda_1 u' + lambda_1^2 u).
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $y_2, y_2', y_2''$ в исходное уравнение @eq94:
|
||
|
||
$
|
||
e^(lambda_1 x) (u'' + 2 lambda_1 u' + lambda_1^2 u) + a_1 e^(lambda_1 x) (u' + lambda_1 u) + a_2 u e^(lambda_1 x) eq 0 \
|
||
arrow.double.l.r e^(lambda_1 x) (u'' + underbrace((2 lambda_1 + a_1), eq 0 (" в силу " lambda_1 eq -frac(a_1, 2) ))) u' + underbrace((lambda_1^2 + a_1 lambda_1 + a_2), eq 0 ("в силу" lambda^2 + a_1 lambda + a_2 eq 0) u') eq 0 arrow.double.l.r \
|
||
arrow.double.l.r u'' eq 0 arrow.double.l.r u eq C_1 x + C_2.
|
||
$
|
||
|
||
Выберем функцию $u$ следующим образом: $u eq x$. Тогда:
|
||
|
||
$
|
||
y_2 eq x dot e^(lambda_1 x).
|
||
$
|
||
|
||
Проверим, что решения $y_1$ и $y_2$ будут линейно независимы:
|
||
|
||
$
|
||
W(y_1, y_2) eq mat(y_1, y_2; y'_1, y'_2; delim: "|") eq mat(e^(lambda_1 x), x e^(lambda_1 x); lambda_1 e^(lambda_1 x), e^(lambda_1 x) + lambda_1 x e^(lambda_1 x)) eq e^(2 lambda_1 x) eq.not 0.
|
||
$
|
||
|
||
Таким образом фундаментальная система решений для уравнения @eq94 имеет вид:
|
||
|
||
$
|
||
e^(lambda_1 x), x e^(lambda_1 x).
|
||
$
|
||
|
||
...
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[
|
||
|
||
Метод неопределенных коэффициентов работает только для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью $f(x)$ специального вида.
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) + a_1 y^((n - 1)) + dots + a_n y eq f(x),
|
||
$
|
||
|
||
где $a_1, a_2, dots, a_n$ -- некоторые постоянные.
|
||
|
||
В некоторых случаях решение дифференциального уравнения удается подобрать. Составим таблицу видов частных решений для различных видов правых частей $f(x)$.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
tablex(columns: 3, align: horizon, [Правая часть дифференциального уравнения], [Корни характеристического уравнения], [Виды частного решения], rowspanx(2)[$P_m (x)$], [1) Число 0 не является корнем характеристического уравнения], [$tilde(P)_m (x)$], (), [2) Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s tilde(P)_m (x)$], rowspanx(2)[$P_m (x) e^(alpha x)$], [1) Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения], [$tilde(P)_m (x) e^(alpha x)$], (), [2) Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s tilde(P)_m (x) e^(alpha x)$], rowspanx(2)[$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$], [1) Числа $plus.minus$ i beta не являются корнями характеристического уравнения], [$tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x$], (), [2) Числа $plus.minus beta i$ являются корнями характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s (tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x)$], rowspanx(2)[$e^(alpha x) (P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x)$], [1) Числа $alpha plus.minus i beta$ не являются корнями характеристического уравнения], [$(tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x) e^(alpha x)$], (), [2) Числа $alpha plus.minus beta$ являются корнями характеристического уравнения кратности $s$], [$x^s (tilde(P)_k (x) cos beta x + tilde(Q)_k (x) sin beta x) e^(alpha x)$]),
|
||
caption: [Таблица видов частных решений для различных видов правых частей],
|
||
supplement: [Табл.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
$k$ -- наибольшая из степеней $m$ и $n$.
|
||
$tilde(P)_m (x)$ -- это полином степени $m$ с неопределенными коэффициентами.
|
||
|
||
Если правая часть уравнения $f(x)$ есть сумма двух правых частей специального вида: $f(x) eq f_1 (x) + f_2 (x)$, то частное решение следует искать в виде суммы двух решений: $Y_1 + Y_2$, где $Y_1$ отвечает правой части $f_1$, а $Y_2$ отвечает правой части $f_2$.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[
|
||
|
||
Метод исключения аналогичен соответствующему алгебраическому методу.
|
||
|
||
Если одно из уравнений системы позволяет выразить одну из неизвестных функций через другие, то сделаем это и подставим данное выражение в остальные уравнения. Мы получим систему из $(n - 1)$-го уравнения с $(n - 1)$-ой неизвестной функцией. Однако, порядок уравнений возрастет. Повторяем эту процедуру до тех пор, пока не придем к одному уравнению $n$-го порядка. Решаем это уравнение и через его решение выражаем остальные искомые функции.
|
||
|
||
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
frac(d y_1, d x) eq a y_1 + b y_2 + f(x),
|
||
frac(d y_2, d x) eq c y_1 + d y_2 + g(x).
|
||
)
|
||
$ <eq154>
|
||
|
||
Здесь $a, b, c, d$ -- постоянные коэффициенты, а $f(x)$ и $g(x)$ -- заданные функции. $y_1 (x)$ и $y_2 (x)$ -- искомые функции.
|
||
|
||
Выразим $y_2$ из первого уравнения системы @eq154:
|
||
|
||
$
|
||
y_2 eq 1/b dot (frac(d y_1, d x - a y_1 - f(x))).
|
||
$ <eq155>
|
||
|
||
Подставим во второе уравнение системы @eq154 вместо $y_2$ правую часть @eq155, получаем уравнение второго порядка относительно $y_1 (x)$:
|
||
|
||
$
|
||
A frac(d^2 y_1, d x^2) + B frac(d y_1, d x) + C y_1 + P(x) eq 0,
|
||
$ <eq156>
|
||
|
||
где $A, B, C$ -- некоторые постоянные.
|
||
|
||
Решая уравнение @eq156, находим $y_1 eq y_1 (x)$. Подставим найденное выражение для $y_1$ и $frac(d y_1, d y)$ в @eq155, найдем $y_2$.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[
|
||
|
||
Матричный метод применим только для линейных однородных систем уравнений с постоянными коэффициентами:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
y'_1 eq a_11 y_1 + a_12 y_2 + dots + a_(1 n) y_n,
|
||
y'_2 eq a_21 y_1 + a_22 y_2 + dots + a_(2 n) y_n,
|
||
dots dots dots dots,
|
||
y'_n eq a_(n 1) y_1 + a_(n 2) y_2 + dots a_(n n) y_n.
|
||
)
|
||
$ <eq159>
|
||
|
||
где $a_(i j)$ -- некоторые постоянные коэффициенты.
|
||
|
||
Система уравнений @eq159 может быть записана в матричном виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y' eq A Y,
|
||
$ <eq160>
|
||
|
||
где введены следующие обозначения:
|
||
|
||
$
|
||
|
||
Y eq vec(y_1, y_2, dots, y_n), space.quad A eq mat(a_11, dots, a_(1 n); dots.v, dots.down, dots.v; a_(n 1), dots, a_(n n)), space.quad Y' eq vec(y'_1, y'_2, dots.v, y'_n).
|
||
$
|
||
|
||
Матрица-столбец
|
||
|
||
$
|
||
Y eq var(y_1, y_2, dots.v, y_n)
|
||
$
|
||
|
||
называется частным решением матричного уравнения @eq160 на интервале $(a, b)$, если ее подстановка в уравнение обращает его в тождество для любых $x in (a, b)$.
|
||
|
||
Система $n$ частных решений уравнения @eq160
|
||
|
||
$
|
||
Y_1 (x) eq vec(y_1^((1)) (x), y_2^((2)) (x), dots.v, y_n^((1)) (x)), dots dots, Y_n (x) eq vec(y_1^((n)) (x), y_2^((n)) (x), dots.v, y_n^((n)) (x))
|
||
$
|
||
|
||
называется фундаментальной на интервале $(a, b)$, если функции $Y_1 (x), dots dots, Y_n (x)$ линейно независимы.
|
||
|
||
Линейная независимость решений $Y_1 (x), dots dots, Y_n (x)$ уравнения @eq160 эквивалентна тому, что определитель
|
||
|
||
$
|
||
mat(
|
||
y_1^((1)) (x), y_1^((2)) (x), dots, y_1^((n)) (x);
|
||
y_2^((1)) (x), y_2^((2)) (x), dots, y_2^((n)) (x);
|
||
dots, dots, dots, dots;
|
||
y_n^((1)) (x), y_n^((2)) (x), dots, y_n^((n)) (x); delim: "|"
|
||
) eq.not 0 forall x in (a, b)
|
||
$ <eq162>
|
||
|
||
Без доказательства.
|
||
|
||
Заметим, что верхние индексы $(1), (2), dots dots, (n)$ -- это номер частного решения (а не порядок производной).
|
||
|
||
Общее решение матричного дифференциального уравнения @eq160 есть линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными коэффициентами $C_1, C_2, dots dots C_n$:
|
||
|
||
$
|
||
Y(x) eq C_1 Y_1 (x) + C_2 Y_2 (x) + dots dots + C_n Y_n (x).
|
||
$ <eq163>
|
||
|
||
В обычной записи это дает решение системы @eq159:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
y_1 (x) eq C_1 y_1^((1)) (x) + C_2 y_1^((2)) (x) + dots dots + C_n y_1^((n)) (x),
|
||
dots dots dots dots,
|
||
y_n (x) eq C_1 y_n^((1)) (x) + C_2 y_n^((2)) (x) + dots dots + C_n y_n^((n)) (x),
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
#proof()[
|
||
Для того, чтобы проверить, что @eq163 есть общее решение, нужно убедиться в том, что для любых начальных условий $y_1 (x_0), y_2 (x_0), dots dots, y_n (x_0)$ можно найти значения $C_1, C_2, dots dots, C_n$ такие, что решение @eq163 будет им удовлетворять:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
y_1 (x_0) eq C_1 y_1^((1)) (x_0) + dots dots + C_n y_1^((n)) (x_0),
|
||
dots dots dots dots,
|
||
y_n (x_0) eq C_1 y_n^((1)) (x_0) + dots dots + C_n y_n^((n)) (x_0).
|
||
)
|
||
$ <eq165>
|
||
|
||
Система @eq165 -- это неоднородная линейная система аогебраических уравнений относительно $C_1, C_2, dots dots, C_n$. Её определитель отличен от нуля при любом $x$ (формула @eq162), поэтому система @eq165 однозначно разрешима при любых $y_1 (x_0), dots dots, y_n (x_0)$, что и доказывает теорему.
|
||
]
|
||
|
||
В соответствии с теоремой, для решения системы @eq159 нам требуется найти фундаментальную систему решений уравнения @eq160. Будем искать решения в следующем виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y(x) eq vec(xi_1, xi_2, dots.v, xi_n) dot e^(lambda x), space.quad xi_i in RR
|
||
$ <eq166>
|
||
|
||
Подставим @eq166 в @eq160:
|
||
|
||
$
|
||
vec(xi_1, dots.v, xi_n) lambda e^(lambda x) eq A vec(xi_1, dots.v, xi_n) e^(lambda x).
|
||
$
|
||
|
||
Сокращая на $e^(lambda x)$, приходим к алгебраическому матричному уравнению:
|
||
|
||
$
|
||
A X eq lambda X, space.quad "где " X eq vec(xi_1, dots.v, xi_n) \
|
||
|
||
arrow.double.l.r (A - I lambda) X eq OO.
|
||
$ <eq168>
|
||
|
||
Мы получили задачу о собственных векторах и собственных значениях матрицы $A$. Условие существования нетривиального решения уравнения @eq168 таково:
|
||
|
||
$
|
||
det (A - lambda I) eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Корни $lambda_i$ этого алгебраического уравнения $n$-ой степени -- это собственные значения матрицы $A$, а нетривиальные решения уравнения @eq168, соответствующие $lambda eq lambda_i$ -- это собственные векторы.
|
||
|
||
Подстановка собственного вектора и собственного значения в формулу @eq166 даст нам решение $Y(x)$ матричного уравнения @eq160 (или системы @eq159). Таким образом, линейно независимые собственные векторы матрицы $A$ дают нам вектор-функции из фундаментальной системы решений.
|
||
|
||
Для того, чтобы получить всю фундаментальную систему, требуется найти $n$ линейно независимых решений.
|
||
|
||
При рассмотрении теории систем дифференциальных уравнений мы обозначали независимую переменную через $x$, а функции через $y_1, y_2, dots dots, y_n$ для того, чтобы продемонстрировать сходство с теорией отдельных дифференциальных уравнений. При решении задач мы будем использовать для независимой переменной более традиционное обозначение $t$, а для функций -- обозначения $x, y, z$ во избежание излишней индексации.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[
|
||
|
||
Если корень $lambda eq lambda_0$ имеет кратность $s$, то ему должны соответствовать $s$ линейно независимых решений. Одной функции $e^(lambda_0 t)$ будет недостаточно. В этом случае ищем решение в виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y_1 e^(lambda_0 t) + Y_2 t e^(lambda_0 t) + dots dots + Y_s t^(s - 1) e^(lambda_0 t).
|
||
$ <eq173>
|
||
|
||
Для определения координат векторов $Y_1, Y_2, dots dots, Y_s$ подставляем @eq173 в исходную систему уравнений и в каждом из уравнений приравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[
|
||
|
||
1. $L(alpha f + beta g) eq alpha L f + beta L g$ -- линейность;
|
||
|
||
Доказательство очевидно в силу линейности интеграла.
|
||
|
||
2. $L(f(a t)) eq 1/a F(p/a), space.quad a gt 0$ -- теорема подобия;
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(f(a t)) eq integral_0^infinity e^(- p t) f(a t) d t.
|
||
$
|
||
|
||
Замена: $s eq a t arrow.double d s eq a d t$.
|
||
|
||
$
|
||
eq integral_0^infinity e^(-p/a s) f(s) 1/a d s eq 1/a F(p/a).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
3. $L(e^(a t) f(t)) eq F(p - a)$ -- теорема смещения;
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(e^(a t) f(t)) eq integral_0^infinity e^(- p t) e^(a t) f(t) d t eq integral_0^infinity e^(-(p - a) t) f(t) d t eq F(p - a).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
4. $L(f(t - a)) eq e^(- a p) F(p), space.quad a gt 0$ -- теорема запаздывания;
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(f(t - a)) eq integral_0^infinity e^(- p t) f(t - a) d t eq
|
||
$
|
||
|
||
Замена: $s eq t - a arrow.double d s eq d t$.
|
||
|
||
$
|
||
eq integral_(-a)^infinity e^(- p s) e^(- a p) f(s) d s eq
|
||
$
|
||
|
||
$f(s) eq 0$ при $s lt 0$
|
||
|
||
$
|
||
eq e^(- a p) integral_0^infinity e^(- p s) f(s) d s eq e^(- a p) F(p).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[
|
||
|
||
$
|
||
L(t f(t)) eq - frac(d, d p) F(p)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
L(t^n f(t)) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) F(p)
|
||
$
|
||
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#proof()[
|
||
Продифференцируем по параметру $p$ формулу @eq175 из определения преобразования Лапласа:
|
||
|
||
$
|
||
F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t, \
|
||
frac(d, d p) F(p) eq -integral_0^infinity e^(- p t) t f(t) d t eq -L (t f(t)).
|
||
$
|
||
|
||
Соответственно,
|
||
|
||
$
|
||
frac(d^n, d p^n) F(p) eq (-1)^n integral_0^infinity e^(- p t) t^n f(t) d t eq (-1)^n L(t^n f(t)).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[
|
||
|
||
$
|
||
L(f'(t)) eq p F(p) - f(0).
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
L(f^((n)) (t)) eq p^n F(p) - p^(n - 1) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(f'(t)) eq integral_0^infinity f'(t) e^(- p t) d t eq.o
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f(t), space.quad d v eq f'(t) d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
eq.o f(t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t eq -f(0) + p F(p).
|
||
$
|
||
|
||
Формула для $f^((n)) (t)$ доказывается по индукции.
|
||
|
||
База проверена $(n eq 1)$. Переход $n arrow n + 1$:
|
||
|
||
$
|
||
L(f^((n + 1)) (t)) eq integral_0^infinity f^((n + 1)) (t) e^(- p t) d t eq.o
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
u eq e^(- p t), space.quad d u eq - p e^(- p t) d t, space.quad v eq f^((n)) (t), space.quad d v eq f^((n + 1)) (t) d t
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
eq.o f^((n)) (t) e^(- p t) |_0^infinity + p integral_0^infinity f^((n)) (t) e^((- p t)) d t eq \
|
||
eq -f^((n)) (0) + p(p^n F(p) - p^((n - 1)) f(0) - p^(n - 2) f'(0) - dots - f^((n - 1)) (0)) eq \
|
||
eq p^((n + 1)) F(p) - p^n f(0) - p^(n - 1) f'(0) - dots - f^((n)) (0).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[
|
||
|
||
$
|
||
L(integral_0^t f(tau) d tau) eq frac(F(p), p).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
#proof()[
|
||
Введем функцию Хевисайда по следующему правилу:
|
||
|
||
$
|
||
theta(t) eq cases(1", " t gt.eq 0, 0", " t lt 0)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда:
|
||
|
||
$
|
||
L(integral_0^t f(tau) d tau) eq L(integral_0^infinity underbrace(theta(1 - tau), eq 1 " при " 0 lt.eq tau lt.eq t) dot f(tau) d tau) eq L(theta * f) eq L(theta) L(f) eq 1/p F(p).
|
||
$
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[
|
||
|
||
Преобразование Лапласа определено только для функций, обращающихся в ноль при $t lt 0$. Поэтому выписывая таблицу изображений, будем считать, что функции-оригиналы обращаются в ноль на отрицательной полуоси.
|
||
|
||
1. $L(1) eq 1/p;$
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(1) eq integral_0^infinity e^(- p t) dot 1 d t eq frac(e^(- p t), -p) |_0^infinity eq 1/p.
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
2. $L(e^(a t)) eq 1/(p - a);$
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(e^(a t)) eq L(e^(a t) dot 1) eq 1/(p - a).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
3. $L(sin a t) eq a/(p^2 + a^2);$
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(sin a t) eq L(1/(2 i) (e^(i a t) - e^(- i a t))) eq \
|
||
eq 1/(2 i) (L(a^(i a t)) - L(e^(- i a t))) eq \
|
||
eq 1/(2 i) (1/(p - i a) - 1/(p + a i)) eq 1/(2 i) frac(2 i a, p^2 + a^2) eq frac(a, p^2 + a^2).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
4. $L(cos a t) eq frac(p, p^2 + a^2);$
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(cos a t) eq L(1/2 (e^(i a t) + e^(- i a t))) eq \
|
||
eq 1/2 (L(e^(i a t)) + L(e^(- i a t))) eq \
|
||
eq 1/2 (1/(p - i a) + 1/(p + i a)) eq 1/2 frac(2 p, p^2 + a^2) eq frac(p, p^2 + a^2).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
5. $L(t^n) eq frac(n!, p^(n + 1)).$
|
||
|
||
#proof()[
|
||
$
|
||
L(t^n) eq L(t^n dot 1) eq (-1)^n frac(d^n, d p^n) 1/p eq frac(n!, p^(n + 1)).
|
||
$
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
|