add part2

README.md

@@ -0,0 +1 @@
+[Course table link](https://docs.google.com/spreadsheets/d/15_r8BymHYmLIJuxCtEjRy-AioxzkFk9L85kjISaC0hk/edit?gid=733524300#gid=733524300)

labs/lab1/part1/res.typ

@@ -0,0 +1,218 @@
+#set page(numbering: "1")
+
+#align(center)[= _Задания ЛР1. Команда 3_]
+
+#align(center)[=== _Тема 1. Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей._]
+
+*3*. _Цифры от $1$ до $9$ располагаются в случайном порядке. Какова вероятность того, что все нечетные цифры окажутся на нечетных местах?_
+
+*Решение*: мы можем расставить $9$ цифр на $9$ местах $9!$ способами. $5$ нечетных цифр на $5$ нечетных позициях $5!$ способами. $4$ четных цифры на $4$ четных позиции $4!$ способами. То есть совместное количество способов $4! dot 5! = 2880$.
+
+Итоговая вероятность: 
+
+$
+P = frac(2880, 362880) = frac(1, 126)
+$
+
+*Ответ*: $frac(1, 126)$
+
+#line(length: 100%)
+
+*13*. _Обезьяна выкладывает карточки с буквами *К, Р, О, К, О, Д, И, Л* в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что у нее получится выложить слово *КРОКОДИЛ*?_
+
+*Решение*: Всего 8 букв, но буквы 'K' и 'O' повторяются по 2 раза каждая. Тогда по формуле для количества перестановок с повторяющимися элементами: 
+
+$
+frac(8!, 2! dot 2!) = frac(40320, 4) = 10080
+$
+
+Так как нам нужна одна конкретная комбинация, то получим: 
+
+$
+P = frac(1, 10080)
+$
+
+*Ответ*: $frac(1, 10080)$
+
+#align(center)[=== _Тема 2. Геометрические вероятности._]
+
+*3*. _В центре стола, имеющего форму эллипса с полуосями $a$ и $b$, распололжен магнит. На стол случайным образом бросается булавка, которая притягивается магнитом, если расстояние между ними не превосходит числа $r, space r lt min{a, b}$. Найти вероятность того, что булавка будет притянута._
+
+*Решение*: Площадь эллипса с полуосями $a$ и $b$:
+
+$
+S_"элл" = pi a b 
+$
+
+Площадь круга радиуса $r$:
+
+$
+S_"кр" = pi r^2
+$
+
+Так как по условию $r lt min(a, b)$, круг радиуса $r$ целиком лежит внутри эллипса. Вероятность того, что случайно брошенная булавка попадет в круг равна отношению площадей: 
+
+$
+P = frac(S_"кр", S_"элл") = frac(pi r^2, pi a b) = frac(pi r^2, pi a b) = frac(r^2, a b)
+$
+
+*Ответ*: $frac(r^2, a b)$
+
+#line(length: 100%)
+
+*13*. _В прямоугольный треугольник, один из углов которого равен $pi/6$, случайным образом бросается точка. Какова вероятность того, что она окажется внутри вписанной в треугольник окружности?_
+
+*Решение*: Пусть гипотенуза - $c$, катеты - $a$ и $b$.
+
+$
+a/b = tan pi/6 = frac(1, sqrt(3)) arrow.double b = sqrt(3) a
+$
+
+Площадь: 
+
+$
+S_triangle = 1/2 a b = 1/2 a(sqrt(3) a) = frac(sqrt(3), 2) a^2
+$
+
+По формуле радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: 
+
+$
+r = frac(a + b - c, 2)
+$
+
+Подставим $b = sqrt(3) a$:
+
+$
+c = sqrt(a^2 + 3a^2) = 2a \
+r = frac(a + sqrt(3)a - 2a, 2) = frac(a(sqrt(3) - 1), 2)
+$
+
+Площадь вписанной окружности: 
+
+$
+S_"окр" = pi r^2 = pi (frac(a (sqrt(3) - 1), 2))^2 = pi a^2 frac((sqrt(3) - 1), 4).
+$
+
+Вероятность
+
+$
+P = frac(S_"окр", S_triangle) = frac(pi a^2 frac((sqrt(3) - 1)^2, 4),  frac(sqrt(3), 2) a^2) = frac(pi (sqrt(3) - 1)^2, 4) dot frac(2, sqrt(3)) = frac(pi (sqrt(3) - 1)^2, 2 sqrt(3)) = frac(pi(2 - sqrt(3)), sqrt(3)) approx 0.48
+$
+
+*Ответ*: $0.48$
+
+#align(center)[=== _Тема 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса._]
+
+*3*. _Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для них $0.5$ и $2/3$ соответственно, а вероятности попадания в первую мишень $0.8$ для первого стрелка и $0.9$ для второго стрелка, во вторую мишень соответственно $0.7$ и $0.8$. Какова вероятность хотя бы одного попадания в какую-либо мишень?_
+
+*Решение*: 
+
+$
+P("хотя бы один попадет") = 1 - P("оба промахнутся")
+$
+
+Для первого стрелка: если он выбрал первую мишень ($1/2$), промах = $1 - 0.8 = 0.2$; если выбрал вторую ($1/2$), промах = $1 - 0.7 = 0.3$.
+
+Посчитав по формуле полной вероятности, получим: 
+
+$
+P("промах первого") = 0.5 dot 0.2 + 0.5 dot 0.3 = 0.25
+$
+
+Для второго стрелка: если он выбрал первую мишень ($2/3$), промах = $1 - 0.9 = 0.1$; если выбрал вторую ($1/3$), промах = $1 - 0.8 = 0.2$.
+
+Посчитав по формуле полной вероятности, получим: 
+
+$
+P("промах второго") = 2/3 dot 0.1 + 1/3 dot 0.2 = frac(2, 15)
+$
+
+Вероятность того, что оба промахнутся: 
+
+$
+P("оба промахнутся") = P("промах первого") dot P("промах второго") = 0.25 dot frac(2, 15) = frac(1, 30). 
+$
+
+Тогда ответ: 
+
+$
+P("хотя бы один попадет") = 1 - P("оба промахнутся") = 1 - frac(1, 30) = frac(29, 30)
+$
+
+*Ответ*: $frac(29, 30)$
+
+#line(length: 100%)
+
+*13*. _В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой - с номерами от $1$ до $9$, во второй - от $10$ до $20$, в третьей - от $21$ до $30$ включительно. Из случайно выбранной урны берется шар, и оказывается, что его номер делится на $5$. Какова вероятность того, что этот шар взят из первой урны?_
+
+*Решение*: Пусть события $A_1, A_2, A_3$ - выбрана первая, вторая и третья урны соответственно. Так как урны выбираются случайно, то $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3$. Пусть $B$ - событие "выпал номер, делящийся на 5". 
+
+По формуле Байеса: 
+
+$
+P(A_1 | B) = frac(P(B | A_1) P(A_1), P(B | A_1)P(A_1) + P(B | A_2) P(A_2) + P(B | A_3)P(A_3))
+$
+
+Найдем $P(B | A_i)$.
+
+В урне 1 есть только одно число, кратное 5, то есть $P(B | A_1) = 1/9$ (так как всего чисел 9).
+
+В урне 2 есть 3 числа, кратных 5, то есть $P(B | A_2) = 3/11$ (всего чисел 11).
+
+В урне 3 есть 2 числа, кратных 5, то есть $P(B | A_3) = 2/(10) = 1/5$ (всего 10 чисел).
+
+При подстановке всего в формулу выше и опустив расчеты, получим: 
+
+$
+P(A_1 | B) = frac(55, 289)
+$
+
+*Ответ*: $frac(55, 289)$
+
+#align(center)[=== _Тема 4. Схема Бернулли._]
+
+*3*. _Прибор содержит шесть однотипных микросхем, вероятность выхода из строя каждой в течение одного месяца равна $0.2$. Найти вероятность того, что в течение этого срока из строя выйдет не более половины микросхем._ 
+
+*Решение*: Пусть $n = 6, space p = 0.2$, тогда нужно найти $P(X lt.eq 3)$.
+
+По стандартной формуле получим: 
+
+$
+P(X = k) = C_6^k dot 0.2^k dot 0.8^(6 - k)
+$
+
+Рассчитаем: 
+
+$
+P(X lt.eq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
+$
+
+Опустив вычисления, получим: 
+
+$
+P(X lt.eq 3) = 0.982
+$
+
+*Ответ*: $0.982$.
+
+#line(length: 100%)
+
+*13*. Производится испытание на "самовозгорание" пяти телевизоров. Прогонка продолжается двое суток. За указанное время каждый из телевизоров перегревается и "самовозгорается" с вероятностью $0.1$. Найти вероятность того, что на момент окончания испытаний сгорит не более двух телевизоров.
+
+*Решение*: Пусть $n = 5, space p = 0.1$. Тогда нужно найти $P(X lt.eq 2)$.
+
+$
+P(X = k) = C_5^k (0.1)^k (0.9)^(5 - k)
+$
+
+$
+P(X lt.eq 2) = P(0) + P(1) + P(2)
+$
+
+Опустив вычисления, получим: 
+
+$
+P(X lt.eq 2) = 0.99144
+$
+
+*Ответ*: $0.99144$.

pracs/prac5/ans.typ

@@ -0,0 +1,633 @@
+#set text(size: 1.3em)
+#set page(numbering: "1")
+#set box(
+  fill: luma(195),
+  inset: (x: 4pt, y: 0pt),
+  outset: (y: 3pt),
+  radius: 2pt,
+)
+
+#align(center)[= _Формула полной вероятности._]
+
+#align(center)[=== _Полная вероятность._]
+
+_2. $45%$ телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на $І$-ом заводе, $15%$ — на $І І$-ом, остальные — на $І І І$-ем заводе. Вероятности того, что телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны $0.96$; $0.84$; $0.9$ соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы._
+
+*Решение*: Пусть событие $A$ - телевизор выдержит гарантию. $B_i$ - сделан на заводе $i in {I, I I, I I I}$.
+
+$
+P(B_1) = 0.45, space.quad P(B_2) = 0.15, space.quad P(B_3) = 1 - 0.45 - 0.15 = 0.40
+$
+
+$
+P(A | B_1) = 0.96, space.quad P(A | B_2) = 0.84 space.quad P(A | B_3) = 0.90
+$
+
+$
+P(A) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(A | B_i) = \
+= P(B_1) P(A | B_1) + P(B_2) P(A | B_2) + P(B_3) P(A | B_3) = \
+= 0.45 dot 0.96 + 0.15 dot 0.84 + 0.40 dot 0.90 = 0.432 + 0.126 + 0.360 = 0.918
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.918$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает $0.25%$ брака, второй — $0.4%$, третий — $0.6%$. Какова вероятность попадания на сборку доброкачественной детали, если с первого автомата поступило $2000$, со второго — $1500$ и с третьего — $1300$ деталей?_
+
+*Решение*: Пусть $G$ - событие "деталь годная", $B_i$ - автомат $i$. Поступило $N_1 = 2000, space N_2 = 1500, space N_3 = 1300, space N = 4800$, доля брака $q_1 = 0.0025, space q_2 = 0.004, space q_3 = 0.006$, доля годных $p_1 = 0.9975, space p_2 = 0.996, space p_3 = 0.994$.
+
+Доли деталей по автоматам: 
+
+$
+P(B_1) = frac(N_1, N) = frac(2000, 4800) = frac(5, 12), space.quad P(B_2) = frac(1500, 4800) = frac(5, 16), space.quad P(B_3) = frac(1300, 4800) = frac(13, 48)
+$
+
+По закону полной вероятности:
+
+$
+P(G) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(G | B_i)
+$
+
+Перепишем: 
+
+$
+P(G) = 1 - P(overline(G)) = 1 - sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(overline(G) | B_i).
+$
+
+Здесь $P(overline(G) | B_i) = q_i$. 
+
+$
+q_1 = 1/(400), space.quad q_2 = 1/(250), space.quad q_3 = 3/(500).
+$
+
+Тогда:
+
+$
+P(overline(G)) = 5/(12) dot 1/(400) + 5/(16) dot 1/(250) + (13)/(48) dot (3)/(500) = (47)/(12000). 
+$
+
+Значит:
+
+$
+P(G) = 1 - frac(47, 12000) = frac(11953, 12000) approx 0.996083
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.996083$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_4. Вероятность того, что контрольную работу с первого раза напишет отличник, равна $0.9$; хорошист – $0.7$; троечник – $0.4$. Найти вероятность того, что наудачу выбранный ученик напишет контрольную работу, если соотношение отличников, хорошистов и троечников в классе $1:3:5$._
+
+*Решение*: Пусть событие $A$ - ученик напишет контрольную с первого раза. Категории $B_1$ - отличник, $B_2$ - хорошист, $B_3$ - троечник. Условные вероятности $P(A | B_1) = 0.9, space P(A | B_2) = 0.7, space P(A | B_3) 0.4$. Соотношение в классе $1 : 3 : 5$. Сумма долей $1 + 3 + 5 = 9$, значит 
+
+$
+P(B_1) = 1/9, space.quad P(B_2) = 3/9 = 1/3, space.quad P(B_3) = 5/9
+$
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P(A) = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P(A | B_i) = 1/9 dot 9/(10) + 1/3 dot 7/(10) + 5/9 dot 2/5 = 5/9 approx 0.556
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.556$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_5. Студент знает $24$ билета из $30$. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если — вторым?_
+
+*Решение*: Если идти первым, то вероятность "счастливого" билета равна:
+
+$
+P_("1-й") = (24)/(30) = 4/5
+$
+
+Пусть $K$ - первый вытянул "известный" нашему студенту билет. $overline(K)$ - первый вытянул "неизвестный".
+
+Тогда 
+
+$P_("2-й") = P(K) dot P("успех" | K) + P(overline(K)) dot P("успех" | overline(K))$
+
+$P(K) = (24)/(30), space P(overline(K)) = 6/(30)$
+
+Если $K$ случилось, осталось 29 билетов, из них "известных" 23, значит $P("успех" | K) = (23)/(29)$.
+ 
+Если $overline(K)$ случилось, осталось "известных" 24 из 29: $P("успех" | overline(K)) = (24)/(29)$
+
+Подставив, получим: 
+
+$
+P_("2-й") = (24)/(30) dot (23)/(29) + 6/(30) dot (24)/(29) = 4/5
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x:1pt, y: 4pt))[вероятность одинакова и равна $4/5$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_6. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от $1$ до $9$, во второй от $10$ до $20$ и в третьей от $21$ до $30$. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер делится на $3$?_
+
+*Решение*: три урны выбираются равновероятно, затем из каждой берется случайный шар. Пусть $U_1$ - урна с числами $1, dots, 9$, $U_2$ - урна с числами $10, dots, 20$, $U_3$ урна с числами $21, dots, 30$. $A$ - событие "номер делится на 3".
+
+В $U_1$: кратные $3$ - $3$, $6$, $9$, то есть $3/9 = 1/3$:
+
+$
+P(A | U_1) = 3/9 = 1/3
+$
+
+В $U_2$: кратные $3$ - $12$, $15$, $18$, то есть $3/11$:
+
+$
+P(A | U_2) = 3/11
+$
+
+В $U_3$: кратные $3$ - $21$, $24$, $27$, $30$, то есть $4/10 = 2/5$:
+
+$
+P(A | U_3) = 4/10 = 2/5
+$
+
+По закону полной вероятности: 
+
+$
+P(A) = 1/3 (P(A | U_1) + P(A | U_2) + P(A | U_3)) = 1/3 (1/3 + 3/11 + 2/5) approx 0.33535
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.33535$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_7. Из ящика, содержащего $4$ белых и $6$ черных шаров, утеряно два шара. Какова вероятность извлечь после этого два шара черного цвета?_
+
+*Решение*: Представим, что все $10$ шаров перемешали, и первые $2$ утеряны. В случайной перестановке любой набор из двух позиций равновероятно сожержит любую пару шаров. Значит вероятность того, что именно позиции $3$ и $4$ окажутся черными - такая же, как если бы мы просто сразу вытащили $2$ шара из $10$ без всяких потерь.
+
+Получим: 
+
+$
+P("оба черные") = frac(C^2_6, C^2_(10)) = frac(15, 45) = 1/3
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 0pt, y: 4pt))[$1/3$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_8. В первом ящике $5$ белых и $5$ черных шаров, а во втором – $4$ белых и $4$ черных шара. Из первого во второй перекладывают $2$ шара. Определить вероятность извлечения белого шара из второго ящика._
+
+*Решение*: Пусть $K$ число белых шаров, переложенных из первого ящика во второй ($K in {0, 1, 2}$).
+
+В первом ящике изначально $5$ белых и $5$ черных, перекладываем $2$ шара: 
+
+$
+P(K = 0) = frac(C^0_5 C^2_5, C^2_(10)) = frac(10, 45) = 2/9, \
+P(K = 1) = frac(C^1_5 C^1_5, C^2_(10)) = frac(25, 45) = 5/9, \
+P(K = 2) = frac(C^2_5 C^0_5, C^2_(10)) = frac(10, 45) = 2/9
+$
+
+Во втором ящике было $4$ белых и $4$ черных. После перекладки там становится $8 + 2 = 10$ шаров, из них белых $4 + K$. При случайном вытягивании шара из второго ящика:
+
+$
+P("белый" | K) = frac(4 + K, 10)
+$
+
+По формуле полной вероятности:
+
+$
+P("белый") = sum_(k = 0)^2 P(K = k) frac(4 + k, 10) = frac(1, 10)(2/9 dot 4 + 5/9 dot 5 + 2/9 dot 6) = \
+= frac(1, 10) dot frac(8 + 25 + 12, 9) = frac(1, 10) dot frac(45, 9) = 1/2
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x:2pt, y: 4pt))[$1/2$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_9. Три стрелка случайным образом распределяют между собой $3$ заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями $1/2$, $3/4$ и $7/8$ соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?_
+
+*Решение*: Пусть есть $3$ стрелка: $S_1, S_2, S_3$. Они имеют вероятности попадания $p_1 = 1/2, space p_2 = 3/4 space p_3 = 7/8$. Есть $3$ заряда, из них $2$ боевых и $1$ холостой. Заряды случайно распределяются между стрелками: это то же самое, что случайно выбрать, кто получит холостой. Все $3$ варианта равновероятны. 
+
+Рассмотрим все случаи: 
+
+1) Холостой у $S_1$, стреляют $S_2, S_3$.
+
+Вероятность хотя бы одного попадания:
+
+$
+1 - (1 - p_2)(1 - p_3) = 1 - (1/4)(1/8) = 1 - 1/(32) = (31)/(32)
+$
+
+2) Холостой у $S_2$, стреляют $S_1, S_3$. 
+
+$
+1 - (1 - p_1)(1 - p_3) = 1 - (1/2)(1/8) = 1 - 1/(16) = (15)/(16)
+$
+
+3) Холостой у $S_3$, стреляют $S_1, S_2$.
+
+$
+1 - (1 - p_1)(1 - p_2) = 1 - (1/2)(1/4) = 1 - 1/8 = 7/8
+$
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P("хотя бы одно попадание") = 1/3 ( (31)/(32) + (15)/(16) + 7/8 ) = 0.9271
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.9271$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_10. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней. Вероятность выбора первой мишени для первого стрелка $0.5$, а для второго — $0.6$. Вероятность попадания в выбранную мишень для каждого стрелка равна $0.8$ и $0.9$ соответственно. Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?_
+
+*Решение*: Пусть $H_"2,1"$ - первый стрелок попал во вторую мишень, $H_"2,2"$ - второй стрелок попал во вторую мишень. Искомое событие: ровно одно попадание во вторую мишень - это 
+
+$
+(H_"2,1" inter overline(H_"2,2")) union (overline(H_"2,1") inter H_"2,2")
+$
+
+а события для разных стрелков независимы. 
+
+2. Вероятность попасть именно во вторую мишень для каждого: 
+
+Первый выбирает вторую с вероятностью $0.5$ и, выбрав её, попадает с $0.8$:
+
+$
+P(H_"2,1") = 0.5 dot 0.8 = 0.4
+$
+
+Второй выбирает вторую с вероятностью $0.4$ (потому что первую он выбирает $0.6$) и попадает с $0.9$:
+
+$
+P(H_"2,2") = 0.4 dot 0.9 = 0.36
+$
+
+Тогда 
+
+$
+P("ровно одно попадание во 2-ю") = P(H_"2,1")(1 - P(H_"2,1"))P(H_"2,2") = \
+= 0.4 dot (1 - 0.36) + (1 - 0.4) dot 0.36 = frac(59, 125)
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.472$]
+
+#align(center)[=== _Формула Байеса._]
+
+_11. Предположим, что $5%$ мужчин и $0.25%$ женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек мужчина._
+
+*Решение*: Пусть $M$ - человек - мужчина, $W$ - человек - женщина, $D$ - человек - дальтоник. Тогда: 
+
+$
+P(M) = P(W) = 1/2, space.quad P(D | M) = 0.05 space.quad P(D | W) = 0.0025 
+$
+
+По Байесу: 
+
+$
+P(M | D) = frac(P(M)P(D | M), P(M)P(D | M) + P(W)P(D | W)) = \
+= frac(1/2 dot 0.05, 1/2 dot 0.05 + 1/2 dot 0.0025) = 0.95238
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.95238$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, подготовленный хорошо— на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: a. отлично; b. плохо._
+
+В группе 10 студентов: 3 - "отлично", 4 - "хорошо", 2 - "посредственно", 1 - "плохо". Это априорные вероятности выбора студента: 
+
+$
+P(O) = frac(3, 10), space.quad P(H) = frac(4, 10) space.quad P(M) = frac(2, 10), space.quad P(P) = frac(1, 10)
+$
+
+Из $20$ экзаменационных вопросов студент "знает" $k$ штук:
+
+$
+k_O = 20, space.quad k_H = 16, space.quad k_M = 10, space.quad k_P = 5  
+$
+
+Экзаменатор задает 3 вопроса наугад (без возвращения) из $20$. Студент "ответил на 3 вопроса" = ответил на все 3 заданных.
+
+Если студент знает $k$ из 20, то вероятность, что все 3 заданных попадут в известные, равна 
+
+$
+P("ответил 3" | k) = frac(C^3_k, C_(20)^3)
+$
+
+Подставляем: 
+
+$
+C_(20)^3 = 1140, \
+P("ответил 3" | O) = 1, \
+P("ответил 3" | H) = frac(C_(16)^3, 1140) = frac(560, 1140) = frac(28, 57) \
+P("ответил 3" | M) = frac(C_(10)^3, 1140) = frac(120, 1140) = frac(2, 19) \
+P("ответил 3" | P) = frac(C_5^3, 1140) = frac(10, 1140) = frac(1, 114)
+$
+
+Ненормированные веса
+
+$
+w_O = P(O)P("ответил 3" | O) = frac(3, 10), \
+w_H = 4/(10) dot (28)/(57) = (56)/(285), \
+w_M = 2/(10) dot 2/(19) = 2/(95)
+w_P = 1/(10) dot 1/(114) = 1/(1140)
+$
+
+Сумма весов: 
+
+$
+W = w_O + w_H + w_M + w_P = frac(197, 380).
+$
+
+Апостериорные вероятности (делим каждый вес на $W$): 
+
+$
+P(O | "ответил 3") = frac(w_O, W) = frac(114, 197) approx 0.579, \
+P(H | "ответил 3") = frac(w_H, W) = frac(224, 591) approx 0.379, \
+P(M | "ответил 3") = frac(w_M, W) = frac(8, 197) approx 0.041,   \
+P(P | "ответил 3") = frac(w_P, W) = frac(1, 591) approx 0.00169.
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$"a) " frac(114, 197) = 0.579; " b) " frac(1, 591) approx 0.00169$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_13. Из четырех игральных костей одна фальшивая — на ней 6 очков выпадает с вероятностью $1/3$. При бросании случайно выбранной кости выпала шестерка. Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?_
+
+*Решение*: Пусть $F$ - выбрана фальшивая кость, $N$ - выбрана нормальная кость, $S$ - выпала шестерка. 
+
+Дано: 
+
+$
+P(F) = 1/4, space.quad P(N) = 3/4
+$
+
+Вероятности выпадения шестерки: 
+
+$
+P(S | F) = 1/3, space.quad P(S | N) = 1/6
+$
+
+По формуле общей вероятности: 
+
+$
+P(S) = P(F)P(S | F) + P(N)P(S | N) = 1/4 dot 1/3 + 3/4 dot 1/6
+$
+
+Вычислим:
+
+$
+P(S) = 1/(12) + 3/(24) = 1/(12) + 1/8 = 5/(24)
+$
+
+По формуле Байеса: 
+
+$
+P(F | S) = frac(P(F)P(S | F), P(S)) = frac(1/4 dot 1/3, 5/(24)) = 0.4 
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.4$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_14. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, и счет в игре равен количеству выпавших очков. В другой игре используются две игральные кости, и счет в игре равен сумме выпавших очков. Вы слышите, что выпало 4 очка. В какую игру вероятнее всего играли?_
+
+*Решение*: Пусть $G_1$ - игра с одной костью, $G_2$ - с двумя. Приоры равны: $P(G_1) = P(G_2) = 1/2$, $S$ - счет равен $4$.
+
+Если $G_1$: $P(S | G_1) = P("выпало 4 на d6") = 1/6$.
+Если $G_2$: $P(S | G_2) = P("сумма 2d6 = 4") = 3/(36) = 1/(12)$.
+
+$
+P(G_1 | S) prop 1/2 dot 1/6 = 1/(12), space.quad P(G_2 | S) prop 1/2 dot 1/(12) = 1/(24)
+$
+
+Нормируем: 
+
+$
+P(G_1 | S) = frac(1/(12), 1/(12) + 1/(24)) = 2/3, space.quad P(G_2 | S) = frac(1/(24), 1/(12) + 1/(24)) = 1/3.
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[С вероятностью $2/3$ играли одной костью, а двумя - $1/3$]
+
+#align(center)[=== _Домашняя работа._]
+
+_1. Из $1000$ ламп $100$ принадлежит первой партии, $250$ — второй и остальные — третьей партии. В первой партии $6%$ , во второй — $5%$, в третьей — $4%$ бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа бракованная?_
+
+*Решение*: Пусть $B$ - лампа бракована. $P_1, P_2, P_3$ - лампа из $1$-й, $2$-й, $3$-й партии. 
+
+Тогда: 
+
+$
+P(P_1) = frac(100, 1000) = 0.1, space.quad P(P_2) = frac(250, 1000) = 0.25, space.quad P(P_3) = frac(650, 1000) = 0.65
+$
+
+$
+P(B | P_1) = 0.06, space.quad P(B | P_2) = 0.05, space.quad P(B | P_3) = 0.04
+$
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P(B) = sum_(i = 1)^3 P(P_i)P(B | P_i) = \
+= 0.1 dot 0.06 + 0.25 dot 0.05 + 0.65 dot 0.04 = frac(89, 2000)
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$(89)/(2000)$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_2. Автомобиль на перекрестке может поехать прямо, а может свернуть направо или налево. Вероятность попадания в «пробку» при проезде прямо равна $0.5$; направо – $0.3$; налево – $0.2$. Определить вероятность беспрепятственного проезда._
+
+*Решение*: Пусть направления выбираются равновероятно:
+
+$
+P("без пробки") = 1/3 (1 - 0.5 + 1 - 0.3 + 1 - 0.2) = 0.667
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.667$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_3. В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока._
+
+*Решение*: 
+
+$
+P(F_1) = 5/(10) = 0.5, space.quad P(F_2) = 2/(10) = 0.2, space.quad P(F_3) = 3/(10) = 0.3
+$
+
+Надежности:
+
+$
+P(A | F_1) = 0.96, space.quad P(A | F_2) = 0.92, space.quad P(A | F_3) = 0.94
+$
+
+где A - не потребует ремонтажа. 
+
+Тогда 
+
+$
+P(A) = sum_i P(F_i) P(A | F_i) = 0.5 dot 0.96 + 0.2 dot 0.92 + 0.3 dot 0.94 = 0.946 
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.946$] 
+
+#line(length: 100%)
+
+_4. Имеются три одинаковых ящика. В первом лежат 2 белых и 2 черных шара; во втором — 3 черных шара; в третьем — 1 черный и 5 белых шара. Некто случайным образом вынимает шар из наугад выбранного ящика. Какова вероятность, что шар будет белый?_
+
+*Решение*: Три ящика, выбираются равновероятно — значит, $P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = 1/3$.
+
+Состав: 
+
+#table(columns: 5, inset: 10pt)[*Ящик*][*Белые*][*Чёрные*][*Всего*][$P("белый" | B_i)$][1][2][2][4][$frac(2,4) = frac(1,2)$][2][0][3][3][0][3][5][1][6][$5/6$]
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P("белый") = sum_(i = 1)^3 P(B_i) P("белый" | B_i)
+$
+
+$
+P("белый") = 1/3 (1/2 + 0 + 5/6) = 4/9
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$4/9$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_5. В трех одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 10 до 25, во второй от 26 до 32 и в третьей от 33 до 45 включительно. Из случайно выбранной урны берется шар. Какова вероятность того, что его номер будет простым числом?_
+
+*Решение*:
+
+Обозначим $A$ — "номер простое число", $U_1, U_2, U_3$ — выбор $1$-й, $2$-й, $3$-й урны.
+
+Тогда по формуле полной вероятности:
+$
+P(A)= 1/3 (P(A | U_1) + P(A | U_2) + P(A | U_3)).
+$
+
+По формуле условной вероятности: 
+
+Урна 1: числа $10 dots 25$. Простые: $11,13,17,19,23$.
+
+$
+P(A | U_1) = frac(5, 16)
+$  
+
+Урна 2: числа $26 dots 32$. Простые: $29,31$.
+
+$
+P(A | U_2) = 2/7
+$
+
+Урна 3: числа $33 dots 45$. Простые: $37,41,43$.
+
+$
+P(A | U_3) = 3/(13)
+$
+
+$
+P(A) = 1/3 (5/(16) + 2/7 + 3/(13)) approx 0.2763
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.2763$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_6. Берут две колоды по $36$ карт. Из первой колоды во вторую перекладывают $2$ карты. Затем из второй колоды берется одна карта. Какова вероятность того, что это дама?_
+
+*Решение*:  Во второй колоде изначально $4$ дамы из $36$ карт. Из первой колоды перекладываем $2$ случайные карты. В первой колоде доля дам $4/(36)$, значит ожидаемое число дам среди переложенных двух равно
+
+$E[K] = 2 dot 4/(36) = 2/9$
+
+Тогда ожидаемое число дам во второй колоде после перекладки: 
+
+$
+4 + E[K] = 4 + 2/9 = (38)/9
+$
+
+После перекладки во второй колоде $38$ карт, и мы вытягиваем одну наугад. Безусловная вероятность вытянуть даму равна
+
+$
+E[frac(4 + K, 38)] = frac(E[4 + K], 38) = frac(4 + 2/9, 38) = frac((38)/9, 38) = 1/9
+$
+
+*Ответ*: #box(inset: (x: 2pt, y: 4pt))[$1/9$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_7. В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекают 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые._
+
+*Решение*: В альбоме изначально $7$ чистых и $6$ гашеных, всего $13$. Достаем $2$ наугад, гасим их и возвращаем. Пусть $К$ - сколько из этих двух были чистыми. Тогда $K in {0, 1, 2}$.
+
+$
+P(K = 0) = frac(C_7^0 C_6^2, C_(13)^2) = frac(15, 78) = frac(5, 26), \
+P(K = 1) = frac(C_7^1 C_6^1, C_(13)^2) = frac(42, 78) = frac(7, 13), \
+P(K = 2) = frac(C_7^2 C_6^0, C_(13)^2) = frac(21, 78) = frac(7, 26)
+$
+
+После этого в альбоме все те же $13$ марок, но чистых осталось $7 - K$.
+
+Теперь тянем $3$ марки. Условная вероятность, что все $3$ - чистые, при фиксированном $K = k$:
+
+$
+P("все 3 чистые" | K = k) = frac(C_(7 - k)^3, C_(13)^3)
+$
+
+Вычислим нужные комбинации: 
+
+$
+C_(13)^3 = 286, space.quad C_7^3 = 35, space.quad C_6^3 = 20, space.quad C_5^3 = 10
+$
+
+Значит: 
+
+$
+P("все 3" | K = 0) = frac(35, 286), \
+P("все 3" | K = 1) = frac(20, 286), \
+P("все 3" | K = 2) = frac(10, 286)
+$
+
+По формуле полной вероятности: 
+
+$
+P = sum_(k = 0)^2 P(K = k)P("все 3" | K = k) = 0.0706
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.0706$]
+
+#line(length: 100%)
+
+_8. Среди трех игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестерка появляется с вероятностью $1/3$. Бросили две игральные кости. Определить вероятность того, что выпали две шестерки._
+
+*Решение*: $3$ кости: $2$ честные, $1$ фальшивая.
+
+У честной кости: $P(6) = 1/6$
+
+У фальшивой кости: $P(6) = 1/3$
+
+Пусть $C$ - честная кость, $F$ - фальшивая. 
+
+Возможные пары: 
+
+#table(columns: 3, inset: 10pt)[*Пара брошенных костей*][*Вероятность выбора*][*\# шестерок*][C, C][$frac(C_2^2, C_3^2) = 1/3$][обе честные][C, F][$frac(C_2^1 C_1^1, C_3^2) = 2/3$][одна честная, одна фальшивая]
+
+Если обе честные: 
+
+$
+P(6, 6 | C, C) = (1/6)^2 = 1/(36)
+$
+
+Если одна честная и одна фальшивая: 
+
+$
+P(6, 6 | C, F) = 1/6 dot 1/3 = 1/(18)
+$
+
+Формула полной вероятности: 
+
+$
+P(6, 6) = P(C, C) dot P(6, 6 | C, C) + P(C, F) dot P(6, 6 | C, F) = \
+= 1/3 dot 1/(36) + 2/3 dot 1/(18) = 0.0463
+$
+
+*Ответ*: #box()[$0.0463$]

pracs/prac7/ans.typ

@@ -0,0 +1,223 @@
+#set page(numbering: "- 1 -")
+
+#align(center)[= _Домашняя работа №7_ ]
+
+=== _1. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Составить ряд и функцию распределения СВ $xi$ - число выпадений числа очков кратного 3. Указать вид закона распределения._ 
+
+*Решение:*
+
+$
+p = P("число кратно 3") = 2/6 = 1/3
+$
+
+Бросаем 2 кости одновременно:
+
+Случайная величина: количество "кратных 3" на двух костях.
+
+- 0 кратных 3: обе кости не кратны 3 → $(1 - p)^2 = (2/3)^2 = 4/9$
+- 1 кратное 3: ровно одна кость кратна 3 → $2 dot p dot (1 - p) = 2 dot 1/3 dot 2/3 = 4/9$
+- 2 кратных 3: обе кости кратны 3 → $p^2 = (1/3)^2 = 1/9$
+
+То есть на одном броске две кости дают распределение:
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 4)[$k$][$0$][$1$][$2$][$P$][$4/9$][$4/9$][$1/9$]
+]
+
+Бросаем два раза
+
+Пусть $xi$ = общее число выпадений "кратных 3" за два броска двух костей.
+
+- Каждый бросок даёт случайную величину $X$ ($0, 1, 2$) с вероятностями ($4/9, 4/9, 1/9$).
+- Всего два броска → независимые величины $X_1$ и $X_2$.
+- Тогда $xi = X_1 + X_2$.
+
+Максимум: $2 + 2 = 4$, минимум: $0 + 0 = 0$ → возможные значения $xi = 0, 1, 2, 3, 4$.
+
+Ряд распределения
+
+Вероятности для суммы $xi = X_1 + X_2$:
+
+- $P(xi = 0) = P(X_1 = 0 " и " X_2 = 0) = 4/9 dot 4/9 = (16)/(81)$
+- $P(xi = 1) = P(X_1 = 0, X_2 = 1) + P(X_1 = 1, X_2 = 0) = 4/9 dot 4/9 + 4/9 dot 4/9 = (32)/(81)$
+- $P(xi = 2) = P(X_1 = 0, X_2 = 2) + P(X_1 = 1, X_2 = 1) + P(X_1 = 2,X_2 = 0) = 4/9 dot 1/9 + 4/9 dot 4/9 + 1/9 dot 4/9 = (4+16+4)/(81) = (24)/(81)$
+- $P(xi = 3) = P(X_1 = 1, X_2 = 2) + P(X_1 = 2, X_2 = 1) = 4/9 dot 1/9 + 1/9 dot 4/9 = 8/(81)$
+- $P(xi = 4) = P(X_1 = 2, X_2 = 2) = 1/9 dot 1/9 = 1/(81)$
+
+Итого:
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 6)[$xi$][$0$][$1$][$2$][$3$][$4$][$P$][$(16)/(81)$][$(32)/(81)$][$(24)/(81)$][$8/(81)$][$1/(81)$]
+]
+
+Функция распределения $F_xi (x) = P(xi lt.eq x)$
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 2)[$x$][$F_xi (x)$][$0$][$frac(16, 81)$][$1$][$frac(48, 81)$][$2$][$frac(72, 81)$][$3$][$frac(80, 81)$][$4$][$1$]
+]
+
+Вид закона распределения
+
+Это дискретная сумма двух независимых случайных величин с биномиальным распределением, но каждая из них сама является распределением суммы двух независимых Бернулли с $p = 1/3$ → сводится к многократной биномиальной схеме (мультибиномиальный).
+
+Говоря проще: $xi$ — дискретная, конечная, суммируемая случайная величина, аналогичная сумме 4 Бернулли с $p = 1/3$ (так как всего за два броска 2 кости → 4 "испытывания").
+
+#align(center)[#image("assets/1.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== _2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить ряд и функцию распределения СВ $xi$ - число стандартных среди отобранных. Указать вид закона распределения._ 
+
+$
+P(X = k) = frac(binom(K, k) binom(N-K, n-k), binom(N, n))
+$
+
+где $k = 0, 1, 2$.
+
+Вычисляем вероятности
+
+- $k = 0$ (0 стандартных деталей):
+
+$
+P(X = 0) = frac(binom(8, 0) binom(2, 2), binom(10, 2)) = frac(1 dot 1, 45) = frac(1, 45)
+$
+
+- $k = 1$ (1 стандартная деталь):
+
+$
+P(X = 1) = frac(binom(8, 1) binom(2, 1), binom(10, 2)) = frac(8 dot 2, 45) = frac(16, 45)
+$
+
+- $k = 2$ (2 стандартные детали):
+
+$
+P(X = 2) = frac(binom(8, 2) binom(2, 0), binom(10, 2)) = frac(28 dot 1, 45) = frac(28, 45)
+$
+
+Ряд распределения
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 4)[$xi$][$0$][$1$][$2$][$P$][$1/(45)$][$(16)/(45)$][$(28)/(45)$]
+]
+
+Функция распределения $F_xi (x) = P(xi lt.eq x)$
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 2)[$x$][$F_xi (x)$][$0$][$frac(1, 45)$][$1$][$frac(17, 45)$][$2$][$1$]
+]
+
+Вид закона распределения
+
+Это гипергеометрическое распределение, так как выборка делается без возвращения из конечной совокупности объектов с двумя типами элементов.
+
+#align(center)[#image("assets/2.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== _3. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока не обнаружит незнание. Вероятность ответа на один дополнительный вопрос равна $0.9$. Составить ряд: a) СВ $xi$ - число заданных вопросов; b) СВ $xi$ - число заданных вопросов, если их не более 5. Указать вид закона распределения._ 
+
+a) Число заданных вопросов ($xi$ неограничено)
+
+Это классическая задача на геометрическое распределение:
+
+$
+P(xi = k) = P("первые "$k-1$" ответы правильные, "$k$"-й неправильный")
+$
+
+- Вероятность неправильного ответа: $q = 1 - p = 0.1$
+- Тогда:
+
+$
+P(xi = k) = p^(k-1) dot q, space.quad k = 1, 2, 3, dots
+$
+
+Ряд распределения:
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 6)[$xi$][$1$][$2$][$3$][$4$][$5$][$dots$][$P$][$0.1$][$0.09$][$0.081$][$0.0729$][$0.06561$][$dots$]
+]
+
+Функция распределения:
+
+$
+F_xi (k) = P(xi lt.eq k) = 1 - p^k
+$
+
+Например:
+
+$
+F_xi (1) = 0.1, space.quad F_xi (2) = 0.1 + 0.09 = 0.19, dots
+$
+
+Вид закона распределения: дискретное, геометрическое распределение.
+
+b) Число заданных вопросов, если их не более 5
+
+Теперь ограничиваемся максимум $5$ вопросами. Тогда для $k = 1, 2, 3, 4, 5$:
+
+$
+P(xi = k) = cases(p^(k - 1) q ", " k = 1", "2", "3", "4, p^4 ", " k = 5 ("т.е. все 5 правильных"))
+$
+
+#align(center)[
+  #table(columns: 6)[$xi$][$1$][$2$][$3$][$4$][$5$][$P$][$0.1$][$0.09$][$0.081$][$0.0729$][$0.6561$]
+]
+
+Вид закона распределения: дискретное усечённое геометрическое распределение.
+
+#align(center)[#image("assets/3.png")]
+
+#line(length: 100%)
+
+=== _4. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них за время $T$ равна $0.002$. Составить ряд СВ $xi$ - число отказавших элементов за время $T$. Указать вид закона распределения._ 
+
+
+Каждый элемент — это независимая «Биномиальная попытка»:
+
+$
+X_i = cases(1", элемент отказал", 0", элемент не отказал")
+$
+
+Тогда $xi = X_1 + X_2 + dots + X_(1000)$.
+
+Это биномиальная случайная величина с параметрами $n = 1000$, $p = 0.002$:
+
+$
+P(xi = k) = binom(1000, k) p^k (1-p)^(1000 - k), space.quad k = 0,1, dots, 1000
+$
+
+Приближение
+
+Так как $n$ большое, $p$ маленькое, удобно использовать приближение Пуассона:
+
+$
+lambda = n dot p = 1000 dot 0.002 = 2
+$
+
+Тогда можно приближённо считать:
+
+$
+P(xi = k) approx frac(lambda^k e^(-lambda), k!) = frac(2^k e^(-2), k!), space.quad k = 0, 1, 2, dots
+$
+
+Это распределение Пуассона с параметром $lambda = 2$.
+
+Ряд распределения (первые значения)
+
+$
+P(xi = 0) approx frac{2^0 e^(-2), 0!} = e^(-2) approx 0.1353 \
+P(xi = 1) approx frac{2^1 e^(-2), 1!} = 2 e^(-2) approx 0.2707 \
+P(xi = 2) approx frac{2^2 e^(-2), 2!} = 2 e^(-2) approx 0.2707 \
+P(xi = 3) approx frac{2^3 e^(-2), 6} approx 0.1804 \
+P(xi = 4) approx frac{16 e^(-2), 24} approx 0.0902 \
+P(xi = 5) approx frac{32 e^(-2), 120} approx 0.0361
+$
+
+Вид закона распределения
+
+- Точное: биномиальное $B(n=1000, p=0.002)$
+- Приближённое: распределение Пуассона с параметром $lambda = 2$
+
+Это классический пример редких событий (малое $p$, большое $n$) → удобно использовать Пуассона.
+
+#align(center)[#image("assets/4.png")]

pracs/prac7/scripts/1.py

@@ -0,0 +1,34 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+# Значения случайной величины
+xi = [0, 1, 2, 3, 4]
+
+# Вероятности
+P = [16 / 81, 32 / 81, 24 / 81, 8 / 81, 1 / 81]
+
+# Функция распределения
+F = []
+cum = 0
+for p in P:
+    cum += p
+    F.append(cum)
+
+plt.figure(figsize=(12, 5))
+
+# График вероятностей
+plt.subplot(1, 2, 1)
+plt.bar(xi, P, color="skyblue")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P(xi)")
+plt.title("Ряд распределения")
+
+# График функции распределения
+plt.subplot(1, 2, 2)
+plt.step(xi, F, where="post", color="orange")
+plt.scatter(xi, F, color="red")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("F(xi)")
+plt.title("Функция распределения")
+
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("1.png")

pracs/prac7/scripts/2.py

@@ -0,0 +1,20 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+# Задача 2: гипергеометрическое распределение
+xi2 = [0, 1, 2]
+P2 = [1 / 45, 16 / 45, 28 / 45]
+F2 = np.cumsum(P2)
+
+plt.figure(figsize=(7, 5))
+plt.bar(xi2, P2, color="skyblue", alpha=0.7, label="Вероятности")
+plt.step(xi2, F2, where="post", color="orange", label="Функция распределения")
+plt.scatter(xi2, F2, color="red")
+plt.title("Задача 2: гипергеометрическое распределение")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P / F")
+plt.xticks(xi2)
+plt.legend()
+plt.grid(axis="y", linestyle="--", alpha=0.6)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("2.png")

pracs/prac7/scripts/3.py

@@ -0,0 +1,22 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+# Задача 3: геометрическое распределение
+p3 = 0.9
+q3 = 1 - p3
+xi3 = list(range(1, 11))  # ограничим до 10 вопросов
+P3 = [p3 ** (k - 1) * q3 for k in xi3]
+F3 = np.cumsum(P3)
+
+plt.figure(figsize=(7, 5))
+plt.bar(xi3, P3, color="lightgreen", alpha=0.7, label="Вероятности")
+plt.step(xi3, F3, where="post", color="orange", label="Функция распределения")
+plt.scatter(xi3, F3, color="red")
+plt.title("Задача 3: геометрическое распределение")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P / F")
+plt.xticks(xi3)
+plt.legend()
+plt.grid(axis="y", linestyle="--", alpha=0.6)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("3.png")

pracs/prac7/scripts/4.py

@@ -0,0 +1,23 @@
+from math import exp, factorial
+
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+# Задача 4: распределение Пуассона
+lambda4 = 2
+xi4 = list(range(0, 11))
+P4 = [lambda4**k * exp(-lambda4) / factorial(k) for k in xi4]
+F4 = np.cumsum(P4)
+
+plt.figure(figsize=(7, 5))
+plt.bar(xi4, P4, color="plum", alpha=0.7, label="Вероятности")
+plt.step(xi4, F4, where="post", color="orange", label="Функция распределения")
+plt.scatter(xi4, F4, color="red")
+plt.title("Задача 4: распределение Пуассона")
+plt.xlabel("xi")
+plt.ylabel("P / F")
+plt.xticks(xi4)
+plt.legend()
+plt.grid(axis="y", linestyle="--", alpha=0.6)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("4.png")