827 lines
32 KiB
Typst
827 lines
32 KiB
Typst
#import "@preview/scripst:1.1.1": *
|
||
|
||
#show: scripst.with(
|
||
template: "article",
|
||
title: [Дифференциальные уравнения],
|
||
// info: [],
|
||
author: "Дощенников Никита",
|
||
// author: ("AnZrew", "AnZrew"),
|
||
time: datetime.today().display(),
|
||
contents: true,
|
||
content-depth: 3,
|
||
matheq-depth: 2,
|
||
lang: "ru",
|
||
)
|
||
|
||
/*
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [_Fermat's Last Theorem_], lab: "fermat", cb)[
|
||
|
||
No three $a, b, c in NN^+$ can satisfy the equation
|
||
$
|
||
a^n + b^n = c^n
|
||
$
|
||
for any integer value of $n$ greater than 2.
|
||
]
|
||
#proof[Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]
|
||
Fermat did not provide proof publicly for @fermat.
|
||
|
||
*/
|
||
|
||
#align(center)[= Определения]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Дифференциальное уравнение], cb)[
|
||
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
F(x, y, y') eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y eq y(x)$ и её производные $y′, y′′, dots , y(n)$.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Решение дифференциального уравнения, общее решение], cb)[
|
||
|
||
Функция $phi$ - решение уравнения, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^1 (a, b); \
|
||
F(x, phi(x), phi'(x)) eq.triple 0 " на " (a, b)
|
||
$
|
||
|
||
Другими словами, решением уравнения называют гладкую функцию $phi$, определённую на интервале $(a, b)$, подстановка которой вместо $y$ обращает уравнение в тождество на $(a, b)$.
|
||
|
||
Общим решением уравнения называют множество всех его решений.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Функция $y eq phi(x)$ является решением дифференциального уравнения, если её подстановка в уравнение обращает его в тождество.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Задача Коши], cb)[
|
||
|
||
Задачей Коши или начальной задачей для нормального уравнения
|
||
|
||
$
|
||
y' eq f(x, y)
|
||
$
|
||
|
||
называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальному условию
|
||
|
||
$
|
||
y(x_0) eq y_0.
|
||
$
|
||
|
||
Пара чисел $(x_0, y_0)$ при этом называется начальными данными.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Уравнение с разделяющимися переменными], cb)[
|
||
|
||
Уравнение в дифференциалах вида
|
||
|
||
$
|
||
P(x) d x plus Q(y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением с разделёнными переменными.
|
||
|
||
Такое название мотивировано тем, что каждое его слагаемое зависит только от одной переменной.
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
p_1 (x) q_1 (y) d x plus p_2 (x) q_2 (y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Если уравнение $Phi(x, y, y') eq 0$ с помощью алгебраических преобразований удается привести к виду
|
||
|
||
$
|
||
y' eq g(x) dot h(y)
|
||
$
|
||
|
||
или
|
||
|
||
$
|
||
M_1 (x) M_2 (y) d x plus N_1 (x) N_2 (y) d y eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Однородная функция], cb)[
|
||
|
||
Функция $F(x, y)$ называется однородной функцией степени $alpha$, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
|
||
|
||
$
|
||
F(t x, t y) eq t^alpha F(x, y).
|
||
$
|
||
|
||
Пример однородных функций: $x plus y plus z$ (первой степени), $x^2 plus 3 x y plus y^2$ (второй степени), $y/x cos x/y$ (нулевой степени), $frac(sqrt(x plus y), x^2 plus y^2)$ (степени $-3/2$).
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Однородное ДУ первого порядка], cb)[
|
||
|
||
Пусть $P$ и $Q$ - однородные функции одинаковой степени. Тогда уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется однородным уравнением.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду:
|
||
|
||
$
|
||
y' eq f(y/x)
|
||
$ <eq_homo>
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ первого порядка], cb)[
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(x) y plus q(x),
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным уравнением первого порядка.
|
||
|
||
Название линейное мотивировано тем, что оно составлено из многочленов первой степени по отношению к символам $y$ и $y'$.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' plus p(x) y eq q(x),
|
||
$
|
||
|
||
где $p(x), q(x)$ -- заданные функции.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Уравнение Бернулли], cb)[
|
||
|
||
Уравнением Бернулли называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' eq p(x) y plus q(x) y^alpha,
|
||
$
|
||
|
||
где $alpha in RR without {0, 1}$.
|
||
|
||
Разделив данное уравнение на $y^alpha$, находим
|
||
|
||
$
|
||
frac(y', y^alpha) eq p(x) y^(1 minus alpha) plus q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Отсюда видно, что замена $z eq y^(1 minus alpha)$ сводит уравнение к линейному.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' plus p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где" a eq "const", a eq.not 0, a eq.not 1
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Уравнение в полных дифференциалах], cb)[
|
||
|
||
Уравнение
|
||
|
||
$
|
||
P(x, y) d x plus Q(x, y) d y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называют уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция $u$, что
|
||
|
||
$
|
||
d u eq P(x, y) d x plus Q(x, y) d y,
|
||
$
|
||
|
||
то есть $u'_x eq P, u'_y eq Q$.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
M(x, y) d x plus N(x, y) d x eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $u(x, y)$:
|
||
|
||
$
|
||
M d x plus N d y eq d u eq frac(partial u, partial x) d x plus frac(partial u, partial y) d y.
|
||
$
|
||
|
||
Условие того, что $M d x plus N d y$ представляет собой полный дифференциал:
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial M, partial y) eq frac(partial N, partial x).
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Особое решение ДУ], cb)[
|
||
Решение $y eq phi(x)$ дифференциального уравнения
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, y, y') eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, то есть если через каждую его точку ($x_0, y_0$) кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ($x_0, y_0$) ту же касательную, что и решение $y eq phi(x)$, но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности ($x_0, y_0$). График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Решение $phi$ на $(a, b)$ уравнения $y' eq f(x, y)$ называется особым, если для любой точки $x_0 in (a, b)$ найдется решение $psi$ того же уравнения, такое что
|
||
|
||
$
|
||
phi(x_0) eq psi(x_0)
|
||
$
|
||
|
||
при этом $phi eq.triple psi$ в любой сколь угодно малой окрестности точки $x_0$.
|
||
|
||
Более кратко это выражают словами: интегральная кривая уравнения $y' eq f(x, y)$ является особой, если в каждой её точке нарушается единственность решения задачи Коши.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== ДУ высшего порядка, задача Коши для него], cb)[
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением $n$-го порядка называют уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
F(x, y, y', dots, y^((n))) eq 0.
|
||
$
|
||
|
||
Функция $phi$ -- решение уравнения на $(a, b)$, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^n (a, b); \
|
||
F(x, phi(x), phi'(x), dots, phi^((n))(x)) eq.triple 0 " на " (a, b).
|
||
$
|
||
|
||
Каноническим уравнением будем называть уравнение
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) eq f(x, y, y', dots, y^((n minus 1))),
|
||
$
|
||
|
||
разрешённое относительно старшей производной.
|
||
|
||
Задачей Коши для канонического уравнения называют задачу нахождения его решения, удовлетворяющего начальным условиям
|
||
|
||
$
|
||
y(x_0) eq y_0, y'(x_0) eq y'_0, dots, y^((n minus 1)) (x_0) eq y_0^((n minus 1)).
|
||
$
|
||
|
||
Набор чисел $(x_0, y_0, y'_0, dots, y_0^((n minus 1)) )$ при этом называют начальными данными.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид
|
||
|
||
$
|
||
Phi(x, y, y', y'', dots, y^((n))) eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
или в решенном относительно старшей производной $y^((n))$, вид
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) eq f(x, y, y', y'', dots, y^((n minus 1))).
|
||
$
|
||
|
||
Всякая функция $y(x)$, имеющая непрерывные производные вплоть до $n$-го порядка и удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения, а сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейное ДУ $n$-го порядка. Однородное, неоднородное], cb)[
|
||
|
||
Линейным дифференциальным уравнением порядка $n$ называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq q(t),
|
||
$
|
||
|
||
где $p_0, p_1, dots, p_(n minus 1), q in C(a, b)$.
|
||
|
||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то уравнение, то есть
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus p_(n minus 1) (t) y^((n minus 1)) plus dots plus p_1 (t) dot(y) plus p_0 (t) y eq 0,
|
||
$
|
||
|
||
называется однородным, в противном случае -- неоднородным.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным однородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||
|
||
Уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq f(x)
|
||
$
|
||
|
||
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением $n$-го порядка.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейная независимость функций], cb)[]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Определитель Вронского], cb)[
|
||
|
||
Определителем Вронского (или вронскианом) функций $y_1, y_2, dots, y_n in C^((n minus 1)) (a, b)$ называют
|
||
|
||
$
|
||
W (t) colon.eq mat(
|
||
y_1 (t), y_2 (t), dots, y_n (t);
|
||
dot(y)_1 (t), dot(y)_2 (t), dots, dot(y)_n (t);
|
||
dots, dots, dots, dots;
|
||
y^((n minus 1)) (t), y_2^((n minus 1)), dots, y_n^((n minus 1)) (t); delim: "|")
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Фундаментальная система решений], cb)[
|
||
|
||
Фундаментальной системой решений системы уравнений называется совокупность её $n$ линейно независимых решений.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Любой набор из $n$ линейно независимых решений $y_1 (x), y_2 (x), dots, y_n (x)$ уравнения $y^((n)) plus a_1 (x) y^((n minus 1)) plus dots plus a_(n minus 1) (x) y' plus a_n (x) y eq 0$ называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Характеристический многочлен], cb)[
|
||
|
||
Многочлен
|
||
|
||
$
|
||
p(lambda) colon.eq lambda^n plus a_(n minus 1) lambda^(n minus 1) plus dots plus a_1 lambda plus a_0
|
||
$
|
||
|
||
называется характеристическим многочленом уравнения $y^((n)) plus a_(n minus 1) y^((n minus 1)) plus dots plus a_1 dot(y) plus a_0 y eq f(t)$, а его корни -- характеристическими числами того же уравнения.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Система ДУ, решение системы], cb)[
|
||
|
||
Система дифференциальных уравнений -- это набор дифференциальных уравнений, решаемых совместно. Решение системы -- это набор функций, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Такая форма записи системы называется нормальной формой Коши:
|
||
|
||
$
|
||
cases(frac(d y_1, d x) eq f_1 (x, y_1, y_2, dots, y_n),
|
||
dots,
|
||
frac(d y_n, d x) eq f_n (x, y_1, y_2, dots, y_n))
|
||
$
|
||
|
||
Решением системы называется совокупность $n$ функций
|
||
|
||
$
|
||
y_i eq psi_i (x), space i eq 1, 2, dots, n
|
||
$
|
||
|
||
таких, что при подстановке их в уравнения системы эти уравнения обращаются в тождества относительно $x$. При этом функции $psi_i (x)$ предполагаются непрерывно дифференцируемыми.
|
||
|
||
#align(center)[ИЛИ]
|
||
|
||
Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка $n$ называется система уравнений вида
|
||
|
||
$
|
||
cases(dot(x)_1 eq f_1 (t, x_1, dots, x_n),
|
||
dots,
|
||
dot(x)_n eq f_n (t, x_1, dots, x_n)).
|
||
$
|
||
|
||
Если ввести в рассмотрение векторы
|
||
|
||
$
|
||
r eq vec(x_1, dots, x_n), space.quad f(t, r) eq vec(f_1 (t, r), dots, f_n (t, r)),
|
||
$
|
||
|
||
то систему можно компактно записать в виде одного $n$-мерного уравнения
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq f(t, r).
|
||
$
|
||
|
||
Вектор-функция $phi$ - решение системы на $(a, b)$, если
|
||
|
||
$
|
||
phi in C^1 ((a, b) arrow RR_n); \
|
||
dot(phi) (t) eq.triple f(t, phi(t)) " на " (a, b).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Линейная однородная и неоднородная система ДУ], cb)[
|
||
|
||
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему вида
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq P(t) r plus q(t),
|
||
$
|
||
|
||
где $P in M_n (C(a, b)), space q in C((a, b) arrow RR^n)$.
|
||
|
||
Если $q eq.triple 0$ на $(a, b)$, то система, то есть
|
||
|
||
$
|
||
dot(r) eq P(t) r,
|
||
$
|
||
|
||
называется однородной, в противном случае -- неоднородной.
|
||
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Функция оригинал], cb)[
|
||
|
||
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция $f(t)$ вещественной переменной $t$, удовлетворяющая следующим условиям:
|
||
|
||
- $f(t) eq 0$, если $t lt 0$;
|
||
- $f(t)$ интегрируема на любом конечном интервале оси $t$;
|
||
- с возрастанием $t$ модуль функции $f(t)$ растет не быстрее некоторой показательной функции, то есть существуют числа $M gt 0$ и $s_0 gt.eq 0$ такие, что для всех $t$ имеем:
|
||
|
||
$
|
||
|f(t)| lt.eq M e^(s_0 t).
|
||
$
|
||
]
|
||
|
||
#countblock("def", subname: [== Преобразование Лапласа], cb)[
|
||
Преобразованием Лапласа $L$ функции-оригинала $f(t)$, заданной на $[0, infinity)$, называется преобразование вида:
|
||
|
||
$
|
||
(L f) (p) eq F(p) eq integral_0^infinity f(t) e^(- p t) d t,
|
||
$
|
||
|
||
где образ функции $f$ будем обозначать за $F(p)$. Функцию $F(p)$ называют изображением функции-оригинала $f(t)$.
|
||
]
|
||
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[= Теоремы]
|
||
|
||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ], cb)[
|
||
Если функция $f(x, y)$ непрерывна и имеет непрерывную частную производную по $y$ в области $Omega$, то через каждую точку, принадлежащую $Omega$, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения $y' eq frac(d y, d x) eq f(x, y)$. Или: то для любой точки $(x_0, y_0) in Omega$ существует единственное решение $y eq y(x)$ уравнения, удовлетворяющее условию: $y|_(x eq x_0) eq y_0$.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Решение однородного дифференциального уравнения], cb)[
|
||
|
||
Сведем уравнение @eq_homo к уравнению с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
Для этого сделаем замену:
|
||
|
||
$
|
||
y/x eq u arrow.double.l.r y eq u x.
|
||
$
|
||
|
||
Следовательно,
|
||
|
||
$
|
||
y' eq u' dot x + u, space.quad d y eq u d x + x d u.
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq_homo:
|
||
|
||
$
|
||
u' dot x + u eq f(u) arrow.double.l.r u' dot x eq f(u)
|
||
$
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О решении линейного однородного уравнения], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)], cb)[
|
||
|
||
Рассмотрим уравнение второго порядка:
|
||
|
||
$
|
||
y'' + a_1 (x) y' + a_2 (x) y eq f(x).
|
||
$ <eq119>
|
||
|
||
Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2,
|
||
$ <eq120>
|
||
|
||
где $y_1, y_2$ -- линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1, C_2$ -- произвольные постоянные.
|
||
|
||
Будем искать частное решение ЛНДУ (@eq119) в следующем виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y eq u_1 (x) y_1 + u_2 (x) y_2.
|
||
$ <eq121>
|
||
|
||
Здесь $u_1 (x), u_2 (x)$ -- некоторые функции, которые нам нужно найти.
|
||
|
||
Отметим сходство формул @eq120 и @eq121. Мы варьируем произвольные постоянные $C_1, C_2$, в формуле @eq120 и получаем вместо них некоторые функции $u_1 (x), u_2 (x)$.
|
||
|
||
Найдем производные $Y', Y''$ и подставим их в уравнение @eq119.
|
||
|
||
$
|
||
Y' eq u'_1 y_1 plus u_1 y'_1 plus u'_2 y_2 plus u_2 y'_2.
|
||
$
|
||
|
||
Так как мы ищем частное решение уравнение, наложим на функции $u_1, u_2$ дополнительное ограничение:
|
||
|
||
$
|
||
u'_1 y_1 plus u'_2 y_2 eq 0.
|
||
$ <eq122>
|
||
|
||
Тогда $Y'$ примет вид:
|
||
|
||
$
|
||
Y' eq u_1 y'_1 plus u_2 y'_2.
|
||
$
|
||
|
||
Соответственно,
|
||
|
||
$
|
||
Y'' eq u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2.
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $Y, Y', Y''$ в исходное уравнение @eq119:
|
||
|
||
$
|
||
u'_1 y'_1 + u_1 y''_1 + u'_2 y'_2 + u_2 y''_2 + a_1 u_1 y'_1 + a_1 u_2 y'_2 + a_2 u_1 y_1 + a_2 u_2 y_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r u_1 underbrace(y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1, eq 0 (y_1 - "решение ЛОДУ")) + u_2 underbrace(y''_2 + a_1 y'_2 + a_2 y_2, eq 0 (y_2 - "решение ЛОДУ")) + u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
|
||
$
|
||
|
||
Учитывая введенные ранее ограничения @eq122, получаем систему уравнений для функций $u'_1, u'_2$:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u'_1 y_1 + u'_2 y_2 eq 0,
|
||
u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 eq f(x).
|
||
)
|
||
$ <eq124>
|
||
|
||
Определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке в силу линейной независимости решений $y_1, y_2$.
|
||
|
||
Следовательно, система @eq124 разрешима единственным образом и при любой правой части. Пусть её решения имеют вид:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u'_1 eq phi_1 (x),
|
||
u'_2 eq phi_2 (x).
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда функции $u_1 (x), u_2 (x)$ находятся интегрированием:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u_1 eq integral phi_1 (x) space d x,
|
||
u_2 eq integral phi_2 (x) space d x.
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
2) Рассмотрим уравнение $n$-го порядка:
|
||
|
||
$
|
||
y^((n)) + a_1 (x) y^((n - 1)) + dots + a_n (x) y eq f(x).
|
||
$
|
||
|
||
Здесь все построения аналогичны.
|
||
|
||
Решение ЛОДУ имеет вид:
|
||
|
||
$
|
||
tilde(y) eq C_1 y_1 + C_2 y_2 + dots + C_n y_n.
|
||
$
|
||
|
||
Частное решение ЛНДУ ищем в виде:
|
||
|
||
$
|
||
Y eq u_1 (x) y_1 (x) + u_2 (x) y_2 (x) + dots + u_n (x) y_n (x).
|
||
$
|
||
|
||
Следуя описанной процедуре, получаем следующую систему уравнений для функций $u'_1, u'_2, dots, u'_n$:
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
u'_1 y_1 + u'_2 y_2 + dots + u'_n y_n eq 0,
|
||
u'_1 y'_1 + u'_2 y'_2 + dots + u'_n y'_n eq 0,
|
||
dots dots dots,
|
||
u'_1 y_1^((n - 1)) + u'_2 y_2^((n - 1)) + dots + u'_n y_n^((n - 1)) eq f(x).
|
||
)
|
||
$ <eq131>
|
||
|
||
Определитель этой системы -- это определитель Вронского:
|
||
|
||
$
|
||
mat(
|
||
y_1, y_2, dots, y_n;
|
||
y'_1, y'_2, dots, y'_n;
|
||
dots, dots, dots, dots;
|
||
y_1^((n - 1)), y_2^((n - 1)), dots, y_n^((n - 1));
|
||
delim: "|"
|
||
) eq.not 0 " ни в одной точке".
|
||
$
|
||
|
||
Следовательно, система @eq131 разрешима единственным образом и при любой правой части. Решая её, находим $u'_1, u'_2, dots, u'_n$. Функции $u_1 (x), u_2 (x), dots, u_n (x)$ находятся интегрированием.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Бернулли], cb)[
|
||
|
||
Напомним, что уравнением Бернулли называется уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
y' + p(x) y eq q(x) y^a, space.quad "где " a = "conts", space a eq.not 0, space a eq.not 1.
|
||
$ <eq40>
|
||
|
||
Его решение можно получить двумя способами.
|
||
|
||
*I*. Сведение к линейному уравнению.
|
||
|
||
Разделим обе части уравнения @eq40 на $y^a$:
|
||
|
||
$
|
||
frac(y', y^a) + p(x) y^(1 - a) eq q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Сделаем замену: $z eq y^(1 - a)$.
|
||
|
||
Соответственно,
|
||
|
||
$
|
||
z' eq (1 - a) dot y^(-a) dot y' arrow.double.l.r frac(y', y^a) eq frac(z', 1 - a) .
|
||
$
|
||
|
||
Подстановим $z$ и $z'$ в исходное уравнение:
|
||
|
||
$
|
||
frac(1, 1 - a) z' + p(x) z eq q(x).
|
||
$
|
||
|
||
Мы получили линейное уравнение.
|
||
|
||
*II*. (сведение к уравнению с разделяющимися переменными)
|
||
|
||
Сделаем замену переменной как в линейном уравнении:
|
||
|
||
$
|
||
y eq u dot e^(- integral p(x) d x).
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
y' eq u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p(x) d x) dot (-p(x)).
|
||
$
|
||
|
||
Подставим $y$ и $y'$ в уравнение @eq40:
|
||
$
|
||
u' dot e^(- integral p(x) d x) + u dot e^(- integral p (x) d x) dot (-p(x)) + p(x) u dot e^(- integral p(x) d x) eq \
|
||
eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r u' dot e^(- integral p(x) d x) eq q(x) u^a dot e^(- a integral p(x) d x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r d u eq q(x) u^a dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r frac(d u, u^a) eq q(x) dot e^((1 - a) integral p(x) d x) dot d x.
|
||
$
|
||
|
||
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О полном дифференциале], cb)[
|
||
Если $M d x + N d y$ представляет собой полный дифференциал, то восстановить функцию $u(x, y)$ с точностью до константы по её известному полному дифференциалу
|
||
|
||
$
|
||
d u eq M(x, y) d x + N(x, y) d y
|
||
$ <eq47>
|
||
|
||
можно с помощью криволинейного интеграла. А именно зафиксируем некоторую точку $(x_0, y_0)$. Тогда криволинейный интеграл
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq integral_L (M(x, y) d x + N(x, y) d y)
|
||
$ <eq48>
|
||
|
||
по произвольной кривой от точки $(x_0, y_0)$ до текущей точки $(x, y)$ даст значение функции $u(x, y)$, дифференциал которой имеет вид @eq47. Изменение начальной точки $(x_0, y_0)$ приводит к добавлению постоянной (функция $u(x, y)$ находится с точностью до константы).
|
||
|
||
Формула @eq48 принимает более удобный вид, если кривую $L$ выбрать в виде ломаной, показанной на @img7.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/7.png"),
|
||
caption: [Кривая интегрирования $L$.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
) <img7>
|
||
]
|
||
|
||
При таком выборе $L$ имеем:
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq integral_(x_0)^x M(x, y_0) d x + integral_(y_0)^y N(x, y) d y.
|
||
$
|
||
|
||
Соответственно, решение уравнения:
|
||
|
||
$
|
||
u(x, y) eq C.
|
||
$
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрирующем множителе], cb)[
|
||
Напомним вид интегрирующего множителя:
|
||
|
||
$
|
||
d u eq mu M d x + mu N d y.
|
||
$
|
||
|
||
Напишем условие того, что $d u$ является полным дифференциалом:
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial, partial y) (mu M) eq frac(partial, partial x) (mu N) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r frac(partial mu, partial y) dot M + mu dot frac(partial M, partial y) eq frac(partial mu, partial x) dot N + mu dot frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r N frac(partial mu, partial x) - M frac(partial mu, partial y) eq (frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x)) mu arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r N dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y)) - M dot underbrace(1/mu dot frac(partial mu, partial y), frac(partial ln mu, partial y)) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x) arrow.double.l.r \
|
||
|
||
arrow.double.l.r N dot frac(partial ln mu, partial x) - M dot frac(partial ln mu, partial y) eq frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x).
|
||
$ <eq52>
|
||
|
||
Таким образом, для нахождения инегрирующего множителя мы получим уравнение в частных производных. Иногда удается найти его решение. Если $mu eq mu(x)$, то $frac(partial mu, partial y) eq 0$ и уравнение @eq52 примет вид:
|
||
|
||
$
|
||
frac(d ln mu, d x) eq frac(frac(partial M, partial y) - frac(partial N, partial x), N).
|
||
$
|
||
|
||
Если правая часть уравнения не зависит от $y$, то $ln mu$ находится интегрированием.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О существовании решения ДУ высших порядков], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Замены для уравнений, допускающих понижение порядка], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Свойства решений линейного однородного ДУ], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Необходимое условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Достаточное условие линейной зависимости решений], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О базисе пространства решений], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейного неоднородного ДУ], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Принцип суперпозиции], cb)[
|
||
|
||
Докажите, что если $phi_1$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t)$, $phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_2 (t)$, то $phi_1 + phi_2$ -- решение системы $dot(r) eq P(t) r + q_1 (t) + q_2 (t)$.
|
||
|
||
]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод вариации произвольных постоянных], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для различных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О ФСР для кратных вещественных корней характеристического многочлена], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод неопределенных коэффициентов], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод исключения для решения системы ДУ], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при простых собственных числах], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Метод Эйлера для решения однородных линейных систем ДУ при кратных собственных числах], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Общее решение линейной неоднородной системы ДУ], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Свойства преобразования Лапласа], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании изображения], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== О дифференцировании оригинала], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Об интегрировании оригинала], cb)[]
|
||
#countblock("thm", subname: [== Преобразования Лапласа простейших функций], cb)[]
|
||
|
||
|
||
|
||
|