theory upd

course2/sem3/theory/qa.typ

@@ -189,41 +189,152 @@ $
 phi(arrow(r)) = frac(W(arrow(r)), q).
 $
 
+По физическому смыслу потенциал численно равен энергии единичного положительного заряда в данной точке. Единицей потенциала является *вольт* (В).
+
+Потенциал поля точечного заряда: 
+
+$
+phi = frac(q, 4 pi epsilon_0 r)
+$
+
+Потенциал на бесконечности ($r arrow infinity$) условно полагают равным нулю.
+
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*16*. Чему равен потенциал системы точечных зарядов?_
 
-*A*:
+*A*: Потенциал системы неподвижных точечных зарядов: 
+
+$
+phi = frac(1, 4 pi epsilon_0) sum_i frac(q_i, r_i)
+$
+
+где $r_i$ - расстояние от точечного заряда $q_i$ до интересующей нас точки поля.
+
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*17*. Чему равен потенциал в случае непрерывного распределения заряда плотностью $rho$?_
 
-*A*:
+*A*: Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то формула для потенциала имеет вид: 
+
+$
+phi = frac(1, 4 pi epsilon_0) integral frac(rho d V, r),
+$
+
+где $rho$ - объемная плотность заряда в месте нахождения объема $d V$. Интегрирование проводится или по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды.
+
+Если заряды расположены только на поверхности $S$, то
+
+$
+phi = frac(1, 4 pi epsilon_0) integral frac(sigma d S, r)
+$
+
+где $sigma$ - поверхностная плотность заряда, $d S$ - элемент поверхности $S$. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно.
+
+Потенциал поля можно также определить следующим образом: 
+
+$
+phi_1 - phi_2 = integral_1^2 arrow(E) d arrow(l),
+$
+
+где $phi_1, phi_2$ - значения потенциала в точках 1 и 2.
+
+Работа сил поля при перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2: 
+
+$
+A_(1-2) = q(phi_1 - phi_2)
+$
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*18*. Сформулировать теорему о циркуляции поля $arrow(E)$ в дифференциальной форме._ 
 
-*A*:
+*A*: Теорема о циркуляции поля $arrow(E)$ в дифференциальном виде: 
+
+$
+"rot" arrow(E) = 0
+$
+
+Вид ротора $arrow(E)$ зависит от выбранной системы координат. В жекартовых координатах: 
+
+$
+"rot" arrow(E) = [gradient, arrow(E)] = mat(delim: "|", hat(i), hat(j), hat(k); frac(diff, diff x), frac(diff, diff y), frac(diff, diff z); E_x, E_y, E_z)
+$
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*19*. Как связаны между собой напряженность электростатического поля $arrow(E)$ и его потенциал?_
 
-*A*:
+*A*: $arrow(E) = -"grad" phi$ - с помощью этой формулы устанавливается взаимно однозначная связь между силовым полем $arrow(E)(arrow(r))$ и энергетическим потенциалом $phi(arrow(r))$ - по одному из них можно найти другое.
+
+Оператор градиента $"grad" phi$ по величине равен производной $phi$ по перемещению в направлении наибольшего роста функции.
+
+Явное выражение $"grad" phi$ зависит от выбранной системы координат. В декартовой системе координат: 
+
+$
+arrow(E) = -"grad" phi = -arrow(gradient) phi = -(hat(i)frac(diff phi, diff x) + hat(j)frac(diff phi, diff y) + hat(k)frac(diff phi, diff z))
+$
+
+*Пример.* Надо найти $arrow(E)(arrow(r))$ поля, потенциал которого равен: 
+
+1. $phi(x, y) = -a x y$, где $a$ некоторая скалярная константа;
+2. $phi(arrow(r)) = -arrow(a)arrow(r)$, где $arrow(a)$ некоторый постоянный вектор.
+
+*Решение.* 
+
+1. $arrow(E) = a(hat(i)y + hat(j)x)$.
+2. $arrow(E) = gradient (arrow(a) arrow(r)) = gradient (a_x x + a_y y + a_z z) = hat(i) a_x + hat(j)a_y + hat(k) a_z = arrow(a)$. 
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*20*. Что такое эквипотенциальная поверхность?_
 
-*A*:
+*A*: Электрическое поле можно наглядно представить не только с помощью силовых линий, но и эквипотенциальных поверхностей $phi(arrow(r)) = "Const"$. Качественно легко по одной картине построить другую. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*21*. Как расположены друг относительно друга эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля $arrow(E)$?_
 
-*A*:
+*A*: Если проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одинаковой, то расстояние между ними будут обратно пропорционально величине напряженности. На рисунке представлена примерная двумерная картина электрического поля: пунктиром обозначены сечения эквипотенциальных поверхностей, сплошными линиями - силовые линии.
+
+// #align(center)[#image("assets/2.svg")]
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*22*. Дайте определение электрического диполя._
 
-*A*:
+*A*: Система из двух точечных зарядов равных по модулю и противоположных по знаку $(-q, +q)$, расстояние между которыми $l$ называется *электрическим диполем* и характеризуется *электрическим дипольным моментом*: 
+
+$
+arrow(p) = q arrow(l),
+$
+
+где вектор $arrow(l)$ проводится от $-q$ до $+q$.
+
+Потенциал диполя в точке, распололженной на большом расстоянии от него $(r gt.double l)$, имеет вид: 
+
+$
+phi(r, theta) = k frac(p cos theta, r^2) = k frac(arrow(p) arrow(r), r^3).
+$
+
+В полярных координатах $(r, theta)$ компоненты вектора напряженности электрического поля диполя записываются следующим образом: 
+
+$
+E_r = -frac(diff phi, diff r) = k frac(2 p cos theta, r^3)
+$
+
+$
+E_theta = -frac(diff phi, r diff theta) = k frac(p sin theta, r^3)
+$
+
+$
+E = sqrt(E^2_r + E^2_theta) = k frac(p, r^3) sqrt(1 + 3 cos^2 theta)
+$
+
+// #align(center)[#image("assets/3.svg")]
+
+Потенциальная энергия диполя в электрическом поле: 
+
+$
+W = -arrow(p) dot arrow(E) = -p E(r) cos alpha,
+$
+
+где $alpha$ - угол между $arrow(E)(arrow(r))$ и $arrow(p)$.
 
 #line(length: 100%)
 *Q*: _*23*. Что такое электрический дипольный момент?_