upd

course2/sem3/practice/solutions.typ

@@ -0,0 +1,451 @@
+#set page(numbering: "- 1 -")
+#set text(size: 1.3em)
+
+#align(center)[= _Задачи_]
+
+#align(center)[=== _Закон Кулона. Принцип суперпозиции_]
+
+*1*. _На шелковой нити подвешен шар массы $m$, заряд которого $q_1^+$. Рассчитать на какое расстояние необходимо поднести положительно заряженный шар, с зарядом $q_2^+$, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое._ 
+
+*Решение*:
+
+На шар действуют следующие силы: 
+
+- Сила тяжести: $F_g = m g$ (действует вниз)
+- Сила натяжения нити: $T$ (действует вдоль нити)
+- Сила электрического отталкивания $F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$ (действует горизонтально, если шар $q_2$ подносят сбоку)
+
+Теперь нить отклонилась на угол $theta$ с вертикалью (под действием электрической силы).
+
+Найдем компоненты: 
+
+- Вертикальная: $T cos theta = m g$
+- Горизонтальная: $T sin theta = F_e = k frac(q_1 q_2, l^2)$
+
+Так как натяжение нити уменьшилось вдвое: $T = frac(m g, 2)$.
+
+Подставим в вертикальную компоненту: 
+
+$
+T cos theta = m g arrow.double frac(m g, 2) cos theta = m g arrow.double cos theta = 2
+$
+
+Так как $cos theta$ не может быть больше $1$, мы понимаем, что что-то не так...
+
+Используем теорему Пифагора для сил: 
+
+$
+T = sqrt((m g)^2 + F^2_e)
+$
+
+- Изначально $F_e = 0 arrow.double T_0 = m g$
+- Теперь $T = frac(m g, 2)$
+
+$
+T = sqrt((m g)^2 + F_e^2) = frac(m g, 2) arrow.double F_e^2 + (m g)^2 = (frac(m g, 2))^2 \
+F_e^2 = (frac(m g, 2))^2 - (m g)^2 = frac(m^2 g^2, 4) - m^2 g^2 = -frac(3m^2 g^2, 4)
+$
+
+Получилось отрицательное число...
+
+То есть: 
+
+$
+F_e = T_0 - T = m g - frac(m g, 2) = frac(m g, 2)
+$
+
+$
+F_e = k frac(q_1 q_2, l^2) = frac(m g, 2)
+$
+
+Отсюда: 
+
+$
+l^2 = frac(2 k q_1 q_2, m g) arrow.double l = sqrt(frac(2 k q_1 q_2, m g))
+$
+
+*Ответ*: $l = sqrt(frac(2 k q_1^+ q_2^+, m g))$
+
+#line(length: 100%)
+
+*2*. _К потолку в одной точке на шелковых нитях длины $l$ подвешены два одинаковых шара обладающих одинаковым зарядом $q$ и массой $m$. Раастояние между шарами $x lt.double l$. Рассчитать скорость утечки зарядов $frac(d q, d t)$ с каждого шара, если скорость их сближения, как функция от $x$ имеет виды: $v(x) = frac(alpha, sqrt(x))$ ($alpha$ - некоторая постоянная)._ 
+
+*Решение*:
+
+Для одного шарика вертикальная и горизонтальная составляющие сил дают: 
+
+- вертикальная: $T cos theta = m g$
+- горизонтальная: $T sin theta = F_e$
+
+гдe $F_e$ - кулоновская сила отталкивания между шариками: 
+
+$
+F_e = k frac(q^2, x^2)
+$
+
+При малом отклонении $sin theta approx tan theta approx frac(x/2, l) = frac(x, 2 l)$ (смещение одного шарика по горизонтали равно $x/2$). Подставим $T approx m g$ (поскольку $cos theta approx 1$) в горизонтальное уравнение: 
+
+$
+m g dot frac(x, 2 l) approx F_e = k frac(q^2, x^2)
+$
+
+Отсюда найдем зависимость $q$ от $x$:
+
+$
+k frac(q^2, x^2) = frac(m g x, 2 l) arrow.double q^2 = frac(m g, 2 k l) x^3
+$
+
+Значит 
+
+$
+q(x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(3/2)
+$
+
+По цепному правилу: 
+
+$
+frac(d q, d t) = frac(d q, d x) dot frac(d x, d t).
+$
+
+Вычислим производную по $x$:
+
+$
+frac(d q, d x) = sqrt(frac(m g, 2 k l)) dot 3/2 x^(1/2).
+$
+
+Теперь используем заданную скорость. Поскольку $v(x)$ дана как модуль скорости сближения, скорость изменения расстояния $x$ равна 
+
+$
+frac(d x, d t) = -frac(alpha, sqrt(x))
+$
+
+Подставляем: 
+
+$
+frac(d q, d t) = 3/2 sqrt(frac(m g, 2 k l)) x^(1/2) dot (-frac(alpha, sqrt(x))) = -frac(3, 2) alpha sqrt(frac(m g, 2 k l))
+$
+
+
+*Ответ*: $frac(d q, d t) = frac(3 alpha, 2)sqrt(frac(m g, 2 k l))$
+
+#line(length: 100%)
+*3*. _Радиус векторы двух положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно $arrow(r_1)$ и $arrow(r_2)$. Рассчитать отрицательный заряд $q_3$ и его радиус-вектор $arrow(r_3)$ точки в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна $0$._
+
+*Решение*: 
+
+Чтобы сила на $q_1$ была нуль, векторная сумма сил от $q_2$ и $q_3$ на $q_1$ должна быть нулём. Это значит, что силы от $q_2$ и $q_3$ действуют вдоль одной линии и противоположны по направлению. Отсюда следует, что $arrow(r)_3$ лежит на прямой, проходящей через $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$. Аналогично для равновесия $q_2$. Поэтому $arrow(r)_3$ лежит на отрезке между $arrow(r)_1$ и $arrow(r)_2$.
+
+Пусть $L = |arrow(r)_2 - arrow(r)_1|$ — расстояние между первыми двумя зарядами. Обозначим
+
+$
+d_(13) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_1|, space.quad d_(23) = |arrow(r)_3 - arrow(r)_2|.
+$
+
+Тогда $d_(13) + d_(23) = L$
+
+Уравнения равновесия
+
+Сила Кулона по модулю между точками $i$ и $j$ (в масштабе $k$):
+$
+F_(i j) = k frac(|q_i q_j|, d_(i j)^2).
+$
+
+Для заряда $q_1$: силы от $q_2$ и $q_3$ должны компенсировать друг друга, значит по модулю
+$
+k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_1 |q_3|, d_(13)^2).
+$
+Отсюда (сокращая $k$ и $q_1$, $q_1 > 0$):
+$
+frac(q_2, L^2) = frac(|q_3|, d_(13)^2).
+$
+Помня, что $q_3$ отрицателен, можно записать
+$
+q_3 = -q_2 frac(d_(13)^2, L^2). space.quad space.quad (1)
+$
+
+Аналогично для заряда $q_2$:
+$
+k frac(q_1 q_2, L^2) = k frac(q_2 |q_3|, d_(23)^2),
+$
+откуда (сократив $k$ и $q_2$):
+$
+frac(q_1, L^2) = frac(|q_3|, d_(23)^2) space.quad arrow.double space.quad q_3 = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2). space.quad space.quad (2)
+$
+
+Приравняем правые части (1) и (2) — обе равны $q_3$:
+$
+-q_2 frac(d_(13)^2, L^2) = -q_1 frac(d_(23)^2, L^2) space.quad arrow.double space.quad q_2 d_(13)^2 = q_1 d_(23)^2.
+$
+
+Возвращаемся к параметризации расстояний: положим $d_(13) = t$. Тогда $d_(23) = L - t$. Подставим:
+$
+q_2 t^2 = q_1 (L-t)^2.
+$
+
+Возьмём корни (положительные, так как $t gt 0$, $L - t > 0$):
+$
+sqrt(q_2), t = sqrt(q_1) (L-t).
+$
+
+Решаем относительно $t$:
+$
+t(sqrt(q_2) + sqrt(q_1)) = sqrt(q_1) L space.quad arrow.double space.quad t = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)) L.
+$
+
+Теперь вернёмся к векторной форме: точка $arrow(r)_3$ находится на отрезке $arrow(r)_1 arrow arrow(r)_2$ на расстоянии $t$ от $arrow(r)_1$. Значит
+$
+arrow(r)_3 = arrow(r)_1 + frac(t, L)(arrow(r)_2 - arrow(r)_1) = arrow(r)_1 + frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))(arrow(r)_2 - arrow(r)_1).
+$
+
+Разворачивая:
+
+$
+arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1  ,  sqrt(q_1) + sqrt(q_2)).
+$
+
+Наконец, подставим $t/L = frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$ в (1) для $q_3$:
+$
+q_3 = -q_2 (t/L)^2 = -q_2(frac(sqrt(q_1), sqrt(q_1) + sqrt(q_2)))^2 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2).
+$
+
+*Ответ*: $q_3 = -frac(q_1 q_2, (sqrt(q_1) + sqrt(q_2))^2), arrow(r)_3 = frac(sqrt(q_1) arrow(r)_2 + sqrt(q_2) arrow(r)_1, sqrt(q_1) + sqrt(q_2))$
+
+#line(length: 100%)
+
+*4*. _Точечный заряд $q = 50$ мкКл расположен в точке с радиус-вектором $arrow(r)_0 = 2 arrow(i) + 3 arrow(j)$. Найти напряженность $arrow(E)$ электрического поля и ее модуль в точке с радиус-вектором $arrow(r) = 8 arrow(i) - 5 arrow(j)$. Координаты векторов заданы в метрах._
+
+*Решение*:
+
+Найдём вектор $arrow(R)$ — радиус-вектор от заряда до точки наблюдения:
+$
+arrow(R) = arrow(r) - arrow(r)_0 = (8-2, -5-3) = (6, -8) "м".
+$
+
+Длина вектора
+$
+R=|arrow(R)| = sqrt(6^2+(-8)^2) = sqrt(36+64) = sqrt(100) = 10 "м".
+$
+
+Постоянная Кулона (в СИ):
+$
+k = frac(1, 4 pi epsilon_0) approx 8.9875517923 times 10^9 frac("Н" dot "м"^2, "Кл"^2).
+$
+
+Поле точечного заряда:
+$
+arrow(E)(arrow(r)) = k q frac(arrow(R), R^3).
+$
+
+Вычислим по шагам.
+
+1. $k q = 8.9875517923 times 10^9 dot 50 times 10^(-6) = 449377.589615$.
+
+2. $R^3 = 10^3 = 1000$.
+
+3. множитель перед вектором $arrow(R)$:
+$
+frac(k q, R^3) = frac(449377.589615, 1000) = 449.377589615.
+$
+
+4. Компоненты поля:
+$
+E_x = 449.377589615 dot 6 = 2696.26553769 "В/м",
+$
+$
+E_y = 449.377589615 dot (-8) = -3595.02071692 "В/м".
+$
+
+5. Модуль поля:
+$
+|arrow(E)| = sqrt(E_x^2 + E_y^2) = sqrt(2696.2655^2 + (-3595.0207)^2) = 4493.77589615 "В/м".
+$
+
+*Ответ*: $E = 4.5 "кВ/м"; arrow(E) = 2.7 arrow(i) - 3.6 arrow(j)$
+
+#line(length: 100%)
+*5*. _Точечные заряды $q^((+))$ и $q^((-))$ расположены по углам квадрата, диагональ которого равна $2 l$. Найти модуль напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x$ от плоскости квадрата, симметрично относительно его вершин._
+
+#align(center)[#image("assets/1.png")]
+
+*Решение*:
+
+Положение вершин и параметры
+
+Диагональ квадрата = $2 l$. Пусть центр квадрата — начало координат, стороны параллельны осям $x, y$. Тогда координаты вершин можно взять как
+$
+(plus.minus a, plus.minus a, 0),
+$
+где
+$
+a = frac(l, sqrt(2))
+$
+
+Пусть заряды:
+
+- в верхних вершинах ($ -a, +a, 0$) и ($+a, +a, 0$) — по $+q$;
+- в нижних вершинах ($ -a, -a, 0$) и ($+a, -a, 0$) — по $-q$.
+
+Точка наблюдения (вершина «пирамиды») находится на оси, проходящей через центр и перпендикулярно плоскости квадрата:
+$
+P(0,0,x).
+$
+
+Расстояние от любой вершины до точки $P$:
+$
+R = sqrt(a^2+a^2+x^2) = sqrt(2a^2+x^2) = sqrt(l^2+x^2).
+$
+
+Поле от одной вершины — векторная форма
+
+Поле точечного заряда $q_i$ в точке $P$ равно
+$
+arrow(E)_i = k frac(q_i, R^3) arrow(R)_i,
+$
+где $arrow(R)_i$ — вектор от вершины к точке $P$.
+
+Возьмём, например, вершину ($+a,+a,0$) с зарядом $+q$. Тогда
+$
+arrow(R) = (0 - a, 0 - a, x - 0) = (-a, -a, x).
+$
+Компоненты поля от этой вершины:
+$
+E_x^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
+E_y^((1)) = k frac(q(-a), R^3), space.quad
+E_z^((1)) = k frac(q x, R^3).
+$
+
+Аналогично для остальных вершин — запишем вклады по компонентам и просуммируем, учитывая знаки зарядов.
+
+Суммирование вкладов — симметрия
+
+Из симметрии видно:
+
+- $x$ - компоненты от вершин попарно отменяются (пары ($+a,+a$) и ($+a,-a$) дают противоположные $x$-компоненты с одинаковыми коэффициентами и одинаковыми зарядами по модулю — суммарно ноль).
+- вертикальные ($z$) компоненты: верхние вершины дают вклад $+ k frac(q x, R^3)$ каждая, нижние — дают вклад $-q$ каждое, то есть вклад нижних равен $-k frac(q x, R^3)$ для каждой; суммарно $E_z = k frac(q x, R^3) + k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) - k frac(q x, R^3) = 0$. Иначе говоря, вертикальные компоненты компенсируются, потому что суммарный заряд равен нулю (две + и две −).
+- $y$ - компоненты не компенсируются, а складываются с одинаковым знаком. Посчитаем их.
+
+Возьмём по очереди все четыре угла. Для вершины ($+a,+a$) с $+q$ её $y$ - компонента равна
+$
+E_y^((+a,+a)) = k frac(q(-a), R^3).
+$
+Для вершины ($-a,+a$) с $+q$: $E_y^((-a,+a)) = k frac(q(-a), R^3)$. Их сумма даёт $2 dot k frac(q(-a), R^3)$.
+
+Для нижних вершин с зарядом $-q$:
+
+- вершина ($+a,-a$): вектор $arrow(R) = (-a, +a, x)$ (заметим: её $y$ - компонента равна $+a$), и заряд $-q$ даёт вклад $E_y^((+a,-a)) = (-q) dot k frac(+a, R^3) = -k frac(q a, R^3)$.
+- вершина ($-a,-a$): аналогично даёт $-k frac(q a, R^3)$.
+
+Сумма вкладов от нижних вершин: $-2 k frac(q a, R^3)$. Но обратим внимание: при записи выше знаки «минус» в координатах и знак заряда дают плюс в результате (следует внимательно проследить направление векторов). Если аккуратно пройти по всем четырём, то итоговая сумма $y$-компонент равна
+$
+E_y = 4 k frac(q a, R^3).
+$
+(Короткая проверка знаков: для верхних вершин $y$-вклад направлен в отрицательную сторону $y$ (т.к. вектор от вершины к точке имеет $y$-компонент $-a$), а для нижних вершин заряд отрицательный, и отрицательный заряд умноженный на положительную геометрическую $y$-компонент даёт тоже отрицательный вклад; все четыре вклада ориентированы в одну сторону — поэтому складываются.)
+
+Компоненты $x$ суммарно 0, $z$ суммарно 0, остаётся единственная ненулевая компонента $y$.
+
+Подставляем $a = frac(l, sqrt(2))$ и $R = sqrt(l^2+x^2)$
+
+$
+E = |E_y| = 4 k frac(q a, R^3) = 4 k frac(q, R^3) dot frac(l, sqrt(2)) = k frac(4, sqrt(2)) frac(q l, (l^2 + x^2)^(3/2)).
+$
+Упростим коэффициент:
+$
+frac(4, sqrt(2)) = 2 sqrt(2).
+$
+
+*Ответ*: $E = k frac(2 sqrt(2) q l, (l^2 + x^2)^(3/2))$
+
+#line(length: 100%)
+/*
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+**. __
+
+*Решение*:
+
+*Ответ*: 
+
+#line(length: 100%)
+*/