780 lines
36 KiB
Typst
780 lines
36 KiB
Typst
#set math.equation(numbering: "(1)", supplement: [])
|
||
|
||
#set text(
|
||
font: "New Computer Modern",
|
||
size: 14pt
|
||
)
|
||
|
||
#set page(
|
||
paper: "a4",
|
||
numbering: "1"
|
||
)
|
||
|
||
#set par(
|
||
justify: true,
|
||
leading: 0.52em
|
||
)
|
||
|
||
#outline(
|
||
title: "Содержание"
|
||
)
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
#align(center)[= Постоянное магнитное поле]
|
||
|
||
#align(center)[=== Индукция магнитного поля. Закон Био-Савара]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1] // ready
|
||
|
||
*Условие*: Заряженная элементарная частица движется со скоростью, модуль которой $v eq 900 "м/c"$. В некоторый момент в точке наблюдения $P$ модуль напряжённости электрического поля этой частицы $E eq 600 "В/м"$, а угол между векторами скорости и напряжённости $alpha eq 30 degree$. Рассчитать индукцию магнитного поля данной частицы.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/5.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Пояснительный рисунок.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(mu_0 v sin alpha, 4 pi r^2)
|
||
$ <eq1>
|
||
|
||
$
|
||
E eq k frac(1, r^2)
|
||
$
|
||
|
||
Умножим и разделим @eq1 на $epsilon_0$ чтобы сделать замену на $E$:
|
||
|
||
$
|
||
B eq mu_0 v sin alpha epsilon_0 E
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B eq 900 dot 600 dot frac(1, 2) dot 12.75 dot 10^(minus 7) dot 8.85 dot 10^(minus 12) \
|
||
eq 3 dot 10^(minus 12) eq 3 "пТл".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq 3 "пТл"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
*Условие*: Используя закон Био-Савара, получить формулу для рассчёта модуля вектора индукции магнитного поля, создаваемого током $I$, протекающем в линейном бесконечном проводнике в точке, расположенной на расстоянии $r_0$ от проводника.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r_0)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №3]
|
||
|
||
*Условие*: Рассчитать модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого конечным прямолинейным участком проводника, длины $l$, по которому протекает ток $I$, в точке отстоящей на произвольном расстоянии $r_0$ от оси проводника.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi r_0) (cos alpha_1 plus cos alpha_2)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №4] // ready
|
||
|
||
*Условие*: Замкнутый контур с током имеет вид прямоугольника с диагональю $d eq 16 "см"$, угол между диагоналями $alpha eq 30 degree$. Сила тока, протекающего по контуру $I eq 5 "A"$. Рассчитать модуль индукции магнитного поля в центре контура.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/6.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Поясняющий рисунок.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
В системе СИ: $d eq 16 "см" eq 0.16 "м"$.
|
||
|
||
По принципу суперпозиции для магнитного поля:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(B) eq arrow(B)_1 plus arrow(B)_2 plus arrow(B)_3 plus arrow(B)_4.
|
||
$
|
||
|
||
Так как все $arrow(B)_i$ сонаправлены, то $B eq 2(B_1 plus B_2)$. По закону Био-Савара-Лапласа:
|
||
|
||
$
|
||
B eq 2(frac(mu_0 I, 2 pi) (frac(cos frac(pi minus phi, 2), d/2 cos phi/2) + frac(cos phi/2, d/2 sin phi/2))) eq \
|
||
eq frac(mu_0 I, pi) (frac(1, d/2 sin phi/2 cos phi/2)) eq frac(4 mu_0 I, pi d sin phi)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа из условия, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(4 dot 4 pi dot 10^(-7) dot 5, pi dot 0.16 dot sin 30 degree) approx 0.1
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq 0.1 "мТл"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №5]
|
||
|
||
*Условие*: Определить модуль вектора индукции магнитного поля на оси кругового тока $I$ радиуса $R$, как функцию $B(z)$, где $z$ расстояние до центра контура.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B(z) eq frac(mu_0 I R^2, 2(R^2 plus z^2)^frac(3, 2))$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №6] // ready
|
||
|
||
*Условие*: По тонкому замкнутому проводнику (@img1) течёт ток, сила которого $I eq 5 "А"$. Радиус изогнутой части проводника $R eq 120 "мм"$, угол $phi = 90 degree$. Рассчитать модуль вектора магнитной индукции в точке $O$.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/1.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Проводник.]
|
||
) <img1>
|
||
]
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/7.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Поясняющий рисунок.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
Пусть $theta eq frac(phi, 2) eq 45 degree$.
|
||
|
||
Для части окружности:
|
||
|
||
$
|
||
B_1 eq frac(mu_0 I, 4 pi R^2) integral_0^(2 pi minus 2 theta) R d alpha eq frac(mu_0 I (pi minus theta), 2 pi R).
|
||
$
|
||
|
||
|
||
Для отрезка:
|
||
|
||
$
|
||
d B_2 eq frac(mu_0, 4 pi) frac(I d l, r^2) sin angle (d arrow(l); arrow(z)) eq frac(mu_0, 4 pi) dot frac(I d l, r^2) cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/8.png"),
|
||
caption: [Рис.],
|
||
supplement: [Поясняющий рисунок.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
$
|
||
cos alpha d l eq z d alpha arrow.double d l eq frac(z d alpha, cos alpha)
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
z eq frac(b, cos alpha), space.quad b eq R cos theta
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
B_2 eq frac(mu_0 I, 4 pi) integral_(-theta)^theta frac(d alpha dot cos alpha, cos alpha dot b) dot cos alpha eq frac(mu_0 I, 4 pi R cos theta) dot 2 sin theta eq frac(mu_0 I, 2 pi R) tg theta
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
B eq B_1 plus B_2 eq frac(mu_0 I, 2 pi R) (pi minus theta plus tan theta)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 5, 2 pi dot 0.12) (pi minus frac(pi, 4) plus tg frac(pi, 4)) approx 28 "мкТл".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi R)(1 plus frac(3, 4) pi) approx 28 "мкТл"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №7]
|
||
|
||
*Условие*: Замкнутый контур, по которому течёт ток силы $I$ имеет форму показанную на (@img2). Радиус окружности $R$, длина стороны квадрата $a$. Найти индукцию магнитного поля в точке $O$.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/2.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Контур.]
|
||
) <img2>
|
||
]
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 4 pi) (frac(3 pi, 2 R) plus frac(sqrt(2), a))$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №8] // ready
|
||
|
||
|
||
*Условие*: Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из $N eq 200$ плотно прилегающих витков, по которым течёт ток $I eq 5 "мА"$. Радиус внутреннего витка $a eq 100 "мм"$, радиус внешнего витка $b eq 200 "мм"$. Рассчитать индукцию магнитного поля в центре спирали.
|
||
|
||
*Решение*: Магнитная индукция одного витка (окружности):
|
||
|
||
$
|
||
B_1 eq frac(mu_0 I, 2 z)
|
||
$ <eq2>
|
||
|
||
$
|
||
d N eq frac(N, b minus a) d z
|
||
$ <eq3>
|
||
|
||
Подставим @eq2 и @eq3 в
|
||
|
||
$
|
||
B eq integral B_1 d N eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) integral_a^b frac(d z, z) eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln z |_a^b eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln frac(b, a)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа и получим
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(4 pi dot 10^(minus 7) dot 5 dot 10^(minus 3) dot 200, 2(0.2 minus 0.1)) ln frac(0.2, 0.1) approx 4.4 "мкТл".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I N, 2(b minus a)) ln frac(b, a) approx 4.4 "мкТл"$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №9] // ready
|
||
|
||
*Условие*: В параллельных плоскостях, расположенных на расстоянии $d eq 8 "см"$ друг от друга на одной оси находятся два круговых витка радиуса $R eq 5 "см"$ каждый. По виткам в одном направлении текут токи $I_1 eq I_2 eq 2 "А"$. Рассчитать напряжённость магнитного поля в центре одного из витков.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/9.png"),
|
||
caption: [Поясняющий рисунок.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
Согласно принципу суперпозиции напряженность в точке $C$ равна
|
||
|
||
$
|
||
arrow(H) eq arrow(H)_1 plus arrow(H)_2, space.quad "где " H eq frac(I_1, 2 R),
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
H_2 eq frac(I_2 R^2, 2(R^2 plus d^2)^frac(3, 2)).
|
||
$
|
||
|
||
Если токи текут в одном направлении, то $H eq H_1 plus H_2$. По условию
|
||
|
||
$
|
||
I_1 eq I_2 eq I
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
H eq frac(I, 2 R) plus frac(I R^2, 2(R^2 plus d^2)^frac(3, 2)).
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа, получим:
|
||
|
||
$
|
||
H eq frac(2, 2 dot 0.05) plus frac(2 dot 0.05^2, 2(0.05^2 plus 0.08^2)^frac(3, 2)) approx 23 "А/м".
|
||
$
|
||
|
||
*Ответ*: $H eq frac(I, 2) (frac(1, R) plus frac(R^2, (d^2 plus R^2)^frac(3, 2))) approx 23 "А/м"$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №10]
|
||
|
||
|
||
*Условие*: Рассчитать модуль вектора магнитной индукции на оси соленоида, длина которого $l$, количество витков проволоки, плотно прилегающих друг к другу равно $N$ . Через витки течёт ток $I$, радиус витков $R_0$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B(z) eq frac(mu_0 I N, 2 l) (frac(frac(l, 2) minus z, sqrt(R_0^2 plus (frac(l, 2) minus z)^2)) plus frac(frac(l, 2) plus z, sqrt(R_0^2 plus (frac(l, 2) plus z)^2)))$.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
#align(center)[=== Закон полного тока]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
*Условие*: Используя закон полного тока, найти модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого током текущим по коаксиальному кабелю. Ток $I$ течёт по центральной жиле радиуса $R_1$, и возвращается по оболочке, внутренний и внешний радиусы которой $R_2$ и $R_3$ соответственно. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком. Магнитную проницаемость всюду считать равной $1$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B(r lt R_1) eq frac(mu_0 I r, 2 pi R_1^2), space B(R_1 lt r lt R_2) eq frac(mu_0 I, 2 pi r), B(R_2 lt r lt R_3) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) (1 minus frac(r^2 minus R^2_2, R^2_3 minus R^2_2)), space B(r gt R_3) eq 0$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
*Условие*: Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределённого:
|
||
|
||
- по бесконечной плоскости с линейной плотностью $j$;
|
||
- по двум параллельным бесконечным плоскостям с линейными плотностями $j$ и $minus j$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: a) $B eq frac(mu_0 j, 2)$, б) $B eq mu_0 j$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №3]
|
||
|
||
*Условие*: Однородный ток, плотность которого $j$ течёт внутри неограниченной пластины толщины $2d$ параллельно её поверхности. Найти индукцию магнитного поля этого тока, как функцию расстояния $x$ от средней плоскости пластины. Магнитную проницаемость всюду считать равной 1.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B(x gt d) eq mu_0 d j, space B(x lt d) eq mu_0 x j)$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №4]
|
||
|
||
*Условие*: Найти вектор плотности тока, как функцию расстояния $r$ от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока зависит от $r$ как $B(r) eq beta r^alpha$, где $beta$ и $alpha$ положительные постоянные.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $arrow(j)(r) eq frac(beta(alpha plus 1)r^(alpha minus 1), mu_0) arrow(e)_z$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №5]
|
||
|
||
*Условие*: Используя закон полного тока, рассчитать индукцию магнитного поля внутри соленоида длиной $L eq 0.5 "м"$, содержащего $N eq 1000$ витков плотной обмотки, если сопротивление обмоток $R eq 120 "Ом"$, а напряжение на её концах $U eq 60 "В"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq 1.25 "мТл"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №6]
|
||
|
||
*Условие*: По бесконечному прямому проводу, радиус сечения которого $R$, течёт постоянный ток, плотность которого $arrow(j)$. Найти вектор магнитной индукции поля, создаваемого этим током, в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус-вектором $arrow(r)$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $arrow(B) (r lt R) eq frac(mu_0 [arrow(j); arrow(r)], 2), arrow(B) (r gt R) eq frac(mu_0 R^2 [arrow(j); arrow(r)], 2)$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №7]
|
||
|
||
*Условие*: По длинному цилиндрическому проводу течёт ток, плотность которого $arrow(j)$. Внутри провода имеется цилиндрическая полость, идущая параллельно оси провода. Расстояние от оси провода до оси полости задаётся вектором $arrow(l)$. Найти вектор индукции магнитного поля внутри полости.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $arrow(B) eq frac(mu_0 [arrow(j); arrow(l)], 2)$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №8]
|
||
|
||
*Условие*: Ток $I$ течёт по длинному проводу и затем равномерно растекается по всем направлениям однородной проводящей среды (@img3). Рассчитать индукцию магнитного поля в точке $A$, отстоящей от точки $O$ на расстоянии $r$ под углом $theta$.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/3.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Проводящая среда.]
|
||
) <img3>
|
||
]
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0 I, 2 pi r) tan frac(theta, 2)$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №9]
|
||
|
||
*Условие*: Ток $I$ течёт по длинному прямому проводу круглого сечения. Рассчитать поток магнитного поля через половину осевого сечения провода приходящейся на один метр его длины.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $Phi eq frac(mu_0 I, 4 pi)$.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[=== Магнитное поле при наличии Магнетиков. Магнитный момент.]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
*Условие*: Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка $R eq 100 "мм"$, а индукция магнитного поля в центре $B eq 6 "мкТл"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $p_"м" eq frac(2 pi R^3 B, mu_0) approx 30 " мА м"^2$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
*Условие*: Магнитный диполь, момент которого $arrow(p)_"м"$ поместили на расстояние $r$ от длинного провода по которому течёт ток $I$. Найти вектор силы действующей на диполь со стороны магнитного поля, создаваемого током $I$ если вектор магнитного момента:
|
||
|
||
- параллелен проводнику;
|
||
- направлен по вектору $arrow(r)$;
|
||
- совпадает по направлению с магнитным полем тока $I$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: a) $arrow(F) eq arrow(0)$, б) $arrow(F) eq minus frac(mu_0 p_"м" I, 2 pi r^2) arrow(e)_phi$, в) $arrow(F) eq minus frac(mu_0 p_"м" I, 2 pi r^2) arrow(e)_r$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №3]
|
||
|
||
*Условие*: Тонкий диск из диэлектрика, несущий заряд поверхностная плотность которого $sigma$ равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $omega$. Рассчитать:
|
||
|
||
- индукцию магнитного поля в центре диска;
|
||
- магнитный момент диска.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(mu_0, 2) sigma omega R, space p_m eq frac(pi sigma R^4, 4)$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №4]
|
||
|
||
*Условие*: Сферическая поверхность радиуса $R$, состоящая из диэлектрика вращается равномерно вокруг своего диаметра с угловой скоростью $omega$. Рассчитать магнитную индукцию в центре сферы если поверхностная плотность зарядов равна $sigma$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B eq frac(2, 3) mu_0 sigma omega R$.
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №5]
|
||
|
||
*Условие*: Вдоль оси бесконечного прямого цилиндра радиуса $R_0$ течёт линейный ток силой $I$. Магнитная проницаемость вещества цилиндра $mu$. Вокруг цилиндра вакуум. Найти:
|
||
|
||
- напряженность магнитного поля $arrow(H)$;
|
||
- индукция магнитного поля $arrow(B)$;
|
||
- намагниченность $arrow(J)$;
|
||
|
||
во всех точках пространства. Рассчитать объёмную и поверхностную плотность молекулярных токов.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $arrow(H) (r lt R_0) eq frac(I, 2 pi r) arrow(e)_phi eq arrow(H) (r gt R_0), space arrow(B) (r lt R_0) eq frac(mu mu_0 I, 2 pi r) arrow(e)_phi, space arrow(J) (r lt R_0) eq frac(I (mu minus 1), 2 pi r) arrow(e)_phi, arrow(B)(r gt R_0) eq frac(mu_0 I, 2 pi r) arrow(e)_phi, arrow(J) (r gt R_0) eq arrow(0), arrow(j)_"мо" eq arrow(0), j_"мп" eq frac(I(1 minus mu), 2 pi R_0)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №6]
|
||
|
||
*Условие*: Среда состоит из однородного изотропного магнетика и вакуума. Модуль вектора индукция магнитного поля вблизи поверхности магнетика со стороны вакуума равен $B$. Найти модуль индукции магнитного поля $B'$ в магнетике вблизи его поверхности, если вектор B составляет угол $alpha$ с нормалью к поверхности раздела магнетика и вакуума (поверхность можно считать плоскостью), а магнитная проницаемость магнетика $mu$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $B' eq B sqrt(cos^2 alpha plus mu^2 sin^2 alpha)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №7]
|
||
|
||
*Условие*: Воспользовавшись условиями предыдущей задачи рассчитать циркуляцию вектора $arrow(B)$ по замкнутому квадратному контуру, длина стороны которого $l$. Граница раздела сред пересекает контур параллельно двум его противоположным сторонам.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $integral.cont_L (arrow(B), d arrow(l)) eq B sin alpha l (1 minus mu)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №8]
|
||
|
||
*Условие*: По длинному цилиндрическому проводу течёт ток перпендикулярно плоскости поперечного сечения. Сила тока $I$. Провод изготовлен из парамагнетика с магнитной восприимчивостью $chi$. Найти:
|
||
|
||
- силу поверхностного молекулярного тока $I'_"пов"$;
|
||
- силу объемного молекулярного тока $I'_"об"$.
|
||
|
||
Определить как эти токи направлены друг относительно друга.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $I_"мо" eq I_chi, space I_"мп" eq minus I_chi$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №9]
|
||
|
||
*Условие*: Длинный соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком, магнитная восприимчивость которого зависит от расстояния до оси как $chi eq alpha r^2$. На оси соленоида магнитная индукция равна $B_0$. Рассчитать, как функцию $r$:
|
||
|
||
- намагниченность магнетика;
|
||
- плотности объемного молекулярного тока.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $J(r) eq frac(B_0 alpha r^2, mu_0), space j(r) eq frac(2 alpha B_0, mu_0) r$.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
#align(center)[=== Частица в магнитном поле]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
*Условие*: Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью перпендикулярной полю. Напряжённость магнитного поля $H eq 103 "А/м"$. Ускоряющая разность потенциалов, придавшая электрону скорость $U eq 400 "В"$. Рассчитать радиус кривизны траектории $R$ и частоту $v$ обращения электрона в магнитном поле.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $R eq frac(1, mu_0 H) sqrt(frac(2 U, q_m)) approx 5.37 "см", nu eq frac(mu_0 H q_m, 2 pi) approx 35 "МГц"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №2] // ready
|
||
|
||
*Условие*: В однородное магнитное поле с магнитной индукцией $B eq 0.4 "Тл"$ перпендикулярно полю с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении $6 "мкс"$ включается постоянное электрическое поле напряжённостью $E eq 300 "В/м"$ сонаправленно магнитному полю. Рассчитать шаг винтовой траектории частицы после выключения электрического поля.
|
||
|
||
*Решение*: По формуле силы Лоренца:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(F) eq q(arrow(E) + arrow(v) times arrow(B))
|
||
$
|
||
|
||
До включения электрического поля:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(E) eq 0, space.quad arrow(F) eq q(arrow(v) times arrow(B))
|
||
$
|
||
|
||
Частица движется по окружности
|
||
|
||
$
|
||
F_"маг" = q v B.
|
||
$
|
||
|
||
Сила Лоренца равна центростремительной силе:
|
||
|
||
$
|
||
q v B eq frac(m v^2, R) arrow.double R eq frac(m v, q B)
|
||
$
|
||
|
||
Угловая частота:
|
||
|
||
$
|
||
omega eq v/R eq frac(q B, m)
|
||
$
|
||
|
||
Когда включается электрическое поле вдоль магнитного поля, на частицу вдоль $B$ действует $F eq q E$. Соответственно вдоль оси $B$ ускорение $a eq frac(q E, m)$.
|
||
|
||
За время $Delta t$ скорость вдоль оси становится:
|
||
|
||
$
|
||
v eq a Delta t eq frac(q E, m) Delta t
|
||
$
|
||
|
||
После выключения электрического поля частица летит в магнитном поле с постоянной перпендикулярной скоростью и параллельной, то есть по винтовой траектории.
|
||
|
||
Расстояние за один оборот:
|
||
|
||
$
|
||
h eq v T,
|
||
$
|
||
|
||
где $T eq frac(2 pi, omega) eq frac(2 pi m, q B)$ - период кругового движения.
|
||
|
||
Подставим:
|
||
|
||
$
|
||
h eq v T eq frac(q E, m) Delta t dot frac(2 pi m, q B) eq frac(2 pi E Delta t, B)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим числа:
|
||
|
||
$
|
||
h eq frac(2 pi dot 300 "В/м" dot 6 dot 10^(-6) "с", 0.4 "Тл") approx 0.28 "м".
|
||
$
|
||
|
||
|
||
*Ответ*: $h eq frac(2 pi E, B) t approx 0.028 "м"$.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
#align(center)[=== Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
*Условие*: В однородное магнитное поле, индукция которого $B eq 1 "Тл"$ внесли квадратный контур со стороной $a eq 10 "см"$, по которому течёт ток $I eq 100 "А"$, после чего контур свободно устанавливается в магнитном поле под действием механического момента. Рассчитать работу $A'$, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол $alpha eq frac(pi, 2)$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $A eq B I a^2 eq 1 "Дж"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
*Условие*: Магнитное поле создаётся длинным прямым проводником, по которому течёт ток $I_0$. В одной плоскости с проводником расположена квадратная рамка с током $I$, сторона рамки $a$. Рассчитать:
|
||
|
||
- силу ампера действующую на рамку;
|
||
- работу, которую необходимо совершить при медленном повороте рамки вокруг оси параллельной проводнику на угол $180 degree$, проходящей через центры противоположных сторон рамки;
|
||
|
||
если расстояние от этой оси до проводника в $eta$ раз больше стороны рамки.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $F_A eq frac(2 mu_0 I I_0, pi (4 eta^2 minus 1))$, $A eq frac(mu_0 I_0 I a, pi) ln (frac(2 eta plus 1, 2 eta minus 1))$.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
#align(center)[= Электромагнитная индукция]
|
||
|
||
#align(center)[=== Индукция токов. Закон электромагнитной индукции Фарадея]
|
||
|
||
#align(center)[===== №1]
|
||
|
||
*Условие*: В однородном магнитном поле, с индукцией модуль которой $B$, расположен замкнутый контур (@img4). Верхнюю часть контура, представляющую с собой полуокружность радиуса $R_0$ вращают вокруг оси $O O'$ с постоянной угловой частотой $omega$. Найти э.д.с. индукции возникающую в контуре, как функцию времени, если в момент $t eq 0$ магнитный поток через контур максимальный.
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/4.png"),
|
||
caption: [Контур.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
) <img4>
|
||
]
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $cal(E)^"инд" eq frac(pi, 2) R^2_0 B omega sin omega t$.
|
||
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №2]
|
||
|
||
*Условие*: В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B eq 0.4 "Тл"$, с постоянной частотой $nu eq 480 "об/мин"$ вращается замкнутая рамка, состоящая из $N eq 1000$ витков проволоки. Площадь ограниченная контуром рамки $S eq 200 " см"^2$. Рассчитать значение эдс индукции в момент, когда угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции равен $30 degree$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $cal(E)^"инд" eq N S B nu pi approx 201 "В"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №3]
|
||
|
||
*Условие*: В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B eq 0.1 "Тл"$ расположен плоский проволочный виток, замкнутый на гальванометр. Площадь ограниченная контуром витка $S eq 10^(minus 2) " м"^2$. В начальный момент времени плоскость витка располагалась перпендикулярно магнитному полю. После поворота витка на некоторый угол $alpha$, через гальванометр прошёл заряд $q eq 7.5 dot 10^(−4) "Кл"$. Рассчитайте угол $alpha$ на который повернули виток если его сопротивление $R eq 2 "Ом"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $alpha eq 1 minus frac(R q, B S) approx 120 degree$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №4]
|
||
|
||
*Условие*: К источнику сторонних эдс сопротивление которого пренебрежимо мало, а $epsilon_0 eq 2 "В"$ подключили соленоид индуктивность которого $L eq 0.1 "Гн"$, а сопротивление $R eq 0.02 "Ом"$. Рассчитать заряд, который пройдёт через соленоид за первые $5 "с"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $q eq frac(epsilon, R) (t plus frac(L, R) (exp [minus frac(R, L) t] minus 1)) approx 184 "Кл"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №5] // ready
|
||
|
||
*Условие*: Квадратная рамка со стороной $a eq 70 "см"$ помещена в магнитное поле так, что нормаль к рамке составляет угол $alpha eq 45 degree$ с направлением магнитного поля. Индукция магнитного поря меняется по закону $B eq B_0 cos omega t$, где $B_0 eq 0.2 "Тл"$, $omega eq 6 с^(−1)$. Рассчитать ЭДС индукции, возникающей в рамке в момент времени $t eq 3 "с"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/110.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [Квадратная рамка в переменном магнитном поле.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
По формуле магнитного потока через плоскость:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq B S cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
Площадь рамки:
|
||
|
||
$
|
||
S eq a^2
|
||
$
|
||
|
||
Так как $B eq B_0 cos(omega t)$:
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq B_0 a^2 cos beta cos (omega t)
|
||
$
|
||
|
||
По закону Фарадея:
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq -Phi'(t) eq B_0 a^2 omega cos beta sin omega t
|
||
$
|
||
|
||
Подставив числа из условия, получим:
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) eq 0.2 dot 0.7^2 dot 6 dot cos(45 degree) dot sin (6 dot 3) approx -0.31 "B".
|
||
$
|
||
|
||
|
||
*Ответ*: $epsilon eq frac(1, sqrt(2)) B_0 omega sin (omega t) approx minus 0.31 "В"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №6]
|
||
|
||
*Условие*: В прямом бесконечном проводнике течёт ток, сила которого меняется по закону $I eq beta t^3$, где $beta eq 2 " А/с"^3$. В одной плоскости с проводником, параллельно ему, расположена квадратная рамка, сторона которой $a eq 20 "см"$, а сопротивление материала рамки $R eq 7 "Ом"$. Расстояние от ближайшей стороны рамки до проводника $l eq 20 "см"$. Рассчитать силу тока в рамке в момент времени $t eq 10 "c"$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $I eq frac(3 mu_0 a beta, 2 pi) log (1 plus frac(a, l)) t^2 approx 2.4 dot 10^(minus 6) "А"$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
#align(center)[===== №7]
|
||
|
||
*Условие*: П-образный проводник расположен в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника. Магнитная индукция поля изменяется с постоянной скоростью $beta$. Вдоль параллельных сторон проводника с постоянным ускорением $a$ перемещают проводник перемычку, длина которой $l$. Рассчитать эдс индукции через время $t$ после начала перемещения перемычки, если в начальный момент времени и индукция и площадь контура равны $0$.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $epsilon eq minus frac(3 l beta a, 2) t^2$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №8]
|
||
|
||
*Условие*: Внутри длинного соленоида расположена катушка состоящая из $N$ витков. Площадь поперечного сечения катушки $S$. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью $omega$ вдоль оси совпадающей с её диаметром и перпендикулярной к оси соленоида. рассчитать эдс индукции в катушке если, индукция магнитного поля в соленоиде изменяется со временем как $B eq B_0 sin(omega t)$, а в момент времени $t eq 0$ ось катушки совпадала с осью соленоида.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*: $epsilon eq B_0 N S omega cos (2 omega t)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
|
||
#align(center)[===== №9]
|
||
|
||
*Условие*: По длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого $R$ и плотностью намотки $n$, течёт ток, скорость изменения которого от времени равна $i$. Рассчитать вектор напряжённости вихревого электрического поля, как функцию расстояния $r$ от оси соленоида.
|
||
|
||
*Решение*:
|
||
|
||
*Ответ*:
|
||
|
||
|