1013 lines
27 KiB
Typst
1013 lines
27 KiB
Typst
#set text(
|
||
size: 14pt,
|
||
font: "New Computer Modern",
|
||
)
|
||
|
||
#set par(
|
||
justify: true
|
||
)
|
||
|
||
=== Потенциальная энергия электрического диполя с моментом $arrow(p)$ в поле с напряженностью $arrow(E)$.
|
||
|
||
*1. $- arrow(p) arrow(E)$*
|
||
2. $|arrow(p)| |arrow(E)|$
|
||
3. $- |arrow(p)| |arrow(E)|$
|
||
4. $- frac(|arrow(p)|, |arrow(E)|)$
|
||
5. $frac(|arrow(E)|, |arrow(p)|)$
|
||
|
||
*Ответ*: Потенциальная энергия диполя в электрическом поле:
|
||
|
||
$
|
||
W eq - arrow(p) dot arrow(E) eq - p E(r) cos alpha,
|
||
$
|
||
|
||
где $alpha$ -- угол между $arrow(E) (arrow(r))$ и $arrow(p)$.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Точечный заряд $q$ помещен в центр пирамиды. Поток вектора напряженности через грань пирамиды равен
|
||
|
||
1. $q/4$
|
||
*2. $q/(4 epsilon_0)$*
|
||
3. $q/(6 epsilon epsilon_0)$
|
||
4. $q/(epsilon_0)$
|
||
5. $epsilon epsilon_0 q$
|
||
|
||
*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из 4 граней пирамиды одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq q/(epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
Поток через одну грань
|
||
|
||
$
|
||
Phi_1 eq q/(4 dot epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Элемент проводника с током $I$, длиной $d l$ создает в точке $A$, положение которой задано вектором $arrow(r)$, магнитное поле с индукцией
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/1.png"),
|
||
caption: [Поясняющий рисунок.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
) <img1>
|
||
]
|
||
|
||
*1. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)$*
|
||
2. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^3)$
|
||
3. $frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
|
||
4. $frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^2)$
|
||
5. $-frac(mu_0 I, pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], l^2)$
|
||
|
||
*Ответ*: По закону Био-Савара-Лапласа для тонкого проводника:
|
||
|
||
$
|
||
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Диполь с моментом $arrow(p)$ помещен в электрическое поле напряженностью $arrow(E)$. На диполь действует механическй момент $arrow(M)$. Укажите верное выражение.
|
||
|
||
1. $arrow(M) eq |arrow(p)| arrow(E)$
|
||
2. $arrow(M) eq |arrow(E)| arrow(p)$
|
||
3. $arrow(M) eq [arrow(E), arrow(p)]$
|
||
4. $M eq 0$
|
||
*5. $arrow(M) eq [arrow(p), arrow(E)]$*
|
||
|
||
*Ответ*: В однородном электрическом поле энергия $W$ изменяется за счет изменения угла $alpha$, при этом элементарная работа сил поля при повороте диполя равна: $d A eq M_alpha d alpha eq - d W$, где $arrow(M)_alpha eq [arrow(p) times arrow(E)]$ -- момент сил, действующий на диполь:
|
||
|
||
$
|
||
M_alpha eq -frac(partial W, partial alpha) eq -p E sin alpha
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== По витку радиусом $R$ течет ток силой $I$. Индукция магнитного поля $B$ в центре витка равна
|
||
|
||
1. $frac(mu_0 I , 2 pi R)$
|
||
*2. $frac(mu_0 I , 2 R)$*
|
||
3. $frac(mu_0 I , pi R)$
|
||
4. $frac(mu_0 I , 4 pi R)$
|
||
5. $frac(mu_0 I , 8 pi R)$
|
||
|
||
*Ответ*: По теореме Био-Савара-Лапласа:
|
||
|
||
$
|
||
d arrow(B) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac([d arrow(l), arrow(r)], r^3) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d l, r^2) eq \
|
||
eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(r d alpha, r^2) eq frac(mu_0 I, 4 pi) frac(d alpha, R).
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
B eq frac(mu_0 I, 4 pi R) integral_0^(2 pi) d alpha eq frac(mu_0 I 2 pi, 4 pi R) eq bold(frac(mu_0 I, 2 R))
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Поток вектора индукции электростатического поля через замкнутую поверхность
|
||
|
||
1. Равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри поверхности.
|
||
2. Равен сумме абсолютных величин связанных зарядов, находящихся внутри поверхности.
|
||
3. Равен сумме абсолютных величин всех зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную.
|
||
*4. Равен алгебраической сумме всех зарядов, охваченных поверхностью, деленную на электрическую постоянную.*
|
||
5. Равен нулю.
|
||
|
||
*Ответ*: По теореме Остроградского-Гаусса для вектора электрической индукции $arrow(D)$:
|
||
|
||
$
|
||
integral.surf_S arrow(D) d arrow(S) eq q_"внутр".
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Точечный заряд $q$ помещен в центр куба. Поток вектора напряженности через одну грань куба равен
|
||
|
||
1. $q/6$
|
||
*2. $q/(6 epsilon_0)$*
|
||
3. $q/(4 epsilon epsilon_0)$
|
||
4. $q/(epsilon_0)$
|
||
5. $epsilon epsilon_0 q$
|
||
|
||
*Ответ*: Из-за симметрии задачи, потоки вектора напряженности электрического поля через каждую из шести граней куба одинаковы. По теореме Остроградского-Гаусса полный поток $Phi$
|
||
|
||
$
|
||
Phi eq q/(epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
Поток через одну грань
|
||
|
||
$
|
||
Phi_1 eq q/(6 dot epsilon_0).
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Укажите все верные утверждения. В однородном изотропном диэлектрике, который помещен в однородное электрическое поле.
|
||
|
||
1. $"div" arrow(E) eq rho_"своб"$
|
||
2. $"div" arrow(P) eq -rho_"своб"$
|
||
*3. $"div" arrow(D) eq rho_"своб"$*
|
||
|
||
*4. $"div" arrow(P) eq -rho_"связ"$*
|
||
5. $"div" arrow(D) eq 0$
|
||
|
||
*Ответ*: Плотность связанных зарядов определяется формулой:
|
||
|
||
$
|
||
rho_"связ" eq - "div" arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Вектор электрической индукции:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Уравнения Гаусса для поля $E$
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(E) eq frac(rho_"полн", epsilon_0)
|
||
$
|
||
|
||
где
|
||
|
||
$
|
||
rho_"полн"eq rho_"своб" + rho_"связ"
|
||
$
|
||
|
||
Возьмем дивергенцию для
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Получим
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(D) eq epsilon_0 "div" arrow(E) + "div" arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Подставляем в уравнение Гаусса
|
||
|
||
$
|
||
eq epsilon_0 dot frac(rho_"своб" + rho_"связ", epsilon_0) + "div" arrow(P) eq \
|
||
eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Но мы знаем, что
|
||
|
||
$
|
||
rho_"связ" eq -"div" arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
то есть
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(D) eq rho_"своб" + rho_"связ" + "div" arrow(P) eq rho_"своб" -"div" arrow(P) + "div" arrow(P) eq rho_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
В результате получим
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела
|
||
|
||
*1. $D_(1 n) eq D_(2 n)$*
|
||
|
||
2. $D_(1 n) lt D_(2 n)$
|
||
3. $D_(1 n) gt D_(2 n)$
|
||
*4. $D_(1 tau) lt D_(2 tau)$*
|
||
|
||
5. $D_(1 tau) gt D_(2 tau)$
|
||
|
||
*Ответ*: Так как
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
Проинтегрировав, получим
|
||
|
||
$
|
||
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
Так как диэлектрики незаряжены
|
||
|
||
$
|
||
rho_"своб" eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
D_(1 n) eq D_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
Векторы $arrow(D)$ и $arrow(E)$ связаны
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon arrow(E)
|
||
$
|
||
|
||
Из уравнения
|
||
|
||
$
|
||
"rot" arrow(E) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Следует
|
||
|
||
$
|
||
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
|
||
$
|
||
|
||
Теперь умножаем на $epsilon$
|
||
|
||
$
|
||
D_(1 tau) eq epsilon_1 E_tau \
|
||
D_(2 tau) eq epsilon_2 E_tau
|
||
$
|
||
|
||
Так как
|
||
|
||
$
|
||
epsilon_2 gt epsilon_1
|
||
$
|
||
|
||
то
|
||
|
||
$
|
||
D_(2 tau) gt D_(1 tau)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Источник внутренним спротивлением $r$ подключен к нагрузке, сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость полезной мощности от $R$.
|
||
|
||
*Ответ*: По закону Ома для замкнутой цепи:
|
||
|
||
$
|
||
U eq cal(E) - I r
|
||
$
|
||
|
||
Домножим на $I$.
|
||
|
||
$
|
||
I U eq cal(E) I - I^2 r
|
||
$
|
||
|
||
Переставим слагаемые и воспользуемся $U eq I R$
|
||
|
||
$
|
||
I cal(E) eq I^2 R + I^2 r
|
||
$
|
||
|
||
где $I^2 R$ -- полезная мощность.
|
||
|
||
Полное сопротивление
|
||
|
||
$
|
||
R_"полн" eq R + r
|
||
$
|
||
|
||
Ток
|
||
|
||
$
|
||
I eq frac(cal(E), R + r)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда полезная мощность
|
||
|
||
$
|
||
P(R) eq I^2 dot R eq (frac(cal(E), R + r))^2 dot R eq frac(cal(E)^2 R, (R + r)^2)
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/2.png"),
|
||
supplement: [Рис.],
|
||
caption: [График $P(R)$.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Какая формула позволяет вычислить разность потенциалов между точками $A$ и $B$, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле напряженностью $E$.
|
||
|
||
1. $phi_A - phi_B eq - E dot l$
|
||
2. $phi_A - phi_B eq E dot l dot tg alpha$
|
||
*3. $phi_A - phi_B eq E dot l dot cos alpha$*
|
||
|
||
4. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot cos alpha$
|
||
5. $phi_A - phi_B eq -E dot l dot tg alpha$
|
||
|
||
*Ответ*: По определению разности потенциалов между точками $A$ и $B$
|
||
|
||
$
|
||
phi_A - phi_B eq integral_A^B arrow(E) dot d arrow(l)
|
||
$
|
||
|
||
Так как поле однородное, то $arrow(E) eq "const"$ и интеграл упрощается до
|
||
|
||
$
|
||
phi_A - phi_B eq arrow(E) dot d arrow(l)
|
||
$
|
||
|
||
И по определению скалярного произведения
|
||
|
||
$
|
||
phi_A - phi_B eq E l cos alpha
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Потенциальная энергия контура с магнитным моментом $arrow(P)_m$ в поле с индукцией $arrow(B)$ равна
|
||
|
||
1. $bold(- arrow(P)_m arrow(B))$
|
||
2. $- |arrow(P)_m| |arrow(B)|$
|
||
3. $arrow(P)_m times arrow(B)$
|
||
4. $arrow(P)_m arrow(B)$
|
||
5. $|arrow(P)_m| |arrow(B)|$
|
||
|
||
*Ответ*: Для контура с током магнитный момент:
|
||
|
||
$
|
||
arrow(p)_m eq I arrow(S)
|
||
$
|
||
|
||
Для электрического диполя в электрическом поле
|
||
|
||
$
|
||
U eq -arrow(p) dot arrow(E)
|
||
$
|
||
|
||
Для контура с током в магнитном поле:
|
||
|
||
$
|
||
U eq -arrow(p)_m dot arrow(B)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Магнитное поле проходит через границу раздела двух сред. Токи проводимости отсутствуют. $mu_2 gt mu_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела
|
||
|
||
*1. $B_(1 n) eq B_(2 n)$*
|
||
2. $B_(1 n) lt B_(2 n)$
|
||
3. $B_(1 n) gt B_(2 n)$
|
||
*4. $B_(1 tau) lt B_(2 tau)$*
|
||
5. $B_(1 tau) gt B_(2 tau)$
|
||
|
||
*Ответ*: Уравнение Максвелла для магнитного поля
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(B) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Проинтегрировав, получим
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont arrow(B) dot d arrow(S) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Переходя к пределу, получим граничное условие
|
||
|
||
$
|
||
B_(2 n) - B_(1 n) eq 0 arrow.double B_(2 n) eq B_(1 n)
|
||
$
|
||
|
||
Из уравнения Максвелла
|
||
|
||
$
|
||
"rot" arrow(H) eq arrow(j)_"пров"
|
||
$
|
||
|
||
По условию
|
||
|
||
$
|
||
arrow(j)_"пров" eq 0
|
||
$
|
||
|
||
То есть
|
||
|
||
$
|
||
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
|
||
$
|
||
|
||
Так как
|
||
|
||
$
|
||
arrow(B) eq mu arrow(H)
|
||
$
|
||
|
||
С учетом того, что $mu_2 gt mu_1$
|
||
|
||
$
|
||
B_(2 tau) gt B_(1 tau)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Укажите все выражения, которые входят в ток смещения
|
||
|
||
*1. $frac(partial arrow(P), partial t)$*
|
||
2. $frac(partial arrow(J), partial t)$
|
||
*3. $epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t)$*
|
||
4. $arrow(j)_"проводимости"$
|
||
5. $mu_0 frac(partial arrow(H), partial t)$
|
||
|
||
*Ответ*: По определению Максвелла плотность тока смещения
|
||
|
||
$
|
||
arrow(j)_"см" eq frac(partial arrow(D), partial t)
|
||
$
|
||
|
||
По определению $arrow(D)$
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Взяв производную по времени получим
|
||
|
||
$
|
||
frac(partial arrow(D), partial t) eq epsilon_0 frac(partial arrow(E), partial t) + frac(partial arrow(P), partial t)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== В реальном колебательном контуре резонанс по величине ЭДС индукции в катушке наступает при частоте внешней ЭДС
|
||
|
||
1. намного меньше собственной частоты контура
|
||
2. намного больше собственной частоты контура
|
||
3. примерно равной собственной частоте контура
|
||
4. чуть меньше собственной частоты контура
|
||
*5. чуть больше собственной частоты контура*
|
||
|
||
*Ответ*: хз.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Укажите все волновые уравнения
|
||
|
||
*1. $Delta arrow(E) eq frac(1, c^2) frac(partial^2 arrow(E), partial t^2)$*
|
||
2. $integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S (arrow(j) + frac(partial arrow(D), partial t)) d arrow(S)$
|
||
3. $integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d arrow(S)$.
|
||
4. $c eq frac(1, sqrt(epsilon_0 epsilon mu_0 mu))$
|
||
*5. $Delta arrow(H) eq frac(1, c^2) frac(partial^2 arrow(H), partial t^2)$*
|
||
|
||
*Ответ*: Волновое уравнение -- это дифференциальное уравнение вида
|
||
|
||
$
|
||
Delta arrow(F) eq frac(1, v^2) frac(partial^2 arrow(F), partial t^2)
|
||
$
|
||
|
||
где $Delta$ -- оператор Лапласа.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Эквипотенциальные поверхности поля точечного положительного заряда имеют вид
|
||
|
||
1. равноотстоящих друг от друга плоскостей
|
||
*2. концентрических сфер*
|
||
3. коаксиальных цилиндров
|
||
4. эллипсоидов вращения
|
||
5. пересекающихся плоскостей
|
||
|
||
*Ответ*: Эквипотенциальная поверхность -- это поверхность, на которой
|
||
|
||
$
|
||
phi eq "const"
|
||
$
|
||
|
||
Для точечного положительного заряда $q$
|
||
|
||
$
|
||
phi(r) eq frac(1, 4 pi epsilon_0) q/r
|
||
$
|
||
|
||
Если $phi eq "const"$, то из формулы следует
|
||
|
||
$
|
||
1/r eq "const" arrow.double r eq "const"
|
||
$
|
||
|
||
Множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, это сфера.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Укажите все верные утверждения. Электрическое поле проходит через границу раздела двух незаряженных диэлектриков $epsilon_2 gt epsilon_1$. Укажите все верные утверждения. На границе раздела
|
||
|
||
1. $E_(1 n) eq E_(2 n)$
|
||
2. $E_(1 n) lt E_(2 n)$
|
||
*3. $E_(1 n) gt E_(2 n)$*
|
||
4. $E_(1 tau) lt E_(2 tau)$
|
||
*5. $E_(1 tau) eq E_(2 tau)$*
|
||
|
||
*Ответ*: Закон Фарадея
|
||
|
||
$
|
||
"rot" arrow(E) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Интегрируя по малому контуру, пересекающему границу, получаем
|
||
|
||
$
|
||
E_(1 tau) eq E_(2 tau)
|
||
$
|
||
|
||
Из уравнения Гаусса
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(D) eq rho_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
Интегрирование дает
|
||
|
||
$
|
||
D_(2 n) - D_(1 n) eq rho_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
Так как диэлектрики незаряжены
|
||
|
||
$
|
||
rho_"своб" eq 0 arrow.double D_(1 n) eq D_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
Так как
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon epsilon_0 arrow(E)
|
||
$
|
||
|
||
Получим
|
||
|
||
$
|
||
epsilon_1 E_(1 n) eq epsilon_2 E_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
Тогда если
|
||
|
||
$
|
||
epsilon_1 lt epsilon_2
|
||
$
|
||
|
||
То
|
||
|
||
$
|
||
E_(1 n) gt E_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Проводящий шар заряжен положительным зарядом. Внутри шара
|
||
|
||
1. линии напряженности замкнуты
|
||
2. линии напряженности идут вдоль радиусов к поверхности
|
||
3. линии напряженности идут вдоль радиусов к центру
|
||
*4. напряженность поля равна нулю*
|
||
5. линии напряженности перпендикулярны радиусам шара
|
||
|
||
*Ответ*: В электростатическом равновесии внутри проводника
|
||
|
||
$
|
||
arrow(E) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Укажите все верные утверждения
|
||
|
||
1. Первый закон Кирхгофа является следствием закона Кулона
|
||
*2. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда *
|
||
*3. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.*
|
||
4. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Джоуля-Ленца.
|
||
5. Второй закон Кирхгофа является следствием закона Ома для однородного участка цепи.
|
||
|
||
*Ответ*: По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле равна нулю
|
||
|
||
$
|
||
sum I eq 0
|
||
$
|
||
|
||
то есть
|
||
|
||
$
|
||
sum I_"вход" eq sum I_"выход"
|
||
$
|
||
|
||
то есть заряд не накапливается в узле.
|
||
|
||
По второму закону Кирхгофа в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.
|
||
|
||
$
|
||
sum E eq sum I R
|
||
$
|
||
|
||
или эквивалентно:
|
||
|
||
$
|
||
sum U eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Закон сохранения заряда
|
||
|
||
$
|
||
frac(d q, d t) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Закон Ома для неоднородного участка цепи
|
||
|
||
$
|
||
U eq I R minus cal(E)
|
||
$
|
||
|
||
или
|
||
|
||
$
|
||
I R eq U + cal(E)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Укажите формулу, которая всегда окажется верной при вычислении объемной плотности энергии электричского поля
|
||
|
||
1. $frac(arrow(E) arrow(D), 2)$
|
||
2. $frac(|arrow(E)||arrow(D)|, 2)$
|
||
3. $frac(epsilon_0 epsilon |arrow(E)|^2, 2)$
|
||
4. $arrow(D) arrow(E)$
|
||
5. $frac(|arrow(D)|^2, 2 epsilon_0 epsilon)$
|
||
|
||
*Ответ*: Объемная плотность энергии $w eq frac(arrow(E) arrow(D), 2)$ содержит в себе как собственную энергию электрического поля $frac(epsilon_0 E^2, 2)$, так и энергию поляризации диэлектрика $frac(arrow(E) arrow(P), 2)$.
|
||
|
||
=== Укажите все верные утверждения. Магнитное поле создают
|
||
|
||
*1. Электрический ток*
|
||
*2. Движущаяся заряженная частица*
|
||
3. Потенциальное электрическое поле
|
||
4. Вихревое электрическое поле
|
||
*5. Ток смещения*
|
||
|
||
*Ответ*: По закону Био-Савара и Ампера
|
||
|
||
$
|
||
arrow(B) tilde arrow(j)
|
||
$
|
||
|
||
Движущийся заряд -- это микроскопический ток. Если заряд $q$ движется со скоростью $arrow(v)$, он создает магнитное поле:
|
||
|
||
Если заряд $q$ движется со скоростью $arrow(v)$, он создает магнитное поле
|
||
|
||
$
|
||
arrow(B) prop q arrow(v)
|
||
$
|
||
|
||
Ток смещения
|
||
|
||
$
|
||
arrow(j)_"см" eq frac(partial arrow(D), partial t)
|
||
$
|
||
|
||
создает магнитное поле наравне с током проводимости.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Магнитное поле проходит через границу раздела двух однородных изотропных магнетиков $mu_2 gt mu_1$. Токи проводимости отсутствуют. Укажите все верные утверждения. На границе раздела
|
||
|
||
1. $H_(1 n) eq H_(2 n)$
|
||
2. $H_(1 n) lt H_(2 n)$
|
||
*3. $H_(1 n) gt H_(2 n)$*
|
||
4. $H_(1 tau) lt H_(2 tau)$
|
||
*5. $H_(1 tau) eq H_(2 tau)$*
|
||
|
||
*Ответ*: Связь между $arrow(B)$ и $arrow(H)$
|
||
|
||
$
|
||
arrow(B) eq mu arrow(H)
|
||
$
|
||
|
||
Из уравнения Максвелла
|
||
|
||
$
|
||
"div" arrow(B) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Следует
|
||
|
||
$
|
||
B_(1 n) eq B_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим и получим
|
||
|
||
$
|
||
mu_1 H_(1 n) eq mu_2 H_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
Так как
|
||
|
||
$
|
||
mu_2 gt mu_1
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
H_(1 n) gt H_(2 n)
|
||
$
|
||
|
||
Из уравнения Максвелла
|
||
|
||
$
|
||
"rot" arrow(H) eq arrow(j)_"пров"
|
||
$
|
||
|
||
По условию
|
||
|
||
$
|
||
arrow(j)_"пров" eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Тогда
|
||
|
||
$
|
||
H_(1 tau) eq H_(2 tau)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Данная система уравнений Максвелла соответствует случаю, когда
|
||
|
||
$
|
||
cases(
|
||
integral.cont_L arrow(E) d arrow(l) eq -integral_S frac(partial arrow(B), partial t) d arrow(S),
|
||
integral.cont_L arrow(H) d arrow(l) eq integral_S (arrow(j) + frac(partial arrow(D), partial t) d arrow(S)),
|
||
integral.cont_S arrow(D) d arrow(S) eq 0,
|
||
integral.cont_S arrow(B) d arrow(S) eq 0
|
||
)
|
||
$
|
||
|
||
1. электрическое и магнитное поля не изменяются во времени
|
||
2. отсутствуют токи смещения
|
||
3. отсутствуют токи проводимости
|
||
*4. отсутствуют свободные заряды*
|
||
5. отсутствуют связанные заряды
|
||
|
||
*Ответ*: В общем случае третье уравнение Максвелла выглядит следующим образом
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont_S arrow(D) dot d arrow(S) eq Q_"своб"
|
||
$
|
||
|
||
В задаче
|
||
|
||
$
|
||
integral.cont_S arrow(D) dot d arrow(S) eq 0
|
||
$
|
||
|
||
Значит
|
||
|
||
$
|
||
Q_"своб" eq 0
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== В изображенной на рисунке точке $A$ магнитное поле направлено по стрелке
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/3.png"),
|
||
caption: [Поясняющий рисунок.],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
1. $1$
|
||
*2. $2$*
|
||
3. $3$
|
||
4. $4$
|
||
5. $5$
|
||
|
||
*Ответ*: хз.
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Зависимость смещения материальной точки от времени определяется уравнением $x eq 0.12 cos(20 t + 0.2)$. Определите период колебаний.
|
||
|
||
*Ответ*: Общий вид уравнения колебаний
|
||
|
||
$
|
||
x(t) eq A cos(omega t + phi_0)
|
||
$
|
||
|
||
где $A$ -- амплитуда, $omega$ -- циклическая (угловая) частота, $phi_0$ -- начальная фаза.
|
||
|
||
Для данного уравнения
|
||
|
||
$
|
||
omega eq 20 "рад/с"
|
||
$
|
||
|
||
По формуле
|
||
|
||
$
|
||
T eq frac(2 pi , omega)
|
||
$
|
||
|
||
Подставив число, получим
|
||
|
||
$
|
||
T approx 0.314 "с"
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Напряженность поля диполя при удалении от него
|
||
|
||
1. не изменяется
|
||
2. убывает пропорционально первой степени расстояния до центра диполя
|
||
3. убывает пропорционально квадрату расстояния до центра диполя
|
||
*4. убывает пропорционально кубу расстояния до центра диполя*
|
||
5. убывает пропорционально корню квадратному из расстояния до центра диполя
|
||
|
||
*Ответ*:
|
||
|
||
$
|
||
E tilde frac(k q l, r^3)
|
||
$
|
||
|
||
где $q l eq p$ -- дипольный момент.
|
||
|
||
$
|
||
E tilde frac(p, r^3)
|
||
$
|
||
|
||
=== Пластина из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $epsilon$ помещена параллельно пластинам в заряженный плоский конденсатор. Как связаны между собой векторы электрической индукции $D$ и поляризации диэлектрика $P$.
|
||
|
||
1. $arrow(D) eq epsilon_0 epsilon arrow(P)$
|
||
*2. $arrow(D) eq frac(epsilon arrow(P), epsilon - 1)$*
|
||
3. $arrow(D) eq -frac(epsilon arrow(P), epsilon - 1)$
|
||
4. $arrow(D) eq -(epsilon - 1) arrow(P)$
|
||
5. $arrow(D) eq (epsilon - 1) arrow(P)$
|
||
|
||
*Ответ*: По определению электрической индукции
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
Связь поляризации (поляризованности) с полем
|
||
|
||
$
|
||
arrow(P) eq epsilon_0 (epsilon - 1) arrow(E)
|
||
$
|
||
|
||
Выразим $arrow(E)$ через $arrow(P)$
|
||
|
||
$
|
||
arrow(E) eq frac(arrow(P), epsilon_0 (epsilon - 1))
|
||
$
|
||
|
||
Подставляем в формулу для $arrow(D)$
|
||
|
||
$
|
||
arrow(D) eq epsilon_0 arrow(E) + arrow(P) eq epsilon_0 dot frac(arrow(P), epsilon_0 (epsilon - 1)) + arrow(P) eq frac(arrow(P), epsilon - 1) + arrow(P) eq frac(epsilon, epsilon - 1) arrow(P)
|
||
$
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Плоский воздушный конденсатор заряжен и отключен от источника. Конденсатор заполняют диэлектриком. Выберите все верные утверждения.
|
||
|
||
1. напряженность поля в конденсаторе увеличивается
|
||
*2. напряженность поля в конденсаторе уменьшается*
|
||
3. напряжение на конденсаторе увеличивается
|
||
4. заряд конденсатора увеличивается
|
||
*5. заряд конденсатора не изменится*
|
||
|
||
*Ответ*: Если конденсатор отключен, то
|
||
|
||
$
|
||
Q eq "const"
|
||
$
|
||
|
||
При заполнении диэлектриком с $epsilon gt 1$:
|
||
|
||
$
|
||
C eq epsilon C_0
|
||
$
|
||
|
||
емкость увеличивается
|
||
|
||
Так как $Q eq "const"$, а $C$ увеличилось, то из формулы
|
||
|
||
$
|
||
Q eq C U
|
||
$
|
||
|
||
видно, что напряжение уменьшается
|
||
|
||
Так как $U$ уменьшается, а $d$ не меняется, то из формулы
|
||
|
||
$
|
||
E eq U/d
|
||
$
|
||
|
||
$E$ уменьшается
|
||
|
||
#line(length: 100%)
|
||
|
||
=== Источник внутренним сопротивлением $r$ подключен к нагрузке сопротивлением $R$. Какой из графиков правильно качественно отражает зависимость КПД источника от $R$.
|
||
|
||
*Ответ*: По закону Ома
|
||
|
||
$
|
||
U eq cal(E) - I r
|
||
$
|
||
|
||
Домножим на $I$
|
||
|
||
$
|
||
cal(E) I eq I^2 R + I^2 r
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
P_"общ" eq cal(E) I \
|
||
P_"полезн" eq I^2 R
|
||
$
|
||
|
||
$
|
||
eta eq frac(P_"полезн", P_"общ") eq frac(I^2 R, I cal(E)) eq frac(I R, cal(E))
|
||
$
|
||
|
||
По закону Ома для полной цепи
|
||
|
||
$
|
||
I eq frac(cal(E), R + r)
|
||
$
|
||
|
||
Подставим и получим
|
||
|
||
$
|
||
eta(R) eq frac(E, R + r) dot R/E eq frac(R, R + r)
|
||
$
|
||
|
||
#align(center)[
|
||
#figure(
|
||
image("assets/4.png"),
|
||
caption: [],
|
||
supplement: [Рис.]
|
||
)
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|